Формирование теории хаоса

Лоренц считал, что за длительный период времени при неизменном потоке воды система обретет устойчивое состояние. Колесо будет либо равномерно вращаться, либо постоянно колебаться в двух противоположных направлениях. Но Лоренц обнаружил еще одно обстоятельство.

Три уравнения с тремя переменными  полностью описывали движение данной системы. Чтобы наглядно изобразить полученные результаты, Лоренц использовал каждый набор из трех чисел в качестве координаты точки в трехмерном пространстве. Таким образом, последовательность чисел воспроизводила последовательность точек, линия, фиксировавшая поведение системы. Эта линия должна была по предположению Лоренца, начиная с определенной точки, расположиться параллельно осям координат, это означало бы достижение системой устойчивости при стабилизации скорости и температуры. Кроме того был возможен второй вариант – формирование петли, повторяющейся вновь и вновь, который бы говорил о переходе системы в периодически повторяющееся состояние.

На практике не обнаружилось ни того, ни другого. Вместо ожидаемого эффекта появилось нечто бесконечно запутанное, всегда расположенное в определенных границах, но никогда и не повторяющееся. Изгибы линии приобретали странные, весьма характерные очертания, что-то похожее на два крыла бабочки или на двойную спираль в трехмерном пространстве. И эта форма свидетельствовала о полной неупорядоченности, поскольку ни одна из точек или их комбинаций не повторялась. Данная кривая получила название «аттрактор Лоренца». Она воплощает в себе сложность и запутанность, все многообразие хаоса, и является первым найденным странным аттрактором.[3]

Понимание понятия аттрактора неотделимо от понимания понятия фазового пространства. Итак, фазовое пространство – это некоторое абстрактное пространство, координатами которого являются степени свободы системы. К примеру, у маятника две степени свободы. Его движение полностью определено начальной скоростью и положением. Если движению маятника не оказывается сопротивления, то фазовым пространством будет замкнутая кривая.[7]

В реальности на Земле на движение маятника влияет сила трения. В этом случае фазовым пространством будет спираль. Однако если в систему ввести внешний, фактор, как если бы маятник раскачивали внешние толчки, как детские качели, всего крошечная доля нелинейности  и кривая теряет всю свою простоту. Уравнения, передающие движение качелей, устанавливают связь между углом колебаний маятника, скоростью, преодолеваемым трением и движущей силой. Однако любой исследующий данную систему обнаруживает, что он не в состоянии ответить на простейшие вопросы о будущих состояниях системы в силу того, что в уравнениях присутствует крошечная доля нелинейности. С помощью компьютера можно смоделировать эти состояния, бегло просчитав каждый цикл. Однако моделирование имеет свои минусы, порожденные «эффектом бабочки»: малые отклонения делают его практически бесполезным, поскольку системе свойственна «сильная зависимость от начальных условий». [5]

Тем не менее, вместе с непредсказуемостью, Лоренц открыл некоторую регулярность. Другим исследователям также удавалось обнаружить намек на структурирование в беспорядочном, на первый взгляд, поведении изучаемых систем. Тем, кто не отмахнулся от исследования маятника как объекта, чересчур простого для изысканий, удалось разглядеть весьма интригующие детали. Ученые осознали, что, хотя основное в механизме колебаний маятника уже постигнуто физикой, это знание невозможно применить для прогнозирования долговременного поведения системы. Мелкие детали были уже ясны, а поведение маятника в крупных временных масштабах все еще представлялось загадкой. Рушился традиционный, локальный подход к исследованию систем, подразумевающий рассмотрение каждого их элемента в отдельности, а затем соединение последних. В отношении маятников и жидкостей, электронных схем и лазеров метод познания, основанный на составлении уравнений, уже не оправдывал себя. Он не отвечал требованиям времени.

Итак, аттрактор - это то, к чему стремится прийти система, к чему она притягивается. Самым простым типом аттрактора является точка. Такой аттрактор характерен для маятника при наличии трения. Независимо от начальной скорости и положения, такой маятник всегда придет в состояние покоя, т.е. в точку. Следующим типом аттрактора является предельный цикл, который имеет вид замкнутой кривой линии. Примером такого аттрактора является маятник, на который не влияет сила трения. Еще одним примером предельного цикла является биение сердца. Частота биения может снижаться и возрастать, однако она всегда стремится к своему аттрактору, своей замкнутой кривой. Третий тип аттрактора – тор. Однако для реально существующих нелинейных объектов характерен особый вид аттракторов, получивших название «странных».

