История новоевропейской философии в ее связи с наукой

Как видно из рассуждений Галилея, понятие бесконечно малого вводится им одновременно с понятием бесконечно большого - эти два понятия взаимно предполагают друг друга, точно так же как это мы видели у Николая Кузанского.

"Неделимое", или бесконечно малое, Галилея очень похоже на "абсолютный минимум" Николая Кузанского, а галилеево "бесконечно большое" - на "абсолютный максимум". И в основе галилеевского построения лежит идея тождества этих противоположностей, в конечном счете восходящая к тождеству единого и бесконечного, составляющему центральный принцип учения Кузанца.

Что отождествление Галилеем "бесконечного" и "неделимого" восходит к совпадению "максимума" и "минимума" Николая Кузанского, нетрудно убедиться еще на одном примере. Опять-таки с помощью математического рассуждения Галилей пытается доказать тезис Кузанца о тождестве единого и бесконечного. Галилей считает само собой разумеющимся, что квадратов целых чисел должно быть столько же, сколько существует самих этих чисел, так как каждый квадрат имеет свой корень и каждый корень - свой квадрат. А между тем "всех чисел больше, чем квадратов, так как большая часть их не квадраты. Действительно, число квадратов непрерывно и в весьма большой пропорции убывает по мере того, как мы переходим к большим числам; так, из числа до ста квадратами являются десять, то есть одна десятая часть; до десяти тысяч квадратами будут лишь одна сотая часть; до одного миллиона - только одна тысячная часть. А в отношении бесконечного числа, если бы только мы могли постичь его, мы должны были бы сказать, что квадратов столько же, сколько всех чисел".

В результате этого рассуждения Галилей делает неожиданный вывод: "...продолжая деление и, умножая число частей в предположении приблизиться к бесконечности, мы на самом деле удаляемся от нее... Мы видели... что чем к большим числам мы переходим, тем реже попадаются в них квадраты и еще реже - кубы; отсюда ясно, что, переходя к большим числам, мы все более удаляемся от бесконечного числа; отсюда можно вывести заключение... что если какое-либо число должно являться бесконечностью, то этим числом должна быть единица; в самом деле, в ней мы находим условия и необходимые признаки, которым должно удовлетворять бесконечно большое число, поскольку она содержит в себе столько же квадратов, сколько кубов и сколько чисел вообще".

Это доказательство Галилея, где наиболее наглядно видна глубокая связь его со способом мышления Николая Кузанского, а именно с его диалектикой "совпадения противоположностей", опять-таки представляет собой парадокс. Единица в понимании античных математиков и философов не являлась числом, а рассматривалась как "начало числа", или "принцип числа"; она есть математический "представитель" того самого единого, которое, в конечном счете, непостижимо. Единица, или единое, порождает все числа при соединении с противоположным ему началом - беспредельным. Ни сама единица, ни беспредельное не суть числа, как поясняли пифагорейцы: первым числом у них является тройка (ибо двойка - это тоже еще не число, а символ беспредельного).

У Галилея, как и у Николая Кузанского, единое и беспредельное оказываются тождественными, и единица, таким образом, есть бесконечное. При этом Галилей, подобно Кузанцу, мыслит бесконечность как актуальную. Сам пример, приведенный Галилеем, представляющий собой утверждение о том, что множество квадратов равномощно множеству всех натуральных чисел, предвосхищает положения теории множеств Георга Кантора.

Галилей прекрасно понимает, что понятие актуальной бесконечности не может быть получено на том пути, на котором мы приходим к понятию бесконечности потенциальной; то действие, которое мы осуществляем, деля, допустим, отрезок пополам, затем на четыре части, на восемь частей и т.д. до бесконечности, никогда не приведет нас к получению актуально бесконечного множества, ибо "такой процесс постепенного деления конечных величин необходимо было бы продолжать вечно; достигнуть же таким путем приближения к неделимым в конечный период времени совершенно невозможно".

