Изучение капиллярных явлений жидкостей в школе

     Кривизна  поверхности жидкости приводит к появлению сил, действующих на жидкость под этой поверхностью. В этом нетрудно убедиться из следующих простых соображений. Представим себе сферическую каплю жидкости с радиусом сферы r (рис. 11).

Рис. 11. Сферическая капля жидкости с радиусом сферы r. 

     При увеличении радиуса сферы растет площадь ее поверхности, а вместе с ней и поверхностная энергия. Это может быть достигнуто только ценой затраты работы. Наоборот, при уменьшении радиуса капли  поверхностная энергия уменьшается. Это значит, что работа производится силами, действующими в самой капле. Отсюда следует, что объем жидкости под сферической поверхностью всегда несколько сжат, т. е. испытывает дополнительное давление, направленное радиально, т. е. перпендикулярно к поверхности. Эти соображения позволяют вычислить и величину этого дополнительного давления, связанного с кривизной поверхности. Действительно, пусть под действием этого давления жидкий шар уменьшит свой объем на dV, как это показано на рис. Работа сжатия жидкости произведена, очевидно, за счет уменьшения поверхностной энергии. Работа сжатия dA равна, как известно, pdV, где p — давление, т.е.

     dA=pdV.     (19)

     Уменьшение  же поверхностной энергии

dF= σdS,     (20)

где dS — уменьшение поверхности шара, соответствующее уменьшению радиуса на dr. Из известных формул для поверхности и объема шара s= 4πr² и V =(4/3)πr³ получаем очевидные выражения:

     dV= 4 ,   (21)

     dS=8 .       (22)

     Подставляя  эти значения для dS и dV в уравнения (21) и (22) и принимая во внимание, что |dA|=|dF|, получаем

          (23)

откуда  для давления, оказываемого на жидкость ее кривой поверхностью, получается следующее выражение [8]

            (24)

     Если  поверхность жидкости не сферическая, а цилиндрическая, то дополнительное давление, вызванное кривизной, определяется формулой

      .     (25).

     Действительно, для цилиндра длиной l и радиусом r имеем:

V=πr²l, S=2πl     (26)

и соответственно откуда:

dA=pdV=2πplrdr, dF=σdS=2πσldr.   (27)

     Из  условия |dA|=|dF| непосредственно получается выражение (25) [3].

     Если  поверхность не сферична, то приходится вводить два радиуса кривизны, получающиеся в двух взаимно перпендикулярных сечениях поверхности. Например, для кругового цилиндра (рис. 12).

     

Рис. 12. Круговой цилиндр в двух перпендикулярных сечениях;

где R

и R - главные радиусы кривизны для данного элемента поверхности. 

     В общем случае  поверхности любой формы (не сферической и не цилиндрической) давление, обусловленное кривизной поверхности, выражается уравнением, известным под названием уравнения Лапласа

      ,    (28),

где r₁ и r₂ — главные радиусы кривизны в данной точке поверхности, или, точнее, для данного элемента поверхности.

     Легко видеть, что формулы (24) и (25) являются частными случаями уравнения (28). Для сферы оба главных радиуса кривизны совпадают и равны радиусу сферы, т.е. r₁= r₂ = r, и (28) переходит в (24). У цилиндра один из главных радиусов кривизны равен ∞, а другой совпадает с радиусом цилиндра; подстановка в (28) приводит к (25).

     Дополнительное  давление, определяемое формулой Лапласа, направлено, очевидно, к центру кривизны поверхности. Поэтому в случае выпуклой, поверхности оно направлено внутрь жидкости и добавляется к нормальному давлению жидкости. В случае же вогнутой поверхности жидкость будет находиться под давлением меньшим, чем та же жидкость под плоской поверхностью. Математически это соответствует тому, что радиус кривизны для вогнутой поверхности, когда центр кривизны находится вне жидкости, считается отрицательным, а выпуклой поверхности — положительным. Нужно помнить, что дополнительное давление, создаваемое кривизной поверхности и определяемое уравнением (28), нельзя отождествлять с поверхностными силами, которые, как мы знаем, направлены по касательной к поверхности, в то время как дополнительное давление Лапласа направлено перпендикулярно к ней. Оно возникает лишь в результате действия сил поверхностного натяжения, искривляющих поверхность жидкости.

