Применение закона сохранения полной механической энергии в теории колебаний

     .

В произвольном положении кинетическая энергия  груза равна:

    

.

    Так как  , l - длина нити, то

    

.

    Потенциальная энергия равна:

    

,

где , (нулевой уровень потенциальной энергии выберем в положении равновесия О₁).

       Итак

    

.

    Продифференцируем обе части этого уравнения по времени t, учитывая, что :

    

.

    Упростив, получим:

    

.

    Рассмотрим  малые колебания  :

     ,                                              (6)

    Обозначая , получим:

     .                                          (6^*)

    Уравнения  (6) и (6^*)   называют дифференциальными уравнениями гармонических колебаний математического маятника. Решение уравнения (6^*) имеет вид:

    

:

    Частота колебаний этого маятника:

    

.

    Его период:

    

. 
 
 
 
 
 
 

    7. Решение задач с использованием закона сохранения полной механической энергии в курсе общей физики.

    Задача  №1.

    Гиря, положенная на верхний конец спиральной пружины, поставленной на подставке, сжимает её на х = 2 мм. На сколько сожмёт пружину та же гиря, упавшая на конец пружины с высоты h = 5 см?  

Дано:

x=0,002м

h=0,005м

Найти: x₂ 
 

      Решение:

1 способ.

    Рассмотрим  равновесие гири на пружине. Из условия равновесия следует:

     .                                           (1)

    Приманим  теорему об изменении кинетической энергии материальной точки:

    

    Т₀=0, Т=0, так как в начальном и конечном положении гиря покоилась.

    Сумма работ действующих сил равна:

    

    

    

    Где - начальное сжатие пружины;

           -конечное её сжатие.

    Тогда получим:

    

.

    В силу равенства (1) это выражение  примет вид:

    

.

    Путем несложных преобразований получим  квадратное уравнение

    

    или

    

    Решая это квадратное уравнение по соответствующим формулам, получим два корня: х₂ ≈0,0163 (м) и х₂ ≈—0,0123 (м). Физический смысл имеет лишь положительный корень.

Ответ: х₂ ≈ 0,0163 м.

       2 способ.

    Сила  упругости и сила тяжести являются потенциальными, поэтому выполняется  закон сохранения полной механической энергии:

    

    или

    

    Е₀=Т₀+П₀-полная механическая энергия в положении 1.

    T₀, П₀ - кинетическая и потенциальная энергия в начальный момент времени.

    П₀=0, так как гиря покоилась.

    

,

    так как нулевой уровень выбран в положении 2, а в положении 1 пружина не деформирована.

     - полная кинетическая энергия гири в конечном положении 2.

     , так как гиря останавливается.

    

.

    Получили  такой же результат, как и при  решении этой задачи 1 способом:

    

.

    В силу равенства (1) это выражение  примет вид:

    

.

    Путем несложных преобразований получим квадратное уравнение:

    

;

    или

    Решая это квадратное уравнение по соответствующим  формулам, получим два корня: х₂ ≈0,0163 (м) и х₂ ≈—0,0123 (м). Физический смысл имеет лишь положительный корень.

Ответ: х₂ ≈ 0,0163 м.

Задача  № 2.

    Система из трёх грузов, соединённых стержнями длиной  ℓ = 30  см(рисунок), колеблется относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа. Найти период Т колебательной системы. Массами стержней пренебречь, грузы рассматривать как материальные точки.

    Дано:

    ℓ=0,3 м

    m₁=m₂=m₃=m

    Найти: Т

    Решение: 

    

1 способ.

    Для решения задачи применим ІІ закон  Ньютона для вращательного движения:

    

.

так как , то:

    

;

Упростим это  выражение

    

.

Здесь момент инерции  относительно точки О равен:

    

,

Следовательно:

    

,

    или

    

.

Ограничимся случаем  малых колебаний, т.е. , тогда

    

.

Отсюда частота и период системы равны:

                                      ,                      .

    

(с).

Ответ: с. 

2 способ.

    Сила  тяжести является потенциальной, поэтому  имеет место закон сохранения полной механической энергии:

    

,

где Т- кинетическая энергия системы,

      П- её потенциальная энергия.

    Выберем нулевой уровень потенциальной  энергии для силы тяжести в  точке (О).

Кинетическая  энергия в произвольном положении равна

     , так как  , то

    

;

    

       и       ;

    

.

Потенциальная энергия системы равна:

    

и

    или

    

.

Итак, полная механическая энергия системы равна:

    

.

Продифференцируем данное выражение по времени t:

    

.

Упростим это  выражение:

    

.

Отсюда частота  и период системы равны:

                                      ,                      .

    

(с).

Ответ: с.

Задача  № 3.

    Тонкий  обруч, подвешенный на гвоздь, вбитый горизонтально в стену, колеблется в плоскости, параллельной стене. Радиус R обруча равен 30 см. вычислить период Т колебаний маятника.

                                            

Дано:

R=0,3м

Найти: Т

    Решение:

1 способ.

    Для решения задачи применим ІІ закон Ньютона для вращательного движения:

    

,

где M₀ - момент силы тяжести,

       J -момент инерции,

       ε – угловое ускорение.

Итак:

.

Момент инерции  найдем по теореме Штейнера

,

где , так как фигура представляет собой обруч.

Так как  , то

,

Упростив выражение, получим:

.

При малых углах  колебания  .

.

Следовательно, частота и период колебаний обруча равен:

,            .

    

(с).

Ответ: Т≈1,55 с.

2 способ.

    На  обруч действует сила тяжести, она  является потенциальной силой, поэтому справедлив закон сохранения полной механической энергии.

    

.

Где -кинетическая энергия обруча.

По теореме  Штейнера .

- потенциальная энергия диска.

Следовательно

,

продифференцируем данное выражение по времени t:

.

Сократим на и разделим на , получим:

.

Следовательно, частота и период колебаний обруча равен:

,            .

    

(с).

Ответ: Т≈1,55 с.