Конечная величина, подчеркивает Галилей, не может никогда превратиться в актуально бесконечную путем постепенного ее увеличения: как замечает Галилей, идя этим путем, мы удаляемся от актуальной бесконечности. Между конечным и актуально бесконечным - непереходимый рубеж; как выражается Галилей, можно обнаружить своеобразное "противодействие природы, которое встречает конечная величина при переходе в бесконечность". Галилей приводит и пример такого "противодействия природы": если мы будем увеличивать радиус круга, то длина окружности будет также увеличиваться, однако это будет происходить только до тех пор, пока радиус будет оставаться как угодно большой, но конечной величиной. При переходе к актуально бесконечному радиусу (когда круг становится "большим из всех возможных") круг исчезает и на его месте появляется бесконечная прямая. Ясно, продолжает Галилей, что "не может быть бесконечного круга; отсюда как следствие вытекает, что не может быть ни бесконечного шара, ни другого бесконечного тела, ни бесконечной поверхности". Галилеев пример, как видим, заимствован у Николая Кузанского и должен пояснить то же, что пояснял и Кузанец: принципиальное различие между потенциальной бесконечностью, которая всегда связана с конечным (хотя и как угодно большим) числом, телом, временем, пространством и т.д., и бесконечностью актуальной, которая предполагает переход в иной род, изменение сущности, а не количества.

Попутно мы можем видеть, почему античная наука, понятия которой были теснейшим образом связаны со свойствами круга (и в математике, и в физике), не могла допустить актуальной бесконечности и нашла способы избегать его, тем самым освобождаясь от парадоксов, неизбежно сопровождающих это понятие.

Коль скоро Галилей вводит понятие актуальной бесконечности, он принимает и все те следствия, которые с необходимостью вытекают из этого понятия-парадокса. Так, к понятию актуально бесконечного неприменимы предикаты "больше", "меньше" или "равно". "...Такие свойства, - говорит Сальвиати, - как большая или меньшая величина и равенство, неприменимы к бесконечному, относительно которого нельзя сказать, что одна бесконечность больше или меньше другой или равна ей". Это почти цитата из Николая Кузанского, многократно подчеркивавшего, что к бесконечному неприменимы те определения, которыми пользуется наш рассудок, имея дело с конечными вещами. При переходе к актуальной бесконечности теряют свою силу все то допущения и операции, на которых до сих пор стояла математика. Актуально бесконечные множества, говорит Галилей, содержатся как в отрезке любой конечной длины, так и в бесконечной линии, - ибо могут ли быть равными бесконечности? Именно такое допущение делает Сагредо: "На основании изложенного, - замечает он, - мне кажется, нельзя утверждать не только того, что одно бесконечное больше другого бесконечного, но даже и того, что оно больше конечного". Ход мысли здесь понятен: поскольку в любом конечном отрезке, как бы мал он ни был, лишенных величины точек обязательно будет бесконечное число, то на этом основании он должен быть так же точно причислен к бесконечному, как и бесконечная линия. Вот почему Сальвиати соглашается с Сагредо: "...понятия "больший", "меньший", "равный" не имеют места не только между бесконечно большими, но и между бесконечно большим и конечным".

Трудно более определенно сформулировать исходные предпосылки, которые были бы в противоречии не только с физикой и метафизикой Аристотеля, но и с математикой Евдокса - Евклида - Архимеда, т.е. в противоречии с методологическими основаниями античной науки в целом. Чтобы окончательно разрушить тот барьер, который Аристотель поставил проникновению актуально бесконечного в науку, чтобы доказать несостоятельность аристотелевского решения апорий Зенона и дать этим последним право гражданства в научной мысли, Галилей предпринимает еще одну дерзкую попытку. В ответ на возражение аристотелика Симпличио, что любую линию можно делить до бесконечности, но нельзя разделить на актуально бесконечное множество неделимых точек (ибо линия, по Аристотелю, не состоит из неделимых, как и всякий континуум, - будь то время или непрерывное движение), Галилей заявляет, что "разложение линии на бесконечное множество ее точек не только не невозможно, но сопряжено не с большими трудностями, чем разделение на конечные части". Производится же это разложение с помощью того самого предельного перехода от многоугольника с как угодно большим количеством сторон к многоугольнику с актуально бесконечным количеством сторон, т.е. к окружности, который обычно применяют и Кузанец, и Галилей. Предложенный Галилеем прием, по его словам, должен заставить перипатетиков "принять, что континуум состоит из абсолютно неделимых атомов".