Несмотря на сложность поведения  хаотических аттракторов, иногда называемых странными аттракторами, знание фазового пространства позволяет представить поведение системы в геометрической форме и соответственно предсказывать его. И хотя нахождение системы в конкретный момент времени в конкретной точке фазового пространства практически невозможно, область нахождения объекта и его стремление к аттрактору предсказуемы.

Даже микроскопическое отклонение двух систем в самом начале в процессе эволюции приводило к экспоненциальному  накоплению ошибок и соответственно их расхождению. Вместе с тем, любой аттрактор имеет граничные размеры, поэтому экспоненциальная расходимость двух траекторий разных систем не может продолжаться бесконечно. [5]

Рано или поздно орбиты вновь  сойдутся и пройдут рядом друг с другом или даже совпадут, хотя последнее очень маловероятно. Кстати, совпадение траекторий является правилом поведения простых предсказуемых аттракторов. Сходимость-расходимость (говорят также, складывание и вытягивание соответственно) хаотического аттрактора систематически устраняет начальную информацию и заменяет ее новой.

При схождении  траектории сближаются и начинает проявляться  эффект близорукости - возрастает неопределенность крупномасштабной информации. При расхождении  траекторий наоборот, они расходятся и проявляется эффект дальнозоркости, когда возрастает неопределенность мелкомасштабной информации.

В результате постоянной сходимости-расходимости хаотичного аттрактора неопределенность стремительно нарастает, что с каждым моментом времени лишает нас возможности  делать точные прогнозы. То, чем так гордится наука - способностью устанавливать связи между причинами и следствиями - в хаотических системах невозможно.

Причинно-следственной связи между прошлым и будущем  в хаосе нет. Здесь же необходимо отметить, что скорость схождения-расхождения является мерой хаоса, т.е. численным выражением того, насколько система хаотична. Другой статистической мерой хаоса служит размерность аттрактора.

Таким образом, можно отметить, что основным свойством  хаотических аттракторов является Сходимость-расходимость траекторий разных систем, которые случайным образом постепенно и бесконечно перемешиваются. Здесь проявляется пересечение фрактальной геометрии и теории хаоса. И, хотя одним из инструментов теории хаоса является фрактальная геометрия, фрактал - это противоположность хаоса.

Главное различие между хаосом и фракталом заключается  в том, что первый является динамическим явлением, а фрактал статическим. Под динамическим свойством хаоса  понимается непостоянное и непериодическое  изменение траекторий.

4. Фрактал

Появление фракталов в математической литературе более 100 лет назад, было встречено  с прискорбной неприязнью, как  это бывало и в истории развития других математических идей. Общее  мнение признало их патологией, имеющей  интерес только для исследователей, злоупотребляющих математическими причудами, но не для реальных ученых.

Однако многие природные системы  настолько сложны и нерегулярны, что использование только знакомых объектов классической геометрии для  их моделирования представляется безнадежным. Как, к примеру, построить модель горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать то многообразие биологических конфигураций, которое мы наблюдаем в мире растений и животных? Представьте себе всю сложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела. Представьте, как хитроумно устроены легкие и почки, напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной.[10]

Первым к этому понятию подступился  сотрудник исследовательского отдела корпорации Ай-Би-Эм, Бенуа Мандельброт. В числе прочего Мандельброт занимался экономикой – изучал распределение крупных и малых доходов в финансовой сфере. Хаутхаккер, профессор экономики в Гарварде, пригласил его на беседу. Прибыв в Латтауэровский центр, величественное знание факультета экономики, молодой математик обнаружил плоды своих изысканий на грифельной доске. Диаграмма не имела ничего общего с распределением доходов – она отражала изменение цен на хлопок за последние восемь лет.

Экономисты всегда считали, что  цены на хлопок варьируются как предсказуемым, так и совершенно случайным образом. Долгое время уровень их определялся  реальными событиями в экономике: подъемами и спадами в легкой промышленности Новой Англии, освоением  новых зарубежных рынков. Краткосрочные колебания носили в той или иной степени случайный характер. Данные Хаутхаккера противоречили его ожиданиям: наблюдалось слишком много больших скачков. Конечно, в большинстве своем ценовые изменения были незначительными, однако соотношение между большими и малыми скачками оказалось не столь высоким, как ожидал профессор. Вероятность подобных событий падала не слишком быстро, и функция, описывающая ее, имела длинный «хвост».

