Анализ и синтез оптимальной системы автоматического регулирования

 

, 

 

где n- число расчетных ординат; i-я ордината кривой сигнала выхода с модели; i-я ордината экспериментальной взаимной корреляционной функции; λ_i – коэффициент приоритета i-ой ординаты R_xy.

Величина коэффициентов приоритета выбираются от 0 до 1 в зависимости от степени доверия к различным участкам кривой взаимной корреляционной функции. Значения испытательного сигнала RA, экспериментальной взаимной корреляционной  функции RB, коэффициентов приоритета λ внесены в табл. 1.3.   

 

 

 

                                                           

                                                                                                     Таблица 1.3

m	n	RA	RB	λ
-6	1	0	-21	0
-5	2	5	-5	0,5
-4	3	12	3	1
-3	4	35	11	1
-2	5	82	26	1
-1	6	143	51	1
0	7	210	85	1
1	8	143	104	1
2	9	82	96	1
3	10	35	96	1
4	11	12	53	1
5	12	5	32	0,8
6	13	0	20	0,4
7	14	0	-7	0
8	15	0	-23	0
9	16	0	-36	0
10	17	0	-21	0
11	18	0	-21	0
12	19	0	-40	0
13	20	0	-12	0

 

 

Поиск параметров объекта k_о и Т_о выполнены методом Гаусса – Зайделя. Каждому сочетанию k_о и Т_о соответствует определенное значение целевой функции J. Последовательным целенаправленным изменением k_о и Т_о достигается условие J = min. Значение k_о и Т_о, удовлетворяющие условию J=min, равны

 

k₀ = 0,67; T₀ = 1,1 .  

 

Ординаты кривой  (Рис. 1.6) записываются в табл. 1.4.

 

                                                                                                                 Таблица 1.4 

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Rxyм	0	-3,3	-8,16	-6,85	-5,12	-1,42	14,09	39,61	76,82	116,53
n	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Rxyм	100,74	66,55	35,22	11,13	0,47	-4,17	-8,43	-5,92	-1,84	-0,57

 

Рис. 1.6 Корреляционные функции

 

В области минимума исследуются  экстремальная поверхность с  границами

 

      K_о = К_{о опт}·(1 0,05);

      Т_о = Т_{о опт}·(1 0,05).

 

На границах этой области  определены значения функционала J. Область минимума с указанием значений J представлена на рис. 1.7.

        На рис. 1.6 показан испытательный сигнал, кривые экспериментальной взаимокорреляионной функции и взаимокорреляционной функции, полученной с модели . 

 

 

                                 Рис. 1.7 Область минимума

 

 

1.5.  Динамические характеристики объекта идентификации

 

Дифференциальное уравнение  исследуемого объекта

;

.

 

Переходная и импульсная функции

 

;

.

 

По передаточной функции  объекта

 

 

 

подстановкой p=j·ω  определены его частотные характеристики

 

;

;

;

;

.

 

Все частотные и временные характеристики представляются соответствующими графиками  ( рис. 1.8, 1.9, 1.10, 1.11, 1.12, 1.13 ).

 

Рис.1.8 Переходная функция объекта  идентификации

 

 

 

Рис.1.9 Импульсная функция  объекта 

идентификации

Рис.1.10 Вещественная частотная 

               характеристика объекта

             идентификации

Рис.1.11 Мнимая частотная  характеристика

          объекта идентификации

Рис.1.12 Амплитудно-частотная характеристика

объекта идентификации

 

Рис.1.14 Годограф объекта  идентификации

 

 

2.   ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО

                 РЕГУЛИРОВАНИЯ

 

 

          2.1.  Постановка задачи оптимизации

На рис. 2.1 представлена структурная схема системы автоматического регулирования. Объект регулирования “0” задан инерционным звеном второго порядка с передаточной функцией

 

 ,

 

где k₀ = 0,67 - передаточный коэффициент объекта, найденный процедурой идентификации (1.5).

Постоянные времени Т₁ = 2,2 и Т₂ = 1,1 рассчитываются

     

Т₁=2Т₀;

Т₂=Т₀,

 

где Т₀ = 1.1 - постоянная времени объекта, определенная процедурой идентификации.

