Автор работы: Пользователь скрыл имя, 27 Декабря 2013 в 00:16, курсовая работа
В настоящее время глобальная мировая экономика, в которой большинство стран открыты для взаимодействий с другими государствами, прогрессивно развивается. И, соответственно, чтобы четко прослеживать, как эти макроэкономические процессы отражаются на развитии той или иной страны, необходимо уделять большое внимание их исследованию, а, следовательно, прибегнуть непосредственно к математическому моделированию.
2) Общее число занятых M (в производственной сфере) изменяется с постоянным темпом прироста V.
3) Коэффициенты износа ОПФ Y и прямых затрат а. секторов постоянны.
4) Экономика замкнутая, т. е. внешняя торговля в математической модели напрямую не рассматривается.
5) Время t изменяется непрерывно.
Используя указанные предположения,
можно построить трехсекторную модель экономики3:
M = M(0)вг‘ (число занятых);
M0 + M1 + M2 = M (распределение занятых по секторам);
= ~mК.+ M, К(0) = К0,. =0,1,2 (динамика фондов по секторам); (3)
X . = ¥ 1 (К . , M . ) , Y = 0,1, 2 (выпуск продукции по секторам);
X1 = 10 + 11 + 12 (распределение
продукции фондосоздающего
X0 - а0 X0 + а1 X1 + а2 X2 (распределение продукции материального сектора, (6) где I - инвестициионный сектор; V - темп прироста числа занятых; /и- коэффициенты выбытия основных производственных фондов по секторам; а,- коэффициенты прямых материальных затрат по секторам.
Задачу определения M(0, К(0, X(t) из модели (1)-(6) по заданным V, ц., а., К0 будем называть прямой задачей в трехсекторной математической модели экономики.
По отношению к этой прямой задаче сформулируем обратную задачу: по заданным переменным M(О, К(), X(t), I р), у=0, 1, 2, найти параметры V, /п., а., 7=0, 1, 2.
Метод решения поставленной задачи. На практике величины U, К(0, XJ(t), /.(О, у=0, 1, 2 согласно экспериментальным данным могут быть заданы только в дискретные моменты времени t0, ^, К, tn
Находим значения К' ^ ) в точках t0, t1, К, tn численно4, где у=0, 1, 2. "
Если К' (t0 ), К' (t1 ), ..., К' (t п ) вычислены, то воспользовавшись соотношениями (3), приходим к системам алгебраических уравнений
К 0 ^ 0) = -^0°К ^ 0) +1 o(to),
К 0 (tl) = ~^1К 0(А) +1 o(tl),
К0 ) = -^К0(/п ) + 10^ ),
'к;с^ 0) = К1(/0)+/1(^0),
<К^1) = -А К1(^1) + /1(^1),
к;(tn) = -^lnKl(tn)+/1(/п),
К2 (0 _ ~^2 К2 0 ) + 12 0 ),
К2 (t1) = “^К2(0 + 12(t1),
К2 ) = -^2ПК2(tn ) + 12& ).
Таблица 1
t0 t1 12 к tn
* 0(0 = K 00 K 0(0 = K10 K 0(t 2) = K 20 к K 0 (t.) = K
KM = K1 K1(t1) = k1 K1(t 2) = K1 к K1(tn) = K1
K 2 (t 0) = K 02 K 2(t1) = K12 K 2 (t 2) = K 22 к K 2 (t.) = Kn
L(t0 ) = L0 L(tx) = L1 L(t2) = L2 к L(t ) = L \ n у n
IM = 100 10(t1) = I10 10(t 2) = 12 к 10(tn ) = /0
/1(0 = 10 I1 (t1)=/1 /1 (t 2)=11 к /1(tn ) = /1
12 (t 0) = 102 12(t1) = /12 12 (t 2) = 12 к 12 (tn ) = /2
X 0(t 0) = X 00 X 0(t1) = X10 X 0(t 2) = X 20 к X0(tn ) = X„°
X 1(t 0) = X 0 X 1(t1) = X1 X 1(t 2) = X1 к X 1(tn) = X1
X 2(t0) = X 02 X 2(0 = X12 X2 (t2) = X22 к X2 (tn ) = X2
Из (7) находим Ц0, д1,..., и U, из (8) находим д0, М1 ,•••,К , из (9) находим £,.
Решая задачи квадратичного программирования :
(М> -^о0)2 + (М> -мУ +... + (М> )2 ^ min, 0 ^ 1
Сц-м°)2 + Сц-rt1)2 +.. + (А - rt) 2 min, 0 ^ ^ 1 (10)
(Мг -^20)2 + (Мг -^)2 + ... + (Мг )2 ^ min, 0 ^ ^ 1, найдем наилучшую в среднем квадратической оценки д,, А „п2 параметров ^, А соответственно.
Воспользовавшись данными табл. 1 и соотношением (1) приходим к системе алгебраических уравнений:
ln L (t1) = ln L0 +vt1
ln L (t 2) = ln L0 +vt 2, (11)
Jn L (t„ ) = ln L0 +vtn.
Из (10) находим v1, v2,.., vn. Решая задачу квадратичного программирования
(у-^)2 +(у-ух)2 +.. ,+(у-у1)2 т, -1 <у<\ (12)
найдем наилучшую в среднем квадратичную оценку V параметра V.
Аналогично, по данным табл. 1, воспользовавшись соотношением (6), придем к системе
X0 (t0 ) _ a0X0 (t0 ) + a1X1 (t0 ) + a2X2 (t0
), X0 (t1 ) _ a0X0 (t1 ) ^ a1X1 (t1 ) ^ a2X2 (t1 ),
_Х0 (^п ) _ а0Х0 ) + а1Х1 0п ) + а2Х2 0п ).