Стандартной моделью указанных  вариаций всегда являлась колоколообразная кривая: вблизи ее максимума значения измеряемой величины стремятся к некоторому среднему, а слева и справа от вершины плавно спадают. Эта кривая, называемая функцией Гаусса или функцией нормального распределения отклонений, в среде статистиков столь же ходовой инструмент, как стетоскоп – у врачей. Она проясняет природу случайности. Дело в том, что при изменении параметров любых объектов, изучаемых науками о природе и обществе, измеряемые значения с большой вероятностью стремятся к некоторой средней величине, удаление от которой происходит медленно и плавно. Как говорилось выше, функция Гаусса – весьма полезный инструмент, но даже она не всегда помогает проложить дорогу в дебрях экономики. Как выразился лауреат Нобелевской премии Василий Леонтьев, «ни в одной из эмпирических сфер исследования столь эффективный статистический аппарат не использовался со столь неопределенными результатами».

Построенный Хаутхаккером график никак  не желал принимать форму функции  нормального распределения. Вместо этого кривая ценовых изменений приобретала очертания, которые Мандельброт начал распознавать в графиках удивительно далеких, несопоставимых друг с другом явлений. В отличие от других математиков, при столкновении с требующими ответа вопросами он прислушивался к свой интуиции, доверял своему нюху на модели и формы. Не полагаясь на анализ, он верил образам, что зрели в сознании. В нем крепло убеждение, что течение случайных, стохастических процессов подчиняется особым законам. Вернувшись в огромный исследовательский центр корпорации IBM, Мандельброт внес информацию Хаутхаккера о ценах на хлопок в компьютерную базу данных, а позже обратился в Министерство сельского хозяйства с просьбой выслать дополнительные сведения, восходящие к 1900-му году.

Так получилось, что в картине мира по Мандельброту не нашлось места дихотомии. Вместо того чтобы отделить небольшие изменения от ощутимых, воображение свело их воедино. Ученый не отдавал предпочтения ни мелкому, ни крупному масштабу, ни дням, ни десятилетиям – его интересовала целостная картина. Он весьма отдаленно представлял, как передать на бумаге то, что рисовалось ему в мыслях, однако верил, что во всем происходящем должна присутствовать некоторая симметрия – даже не правого и левого, верхнего и нижнего, а скорее симметрия крупных и мелких масштабов.

И действительно, когда Мандельброт  на компьютере проанализировал информацию об изменении цен на хлопок, ожидаемые  им потрясающие результаты не заставили  себя ждать. Точки, которые не желали ложиться а кривую нормального распределения, обнаруживали странную симметрию, иначе говоря, каждый отдельно взятый скачок цены был случайным и непредсказуемым, однако последовательность таких изменений не зависела от масштаба. Кривые, изображавшие дневные скачки, и те, что воспроизводили месячную динамику, прекрасно соответствовали друг другу.

Мандельброт сохранил решимость изучать феномен масштабирования. После работы на Ай-Ви-Эм Мандельброт пробовал себя во множестве областей, но нигде не задерживался. Его всегда считали аутсайдером. Он выбрал для своих изысканий забытый всеми раздел математики и ошарашил коллег экстравагантностью подхода. Он вторгался в те сферы, где его редко привечали. Он скрывал самые грандиозные свои идеи, лишь бы добиться публикации статей. Он сохранял за собой мсто только благодаря снисходительности работодателей. Он совершал набеги на пограничные дисциплины и быстро ретировался, оставляя после себя обманчивые надежды и почти никогда – законченные работы.

В теории хаоса Мандельброт проложил себе особый путь, ибо несмотря ни на что формировавшийся в его мозгу образ реальности превратился в начале 60-х годов из причудливой картинки в полноценное геометрическое построение. Для физиков, развивавших идеи ученых вроде Лоренца, математик был досадной помехой, но предложенные им методы и язык исследований составили неотъемлемую часть зарождавшейся науки.[1]

Мандельброт в числе прочего  изучал такие явления как шум  в сигналах связи, а так же уровень  реки Нил в Египетской истории. Он обнаружил что в природных  явлениях имеют место два казалось феномена.  Скачок – когда количественная величина может изменяться сколь угодно быстро, и непрерывность, когда в данных наблюдается некоторая периодичность.

Два явления – скачок и непрерывность  – стремятся к противоположным  результатам, но сводятся к одному: тенденции в природе вполне реальны, однако способны затухать так же быстро, как и проявляться.

Отсутствие последовательности, внезапные  «вспышки» помех, множества Кантора  – подобным явлениям не нашлось  места в геометрии двух прошедших тысячелетий. Формами классической геометрии считаются прямые и плоскости, окружности и сферы, треугольники и конусы. Они воплощают могущественную абстракцию действительности, они вызвали к жизни непревзойденную философию гармонии Платона. Евклид построил на их основе геометрию, известную уже две тысячи лет, и по сей день большинство людей знакомо только с ней.