Именно от Галилея, как можно видеть из приведенного рассуждения, исходит представление о круге как наглядно данной актуальной бесконечности, т.е. о линии, актуально разделенной на бесконечно большое число неделимых. Не только в науке, но и в философии нового времени круг становится символом актуальной бесконечности. Именно в этой роли мы встречаем его впоследствии у Гегеля, который противопоставляет актуально бесконечное как истинно бесконечное "дурной" - потенциальной бесконечности. Последняя для него воплощается в образе прямой линии, уходящей в бесконечность, а первая - в виде замкнутой линии, т.е. круга. Интересно, что при этом Гегель считает, что возвращается к исходным понятиям античной науки, прежде всего к Платону и Аристотелю, тогда как в действительности он стоит на почве, подготовленной Николаем Кузанским и Галилеем. В античности круг - это не образ актуально бесконечного, а образ целого, которое отнюдь не тождественно актуально бесконечному нового времени, хотя не один только Гегель произвел отождествление этих двух понятий.

В результате размышлений над проблемой бесконечного и неделимого Галилей, таким образом, приходит к выводу, что континуум состоит из неделимых атомов. Это утверждение возвращает его к той проблеме, в связи с которой он и предпринял свой анализ понятия бесконечного, а именно к проблеме связности частей твердого тела. Интересно, что теперь Галилей может отбросить ту вспомогательную гипотезу, к которой прибег в начале, - гипотезу о пустых промежутках в твердых телах. "...Приняв, что тела состоят из неделимых частиц, мы можем, как мне кажется, понять и явления разрежения и сгущения тел, не прибегая для объяснения первого к признанию пустых промежутков, а второго - к проникновению одних тел в другие".

2. Теория  движения Галилея 

Понятия бесконечного и неделимого выполняют важную методологическую функцию в механике Галилея; парадоксальный характер этих понятий кладет свою печать и на галилеевскую теорию движения. Переворот, осуществленный Галилеем именно в объяснении движения, положил начало новому пониманию науки вообще. Поэтому нам важно показать, в чем именно состоит этот переворот и какие методологические принципы легли в основу галилеевской механики.

Средневековая физика при рассмотрении движения исходила из двух фундаментальных принципов перипатетической кинематики: во-первых, всякое движение предполагает двигатель (omne quod movetur, ab aliquo movetur); во-вторых, любое тело оказывает сопротивление движению, это сопротивление должно быть преодолено, чтобы началось движение, и постоянно преодолеваемо, чтобы движение продолжалось (resistentia est causa successionis in motu - сопротивление есть причина последовательности в движении). Первое положение означает, что всякое движение нуждается для своего возникновения и сохранения в постоянно действующей силе. Второе положение по существу сводится к аристотелевскому тезису о невозможности движения в пустоте: там, где движущемуся телу не оказывалось бы никакого сопротивления, имело бы место не движение как последовательное изменение пространственного положения тела, протекающее во времени (motus), а мгновенное изменение (mutatio), происходящее вне времени, или, что то же самое, с бесконечной скоростью. Такого рода мгновенное изменение, как полагал Аристотель, должно было бы происходить в пустоте, а потому допущение пустоты разрушало бы всю систему перипатетической науки о движении. Закон, согласно которому "все движущееся движется чем-то", дополнялся в античной и средневековой физике положением, что состояние покоя для своего сохранения не нуждается ни в каком внешнем факторе. Тем самым утверждалась онтологическая неравноценность двух различных состояний: покоя и движения - неравноценность, имеющая свое обоснование в философском мышлении античности и коренящаяся в характерных особенностях мировоззрения древнего и средневекового человека. Движение мыслится Аристотелем как изменение состояния тела, а покой - как неизменность этого состояния. Движение и покой здесь - не относительные понятия, какими они стали в механике нового времени как раз благодаря Галилею, а понятия, так сказать, абсолютные: движется ли тело или покоится, это определялось не через отношение его к любому другому телу или системе тел, которые онтологически равноправны с первым, а по отношению к абсолютным точкам отсчета: центру и периферии космоса, т.е. абсолютному "низу" и "верху". С помощью абсолютных "верха" и "низа" вводилось существенное для античной и средневековой физики различение естественного и насильственного движений. Поэтому античная и средневековая физика в той мере, в какой она исходила из Аристотеля, предполагала конечный космос, в котором понятия верха и низа не только имели характер абсолютных ориентиров, но и различались между собой чисто физически: "верх" (надлунный мир, или, как его еще называли, небо) как по составу заполняющего его пятого элемента - эфира, так и по характеру движения небесных тел принципиально отличался от мира подлунного.