     Некоторой аналогией этому давлению может  служить давление под резиновой  камерой надуваемого воздухом мяча. Чем больше давление, направленное, конечно, нормально к поверхности  камеры, тем больше растягивается оболочка камеры. Но давление направлено перпендикулярно к поверхности камеры, а силы, растягивающие оболочку, действуют по касательной к ней (только такие силы и могут растягивать материал камеры).  

     

Рис. 13. Часть сферической поверхности жидкости. 

     Возникновение дополнительного давления особенно ясно видно из рисунка 13, на котором изображена часть сферической поверхности жидкости. К любому элементу длины окружности ABCD приложены силы поверхностного натяжения, направленные касательной поверхности сферы. Из рисунка видно, что равнодействующая этих сил направлена к центру сферы. Отнесенная к единице площади поверхности эта равнодействующая сила и является тем дополнительным давлением, которое испытывает жидкость под искривленной поверхностью и которое выражается формулой Лапласа.

Рис.14. Положение жидкости в случае смачивания (слева)

и несмачивания (справа). 

     Знак  его положителен, если сила давления F направлена внутрь, и отрицателен для вогнутых поверхностей, если F направлена наружу. Такой случай встречается при опускании в жидкость узких трубок (капилляров). На рисунке 14 показано положение жидкости в случае смачивания (слева) и несмачивания (справа) [4]. 
 

Глава 2. Капиллярное поднятие жидкости. 

     Мы  видели, что поверхность жидкости, налитой в сосуд, имеет некоторую кривизну вблизи границы между жидкостью и твердой стенкой сосуда, т. е. там, где заметную роль играют силы взаимодействия между молекулами жидкости и твердого тела. В остальной своей части поверхность плоская, так как сила тяжести здесь подавляет молекулярные силы взаимодействия. Однако, если общая величина поверхности невелика, например, в случае, когда жидкость находится в узком сосуде, влияние стенок простирается на всю поверхность жидкости, и она оказывается искривленной на всем своем протяжении (сосуд может считаться узким, когда его размеры сравнимы с радиусом кривизны поверхности жидкости, соприкасающейся со стенками сосуда) [3].

     Если  размеры сосуда, в котором находится  жидкость, или, в общем случае, если расстояние между поверхностями, ограничивающими жидкость, сравнимы с радиусом кривизны поверхности жидкости, то такие узкие сосуды носят название капиллярных от латинского слова capillus, что значит волос. Само явление изменения высоты уровня жидкости в узких трубках называется капиллярностью [13].

     Рассмотрим  некоторые, наиболее характерные явления, связанные с капиллярностью.

     Так как для капиллярных сосудов  характерна, прежде всего, кривизна поверхности  жидкости в них, то естественно, что  здесь больше всего сказывается  влияние дополнительного давления, вызванного кривизной поверхности (давление Лапласа). Непосредственным следствием этого дополнительного давления является так называемый капиллярный подъем. 

     2.1. Жидкость. Капиллярное поднятие в узкой трубке.

     Формула Жюрена 

     Жидкость – агрегатное состояние вещества, промежуточное между твердым и газообразным. Жидкость присуще некоторые черты твердого тела (сохраняет свой объем, образует поверхность, обладает определенной прочностью на разрыв) и газа (принимает форму сосуда, в котором находится, может непрерывно переходить в газ), в то же время она обладает рядом только ей присущих особенностей, из которых наиболее характерная – текучесть.

     По  химическому составу различают  однокомпонентные, или чистые жидкости и двух- или многокомпонентные жидкие смеси (растворы). По физической природе жидкости делятся на нормальные (обычные) жидкости, жидкие кристаллы с сильно выраженной анизотропией и квантовые жидкости. Нормальные чистые жидкости имеют только одну жидкую фазу, может находиться в двух жидких фазах – нормальной и сверхтекучей, в нормальной и двух сверхтекучих. Жидкокристаллические вещества – в нормальной и одной или даже нескольких анизотропных фазах.