Структура регулирующего  устройства “P” задана передаточной функцией ( изодромный регулятор )

     

,

 

где k_р- передаточный коэффициент регулятора, Т_и- время изодрома . 

 Cтруктура САР считается заданной. Параметры регулятора k_р и Т_и неизвестны и подлежат определению.

 

            

                         Рис. 2.1  Структурная схема САР

 

На объект управления действуют возмущения f(t), имеющие случайный характер. Эти возмущения вызывают отклонения регулируемого параметра y(t) за пределы области допустимых значений. Ставится задача определения параметров настроек регулятора k_р и Т_u, обеспечивающих эффективное подавление системой автоматического регулирования влияния возмущений на регулируемый параметр. Показателем качества работы САР (критерием оптимизации) принимается вероятностная характеристика - среднеквадратическая ошибка

 

  .

 

Условием оптимальности является

 

 

 

Расчет  в процедуре оптимизации САР выполняется по вероятностным характеристикам. Используя формулу обратного преобразования Фурье

 

,

 

где - спектральная плотность ошибки .

При получаем

  

.

 

Спектральная плотность  рассчитывается по формуле

 

,

 

где А(ω)- амплитудная  частотная характеристика САР по каналу: возмущение f(t)- регулируемая величина y(t), S_f(ω) - спектральная плотность сигнала возмущения f(t). В процедуре оптимизации в качестве f(t) используется случайная функция x(t) из процедуры идентификации.

Спектральная плотность S_y(ω) наиболее просто определяется по ранее вычисленной автокорреляционной функции R_xx(τ) по формуле прямого преобразования Фурье

 

.

 

Процедура оптимизации  САР (движение по экспериментальной  поверхности k_p-T_и) может выполняться любым градиентным методом оптимизации или методом Гаусса- Зайделя.

 

 

2.2.  Динамические характеристики объекта управления

 

Переходная и импульсная характеристики

 

;

.

 

Частотные характеристики

 

;

;

;

;

.

 

Все характеристики записываются в общем виде и численно для  конкретного объекта управления. Все частотные и временные характеристики представлены на рис. 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8.

Рис.2.2 Переходная характеристика

      объекта  управления

                           

Рис.2.3 Импульсная характеристика

                                              

                                      Рис.2.4 Вещественная частотная характеристика                    

                                         объекта управления

Рис. 2.5 Мнимая частотная характеристика

объекта управления

 

 

Рис.2.6 Амплитудно-частотная  характеристика

объекта управления

 

 

Рис.2.7 Фазовая частотная  характеристика

объекта управления

Рис.2.8 Годограф объекта  управления

 

При расчете фазовой  характеристики необходимо учитывать, что при следует рассчитывать по формуле:

 

.

 

 

 

 

2.3.  Амплитудная частотная характеристика САР

 

На каждом шаге движения по экстремальной поверхности в  общем алгоритме вычисления целевой функции критерия оптимизации

 

 

выполняется расчет амплитудной  частотной характеристики CAP А(w) по каналу: сигнал возмущения f(t) - регулируемая переменная y(t).

Свойства амплитудной  частотной характеристики (АЧХ) САР, а следовательно и величина целевой функции в каждом цикле решения определяется  настройками регулятора k_р и Т_и.

Зависимость АЧХ САР  от параметров регулятора можно получить анализом передаточной функции САР по этому же каналу f(t) - y(t):

 

_,

 

где - передаточная функция объекта управления с известными параметрами ; передаточная функция регулятора с неизвестными параметрами k_p и T_и.

 

 

Амплитудно - фазовая  характеристика САР

 

Выделяя в W_CAP(jω) вещественную Р(ω) и мнимую Q(ω) частотные характеристики определяются AЧХ CAP.

 

Формула А(ω) включена в  общий алгоритм расчета целевой  функции по программе «Оптимизация».

 

 

2.4. Спектральная плотность сигнала возмущения

 

В процедуре оптимизации  в качестве сигнала возмущения принята случайная функция x(t), заданная в процедуре идентификации, т.е. f(t)=x(t).        Спектральная плотность S_f(ω), используемая как и AЧХ CAP в расчете в каждом цикле общего решения, не зависит от параметров регулятора и определяется только свойствами сигнала возмущения f(t).

 

.