Нет надобности говорить о том, насколько перипатетическая космофизика была связана с философией Аристотеля: всякая попытка критически пересмотреть положения последней тут же сказывалась и на системе физического знания и, наоборот, критика отдельных положений аристотелевой физики вела к необходимости пересмотра и его философии в целом.

Это одна из причин того, что в средние века аристотелевская физика с самых разных сторон подвергалась критическому пересмотру; и хотя в целом она и просуществовала вплоть до XVII в., но отдельные ее положения - и притом нередко весьма принципиальные - получали новое истолкование. Это и понятно: ведь христианская теология, господствовавшая в средневековье, не могла без оговорок принять философию языческого мыслителя, а это, в свою очередь, сказывалось и на отношении к физике. В XIII-XIV вв., когда интерес к Аристотелю был особенно велик, подверглись пересмотру некоторые важные понятия как его физики, так и космологии. Интерес средневековых ученых сосредоточивается вокруг понятия актуальной бесконечности, которого избегала античная наука, в том числе и физика Аристотеля; в средневековой физике впервые появляется понятие бесконечно большого тела, бесконечно удаленной точки, а также - именно в связи с рассмотрением движения - экстенсивной и интенсивной бесконечности. Очень важными для последующего развития науки были рассуждения средневековых ученых о возможности пустоты: именно через этот канал проникает в физику идея однородного геометрического пространства, лишенного всяких "абсолютных мест". С рассмотрением вопроса о возможности пустоты оказывается тесно связанной проблема континуума - в этом смысле Галилей, связавший воедино решение этих двух вопросов, движется в русле традиции XIII-XIV вв.

Средневековая наука подготовила и пересмотр аристотелевского противопоставления "естественного" и "искусственного", который окончательно произошел только в конце XVI-XVII вв. и без которого не могла бы сложиться механика как наука. Связанное с этим пересмотром разрушение границы между физикой как познанием природы и механикой как искусством, как созданием средств "обмануть природу", границы, которую признавали незыблемой в античности и в средние века вплоть до XIII в., создавало одну из фундаментальных предпосылок появления эксперимента - этой важнейшей составляющей естествознания нового времени.

Но, пожалуй, едва ли не самым существенным изменением, внесенным в средневековье в аристотелевскую физику, была так называемая идея импетуса, или импульса, с помощью которой предполагалось объяснить движение брошенных тел, получившее весьма неудовлетворительное объяснение у Аристотеля. Метательное движение представляет большое затруднение для физики, которая исходит из того, что все движущееся движется чем-либо. В случае естественного движения тело как бы движется "местом": стремление к своему естественному месту (у тяжелых тел - к центру Земли, у легких - к периферии космоса, к небу) является "двигателем" тела. В случае насильственного движения, например, при поднятии тяжелых тел вверх или при передвижении их в горизонтальном направлении, это живая сила (лошадь, человек и т.д.) или же искусственно созданный агрегат, приводимый в действие либо природной стихией, либо опять-таки живой силой. Но как объяснить случай "насильственного" движения брошенного тела, на которое больше не воздействует двигатель, но которое, тем не менее, еще продолжает двигаться? Согласно Аристотелю, при метательном движении имеет место передача движения через ближайшую к телу среду: бросающий приводит в движение не только брошенное тело, но и воздух, который в состоянии некоторое время приводить в движение тело, являясь, таким образом, промежуточным двигателем.