Из системы (13), группируя первые п уравнений системы по га подсистем из 3 уравнений находим
/0 0 0 \ /1 1 1\ / т т т\
(а0,, а.2), (а0, а^,а2V-- , (а0 ,а , а ) . Решая задачу квадратичного программирования
(а0 _а00)2 + (а0 _а0)2 +... + (а0 _а”)'
(а -а^)2 + (а1 - а})2 + . . . + (а; - а!” )2
► min, 0 < a„ < 1,
► min, 0 < a1 < 1, (14)
а _ a2) + (a2 _ a2) +... + (a2 _ a2)
min, 0 < a2 < 1
Таблица 2
t0 = 0 t =1 t2 _ 2 t3 = 3 t4 = 4
K 0(0 = 400 к 0(0 = 480 K 0(t 2) = 500 K 0(t3) = 520 K 0(t 4) = 550
KAh) = 420 KJ(tJ) = 450 K1(t 2) = 480 K1(t3) = 500 K1(t 4„ ) = 540
к 2(t 0) = 440 K 2(t1) = 460 K 2 (t 2) = 480 K 2(t3) = 510 K 2(t 4) = 520
L(t0) = 1000 L(t1) = 1020 L(t 2) = 1040 L(t3) = 1050 L(t„ ) = 1100
10(t 0) = 300 I c(t1) = 310 10(t 2) = 315 10(ta) = 330 10(t 4) = 340
I1(t0) = 400 I1 (t1 ) = 420 I1(t 2) = 430 I1(t3) = 440 A(t 4) = 450
12 (t 0) = 400 12(t1) = 410 12 (t 2) = 420 12(ta) = 430 12 (t 4) = 440
X 0(t 0) = 450 X 0(t1) = 455 X 0(t 2) = 460 X 0(t3) = 430 X 0(t 4) = 440
X1 (t 0) = 350 X1 (t1) = 320 X 1(t 2) = 400 X1 (t3) = 380 X 1(t 4) = 390
X 2(t 0) = 490 X 2(0 = 495 X 2 (t 2) = 510 X 2(t 3) = 520 X 2(t 4) = 530
найдем наилучшую в среднем квадратичную оценку параметров соответственно.
При решении задач квадратичного программирования (10), (12), (14) можно использовать средства Microsoft Excel.
Пример. Значения L(t), K(t), X(t), I(t), j = 0, 1, 2, в момент времени t = 0, 1, 2, 3, 4 представлены в табл. 2.
Требуется найти наилучшие в среднем квадратичные оценки у ß0,ß[,'p2, а0 ,3,, а2 параметров v, ц., a., i = 0, 1, 2.
Решение. Согласно данным, приведенным в табл. 2, системы (7)-(9), (11), (13) соответственно принимают вид (в данном случае в (7)-(9) отсутствует последнее уравнение):
80 = ~^0 " 400 + 300,
20 = -ß0 • 480 + 310, (15)
20 = -ß0 • 500 + 315,
30 = -ß0 • 520 + 320;
30 = 420 + 400,
30 = 450 + 420,
20 = • 480 + 430,
40 = • 500 + 440;
(16)
20 = д2 ■ 440 + 400,
20 = —д2 • 460 + 410,
30 = • 480 + 420,
10 = • 510 + 430;
(17)
v1 = 1 • ln
1020 1000 , 1040
v7 = — • ln-2 2 1000
1 1050
v, = — • ln
1000
1100
v4 = -• ln-4 4 1000
3
450 = а0 • 450 + ах • 350 + а2 • 490,
455 = а0 • 455 + а1 • 320 + а2 • 495,
460 = а0 • 460 + а1 • 400 + а2 • 510, (19) 430 = а0 • 430 + ах • 380 + а2 • 520,
440 = а0 • 440 + а1 • 390 + а2 • 530.
Из системы (15) находим д00 = 0,55, jul = 0,6, д02 = 0,59, д03 = 0,58 ;
из системы (16) находим
д! = 0,88, д! = 0,87, д! = 0,85, д! = 0,8 ; из (17) находим
д0 = 0,86, ц\ - 0,85, д22 = 0,8, ßl = 0,82 ; из (18)
у = 0,0198, v2 = 0,0196 v3 = 0,016, v4 = 0,024 ; и наконец, из (19) находим
аг0 = 1, a1 = 0, = 0, i = 0,1,...,m.
Задачи (15)-(19) в данном случае принимают соответственно вид:
(д0 - 0,55)2 + (д0 - 0,6)2 + (д0 - 0,59)2 + (д0 - 0,58)2 ^ min, 0 < /и0 < 1,
(д1 - 0,88)2 + (д1 - 0,87)2 + (д1 - 0,85)2 + (д1 - 0,8)2 ^ min, 0 < цх < 1,
(д2 - 0,86)2 + (д2 - 0,85)2 + (д2 - 0,8)2 + (д2 - 0,82)2 ^ min, 0 < ц2 < 1,
(v - 0,0198)2 + (у- 0,0196)2 + (у- 0,016)2 + (у- 0,024)2 ^ min, -1 < v < 1,
(a0 -1)2 + (a0 -1)2 + (a0 -1)2 + (a0 -1)2 ^ min, 0 < a0 < 1,
(a1 - 0)2 + (a1 - 0)2 + (a1 - 0)2 + (a1 - 0)2 ^ min, 0 < a1 < 1,
(a2 - 0)2 + (a2 - 0)2 + (a2 - 0)2 + (a2 - 0)2 ^ min, 0 < a2 < 1.
С помощью средств Microsoft Excel находим окончательно исходной задачи: д0 = 0,58, д = 0,85, д2 = 0,83, V = 0,02, а0 = 1, щ = 0, а2 = 0.
Список использованной литературы