     

     Рис. 15. Трубка, опущенная в широкий сосуд с жидкостью:

     r – радиус трубки, h – высота капиллярного поднятие жидкости. 

     На  рис. 15 изображена узкая трубка, опущенная в широкий сосуд с жидкостью. Пусть стенки трубки смачиваются жидкостью. Тогда жидкость, проникшая в трубку, образует вогнутый мениск. Пусть трубка настолько узка, что ее радиус r сравним с радиусом r₀ мениска.

     Вследствие  давления, вызванного кривизной поверхности, жидкость, заполняющая трубку, испытывает давление p, направленное к центру кривизны мениска, т. е. вверх, и равное 2σ/r₀, где r₀ – радиус мениска и σ — коэффициент поверхностного натяжения жидкости. Под действием этого давления жидкость поднимается по трубке до уровня h, при котором гидростатическое давление ρgh столба жидкости высотой h уравновешивает давление p. Условием равновесия будет, следовательно, равенство

     2σ/r₀= ρgh,       (29)

где ρ  — плотность жидкости, а g— ускорение силы тяжести. Это равенство определяет высоту подъема жидкости в капилляре.

     

Рис. 16. Мениск и капилляр.

- радиус мениска,  - краевой угол жидкости, r – радиус трубки. 

     Нетрудно  установить связь между высотой  подъема h и радиусом трубки r. Обратимся для этого к рис. 11, на котором мениск и капилляр изображен в крупном масштабе. Центр сферы, частью которой является мениск, находится в точке О. Краевой угол жидкости, соприкасающейся со стенками капилляра, равен θ. Из чертежа непосредственно следует, что r0=r/cosθ. Поэтому равенство 2σ/r₀= ρgr перепишется в виде:

     2σcosθ/r= ρgh,      (30)

откуда [3]

     h= 2σcosθ/ ρgr.      (31)

     Это выражение, известное как формула Д. Жюрена (J.Jurin, 1684—1750), определяет высоту h капиллярного поднятия жидкости [16].

     В частности, для жидкости, которая  полностью смачивает стенки капилляра  и для которой, следовательно, θ= 0, а cosθ = 1, имеем

     h= 2σ/ ρgr.      (32)

     Как и следовало ожидать, высота подъема  жидкости в капилляре (капиллярный  подъем) растет с уменьшением радиуса  капилляра и с увеличением  коэффициента поверхностного натяжения  жидкости. Если жидкость не смачивает  капилляра, картина будет обратной, так как мениск теперь выпуклый, а центр кривизны находится не вне, а внутри жидкости, и давление Лапласа окажется направленным вниз. Уровень жидкости в капилляре будет теперь ниже уровня в сосуде, в который опущен капилляр (отрицательный капиллярный подъем). Разность уровней h и в этом случае определяется уравнением (31) или (32) [8]. 
 

     2.2. Уравнение Кельвина 

      Искривление поверхности жидкости приводит к изменению над ней равновесного давления пара р по сравнению с давлением насыщенного пара p_s над плоской поверхностью при той же температуре Т. Эти изменения описываются уравнением Кельвина:

           (33)

где - молярный объем жидкости, R - газовая постоянная. Понижение или повышение давления пара зависит от знака кривизны поверхности: над выпуклыми поверхностями (r₀ > 0) p > p_s; над вогнутыми (r₀ < 0) p < p_s. Так, над каплями давление пара повышено; в пузырьках, наоборот, понижено. На основании уравнения Кельвина рассчитывают заполнение капилляров или пористых тел при капиллярной конденсации. Т. к. значения p различны для частиц разных размеров или для участков поверхности, имеющей впадины и выступы, уравнение (33) определяет и направление переноса вещества в процессе перехода системы к состоянию равновесия. Это приводит, в частности, к тому, что относительно крупные капли или частицы растут за счет испарения (растворения) более мелких, а неровности поверхности некристаллического тела сглаживаются за счет растворения выступов и залеживания впадин. Заметные различия давления пара и растворимости имеют место лишь при достаточно малых r₀ (для воды, например, при r₀ [0,1 мкм). Поэтому уравнение Кельвина часто используется для характеристики состояния коллоидных систем и пористых тел и процессов в них.