Шпаргалка по "Теория Автоматического Управления"

1. если подать управление, численно равное y*, то переходные процессы в объекте завершатся за время tп (кривая 1 на рис. 12.2);

 

2) при подаче  на объект максимально возможного  управления   на его выходе получим процесс, соответствующий кривой 2, причем в момент времени t* значение выходной переменной будет равно y*;

3) если сначала  подать максимально возможное  управление  а в момент времени t* сформировать u = y*, то процесс перехода  в требуемое состояние будет заканчиваться за минимально возможное для объекта время при заданном ограничении на управление.

Реализовать на практике описанный алгоритм управления можно двумя способами:

1. В виде программного закона управления  u0(t)=

В этом случае оптимальная система будет разомкнутой и, следовательно, не позволит обеспечить требуемые свойства при действии на объект внешних возмущений.

2. Закон управления в виде обратной связи    u0(t)=

 Структурная  схема замкнутой системы с  подобным законом управления  представлена на рис. 12.3.

 

Обращаем внимание на то, что полученная релейная система обеспечит оптимизацию переходных процессов при любых параметрах объекта и даже при действии возмущений. Это тот редкий в технике случай, когда алгоритм оптимального управления инвариантен по отношению к возмущениям и нестационарности параметров объекта.

Рассмотренный пример иллюстрирует основные свойства оптимальных систем: объект работает на пределе своих возможностей (полное использование ресурса ), управление имеет релейный характер.

 

20. Постановка задачи  синтеза оптимальных систем.

Описание объекта управления

Постановка задачи синтеза оптимальных систем предполагает строгую формализацию всех этапов , начиная с описания объекта управления, которое следует представить в переменных состояния. Причем объект должен быть стационарным (параметры не могут изменяться с течением времени), т. е. в общем случае его модель имеет вид

  (12.1)

Здесь х - вектор состояния объекта; - вектор нелинейных функций, удовлетворяющих условию существования и единственности решения дифференциального уравнения.

В частном случае объект может быть описан нелинейным стационарным уравнением состояния с аддитивным управлением

 (12.2), где - матрица нелинейных функций.

В классе объектов с аддитивным управлением можно выделить подкласс линейных объектов, модель которых имеет вид (12.3)

 Здесь А и В - матрицы коэффициентов соответствующих размерностей.

Описание начальных и конечных состояний

На этапе постановки задачи синтеза следует оговорить множество начальных условий объекта и множество конечных состояний, в которые его требуется перевести. Подобный переход удобнее рассматривать в пространстве состояний, причем в зависимости от вида области начальных и конечных состояний можно выделить четыре типа задач синтеза (рис. 12.4.).Отметим, что множество начальных состояний объекта ,как правило, совпадает с пространством состояний, а множество конечных состояний всегда является подмножеством пространства состояний. Кроме этого, объект управления нужно перевести не в любую точку пространства состояний, а лишь в ту, которая принадлежит подмножеству реализуемых равновесных состояний .

 

 

 

 

Рассмотрим на примере определение реализуемых равновесных состояний объекта.

Пример 12.2

Определить множество равновесных состояний для объекта, поведение которого описывает система уравнений  

Запишем для него уравнения статики

Определим управляющее воздействие из первого уравнения и подставим во второе. После преобразования получим уравнение множества реализуемых равновесных состояний в виде  .

Графической интерпретацией этого множества в пространстве состояний является прямая, именно ей должно принадлежать конечное состояние объекта. В другую точку пространства состояний его перевести невозможно (точнее, перевести можно, но стабилизировать нельзя).

Ограничения на переменные состояния и управление

Любая задача оптимизации имеет практический смысл только при ограничениях на переменные состояния и ресурс управления объекта.

Ограничения на переменные состояния дают некоторую рабочую область в пространстве состояний (рис. 12.5,а). Наиболее часто они носят характер модуля,

  На управляющие  воздействия также накладываются  ограничения, которые в общем  случае можно представить в  виде некоторой рабочей области (рис. 12.5,б). В реальных системах ограничение на ресурс управления, как правило, также носит характер ограничения по модулю

 

 

На этапе постановки задачи синтеза необходимо убедиться в том, что множество начальных и конечных состояний объекта находится внутри рабочей области пространства состояний .

Критерий оптимальности

Критерий оптимальности в обобщенной форме отражает требования к качеству переходных процессов замкнутой системы. В задаче синтеза оптимальных систем его принято представлять в виде интегрального функционала J0=  (12.4),где T - заданное время перехода из начального состояния в конечное.

 

21. Критерий оптимальности.

Критерий оптимальности в обобщенной форме отражает требования к качеству переходных процессов замкнутой системы. В задаче синтеза оптимальных систем его принято представлять в виде интегрального функционала

  J0= (12.4)

где T - заданное время перехода из начального состояния в конечное.

В зависимости от требований к качеству работы системы можно выделить несколько наиболее часто встречающихся критериев оптимальности.

1. Критерий быстродействия  отражает требование минимизации  времени переходного процесса  и может быть записан в виде J0 = (12.5)

Критерий (12.5) представим в форме интегрального функционала

 J0 = (12.6)

2. Критерий минимума  затрат энергии по состоянию. В случае, когда требуется минимизировать  затраты энергии только по  одной из компонент вектора  состояния, критерий оптимальности  имеет вид  J0 =  (12.7)

Если речь идет о минимизации затрат энергии по всему вектору состояния, то он принимает форму J0 =  (12.8) где P - матрица коэффициентов квадратичной формы размера n х n .

3. Критерий минимума  затрат энергии на управление. Он может быть записан аналогично (12.7) относительно одной из компонент  управляющего воздействия 

J0 =  (12.9) или относительно всего вектора управления

 J0 =  (12.10) где Q - матрица квадратичной формы размера

m х m.

4. Критерий минимума полных затрат энергии. Это общий случай критерия минимума затрат энергии, объединяющий критерии (12.8) и (12.9):

J0 = (12.11).

 

22.Метод динамического  программирования. Принцип оптимальности.

Метод динамического программирования, предложенный в начале 50-х годов Р. Беллманом, используется для синтеза оптимальных систем управления. Он базируется на вариационном исчислении, при выводе его основных соотношений используется принцип оптимальности.

Принцип оптимальности

Формулировка принципа оптимальности следующая: конечный участок оптимальной траектории есть также оптимальная траектория. Предположим, что существует единственная оптимальная траектория перехода из точки х(0) в точку х(Т) (рис. 12.6). Промежуточная точка х(t) разбивает эту траекторию на две части. Причем ее конечный участок представляет собой оптимальную траекторию, иначе можно было бы найти новую оптимальную траекторию перехода из точки х(t) в точку х(Т) и организовать движение из начальной точки х(0) в конечную х(Т) по новой оптимальной траектории. Это невозможно, так как для системы существует лишь одна оптимальная траектория перехода из одной точки в другую.

 

 

Рис. 12.6. Иллюстрация принципа оптимальности  
23.Основные соотношения метода динамического программирования.

Будем рассматривать общий класс объектов управления, который описывается уравнением (12.1)

 

Полагаем ,что переменные состояния () и ресурс управления

()ограничены.

Необходимо определить управляющее воздействие, которое обеспечивало бы переход из начального состояния х(t) в конечное х(Т) за время Т (рис. 12.7) в соответствии с критерием оптимальности    (12.12)

Выберем на оптимальной траектории перехода промежуточную точку x(t+Δt), расположенную достаточно близко к заданной начальной точке. Согласно принципу оптимальности конечный участок есть также оптимальная траектория, поэтому представим критерий оптимальности (12.12) в виде суммы двух критериев, соответствующих двум участкам движения,

 

(12.13) или после преобразований

 (12.14)

Рассматривая второй интеграл выражения (12.14) как функцию нижнего предела, обозначим его

 (12.15) .С учетом (12.15) соотношение (12.14) представим в виде

(12.16).

Полагая промежуток времени Δt достаточно малым, сделаем в (12.16) следующие упрощения:

1) интеграл приближенно  заменим произведением (12.17)

2) функцию  разложим в ряд Тейлора в окрестности заданной начальной точки (12.18) где R - остаточные члены ряда разложения, которыми можно пренебречь.

Учитывая приближенные замены (12.17) и (12.18), преобразуем выражение (12.16):

 (12.19)

Представим в равенстве (12.19) в виде суммы двух составляющих следующим образом:

 (12.20)

Обсудим получившееся выражение. Согласно введенному обозначению (12.15) здесь

, (12.21)  поэтому вместо (12.20) получим

 =0 (12.22)

Поделим обе части равенства (12.22) на :  

а затем устремим и получим следующее уравнение :

 =0.    (12.23)

Поскольку рассматривается оптимальная траектория движения для объекта (12.1), подставим в (12.23) вместо х правую часть уравнения объекта и получим основное уравнение метода динамического программирования в виде

 =0  (12.24)

Таким образом, оптимальным будет управление, которое минимизирует выражение (12.24). Однако использовать его для вычисления u0 нельзя, так как одно уравнение (12.24) содержит m+1 неизвестную величину () .

 

24. Расчетные соотношения  метода динамического программирования.

В случае оптимального управления u=u0 соотношение (12.24)

[] принимает вид (12.25).

Продифференцируем (12.25) по вдоль оптимальной траектории 

 (12.26)

Добавив уравнения (12.26) к (12.25), получим систему из m+ 1 уравнения с m+ 1 неизвестным, решая которую можно найти оптимальное управление.

Поскольку (12.25) и (12.26) представляют собой систему уравнений в частных производных, для определения из нее оптимального управления, как правило, приходится использовать приближенные численные методы. В результате найденное управление получается не оптимальным, а близким к нему.

Задача отыскания точного оптимального управления методом динамического программирования носит название задачи АКОР (аналитического конструирования оптимальных регуляторов). Эта задача имеет решение при наличии следующих условий :

1. Объект управления  описывается линейным уравнением  состояния (12.3)

 

2. Переход из  начальной точки х(0) в конечную х(Т) рассматривается на бесконечном интервале времени (T ).

3. Критерий оптимальности имеет вид квадратичной формы

 J =

Оптимальное управление, полученное методом динамического программирования, для такой постановки задачи будет иметь вид .

Таким образом, оптимальным для задачи АКОР будет пропорциональный закон управления.

Пример 12.2

Объект, модель которого имеет вид

необходимо перевести из начальной точки x(0) = 0 в конечную x(T) = 1. Время процесса не ограничено, а критерий оптимальности следующий:

 J =

 

 

Запишем основное уравнение метода динамического программирования(12.25)

   

и дополним его уравнением в частных производных (12.26)   

выразим из второго уравнения и подставим в первое, в результате получим

  или после приведения подобных

   .

Решение квадратичного уравнения относительно управления даст два значения

 

Поскольку для одной системы двух оптимальных законов управления быть не может, одно из найденных значений не является оптимальным. Для определения оптимального управления проверим устойчивость замкнутой системы.

В уравнение объекта подставим значение и получим уравнение замкнутой системы  .

Как видим, система неустойчива, а значит, первое первое управляющее воздействие не является оптимальным.

В уравнение объекта подставим значение , при этом уравнение замкнутой системы примет вид  .