Анализ и синтез оптимальной системы автоматического регулирования

 

Ординаты спектральной плотности S_f(ω) вычисляются по программе «Спектр». Программа запрашивает 30 значений R_xx(m), поэтому предварительно формируется таблица ординат R_xx(m) (табл. 2.1) через m=0,2, т.е. каждая единица сдвига m делится на пять интервалов. Значение R_xx(m=0) приписывается первой точке R(1), значение R_xx(m=0,2) приписывается второй точке R(2) и т.д. до R(30) .

                                                                                                       Таблица 2.1

m	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Rxx	210	209	204	184	160	148	140	129	112	100	90	78	60	46	38
m	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Rxx	29	20	10	4,5	1	0	-2	-3	-4	-6	-7	-7	-8	-8	-9

 

 

По запросу программы  «Спектр» вводятся:

- шаг интегрирования  по времени ДТ=0,2;

- шаг интегрирования  по частоте ДОМ=0,05;

- граничная частота OMG=2,2.

По результатам расчета заполняется табл.2.2 S_f(ω) от 0 до ω=2 через =0,05, т.е. сорок значений S_f(ω) и строится график спектральной плотности сигнала возмущений (рис. 2.9).

 

  Таблица 2.2

ω	Sx	ω	Sx	ω	Sx
0	718,4	0,75	375,4	1,5	43
0,05	716,42	0,8	341,69	1,55	36,77
0,1	710,51	0,85	308,73	1,6	32,12
0,15	700,76	0,9	276,85	1,65	28,87
0,2	687,29	0,95	246,33	1,7	26,81
0,25	670,31	1	217,43	1,75	25,76
0,3	650,04	1,05	190,35	1,8	25,52
0,35	626,77	1,1	165,27	1,85	25,9
0,4	600,81	1,15	142,31	1,9	26,72
0,45	572,52	1,2	121,56	1,95	27,83
0,5	542,26	1,25	103,06	2	29,06
0,55	510,42	1,3	86,8	2,05	30,29
0,6	477,41	1,35	72,75	2,1	31,4
0,65	443,64	1,4	60,84	2,15	32,31
0,7	409,51	1,45	50,97	2,2	32,94

 

Рис. 2.9 Спектральная плотность сигнала возмущения

 

 

2.5.  Оптимизация САР

 

Поиск оптимальных параметров k_{p опт} и T_{u опт} выполняется с использованием программы «Оптимизация». Программой на каждом шаге движения по экстремальной поверхности реализуются решение уравнений:

 

;

;

.

 

По запросу программы  вводятся сорок значений спектральной плотности сигнала возмущений S_y(ω), параметры объекта управления k₀, Т₁, Т₂ и базовые (исходные) значения параметров регулятора k_p и T_и. В процедуре поиска для каждого сочетания k_p и T_и определяется значение среднеквадратичной ошибки . Движение по экстремальной поверхности может выполняться по алгоритму градиентных методов оптимизации или методом Гаусса - Зайделя. Последовательный целенаправленный перебор сочетаний k_p и T_и производится до тех пор, пока не будет достигнуто условие . В процедуре поиска ограничения, накладываемые на коэффициент передачи регулятора , учитываются автоматически путем введения в целевую функцию критерия оптимизации штрафной функций  Р (k_р)           

 

.

 

        Область минимума исследуется в границах:

 

;

          .

 

На границах области  определяются значения . Область минимума изображается на рисунке (рис. 2.10) с указанием величины на границах этой области.

 

Рис. 2.10 Область минимума

 

 

 

 Программа «Оптимизация»  предусматривает возможность вывода амплитудной частотной характеристики САР и спектральной плотности переменной выхода для любых заданных k_p и T_и. По результатам поиска выводятся А(ω) и S_y(ω) для оптимальных k_{p опт} и T_{и опт} и при отключенном регуляторе. Для отключения регулятора достаточно установить k_p=0,001 и T_u=10000. По результатам оптимизации формируется таблицы 2.3, 2.4, 2.5, 2.6 а также строятся кривые А(ω) и S_y(ω). На одном рисунке сравнивается А(ω) для САР с оптимальными параметрами и с отключенным регулятором (рис.2.11). На другом рисунке (рис.2.12) сравниваются S_y(ω) для этих же условий.

 

Таблица 2.3

Амплитудно-частотная  характеристика оптимальной системы с регулятором

 

ω	0	0,045	0,09	0,135	0,18	0,225	0,27	0,315	0,36	0,405
А	0	0,04	0,078	0,112	0,143	0,169	0,191	0,209	0,226	0,239
ω	0,45	0,495	0,54	0,585	0,63	0,675	0,72	0,765	0,81	0,855
А	0,251	0,262	0,271	0,278	0,283	0,287	0,289	0,288	0,285	0,28
ω	0,9	0,945	0,99	1,035	1,08	1,125	1,17	1,215	1,26	1,305
А	0,273	0,264	0,254	0,243	0,231	0,219	0,207	0,195	0,184	0,173
ω	1,35	1,395	1,44	1,485	1,53	1,575	1,62	1,665	1,71	1,755
А	0,163	0,153	0,144	0,136	0,128	0,121	0,114	0,108	0,102	0,097

 

 

 

Таблица 2.4

Амплитудно-частотная  характеристика оптимальной системы без регулятора

 

ω	0	0,045	0,09	0,135	0,18	0,225	0,27	0,315	0,36	0,405
А	0,67	0,665	0,654	0,635	0,611	0,582	0,552	0,52	0,488	0,456
ω	0,45	0,495	0,54	0,585	0,63	0,675	0,72	0,765	0,81	0,855
А	0,426	0,397	0,37	0,345	0,322	0,3	0,28	0,261	0,244	0,229
ω	0,9	0,945	0,99	1,035	1,08	1,125	1,17	1,215	1,26	1,305
А	0,214	0,201	0,189	0,177	0,167	0,157	0,148	0,14	0,133	0,125
ω	1,35	1,395	1,44	1,485	1,53	1,575	1,62	1,665	1,71	1,755
А	0,119	0,113	0,107	0,102	0,097	0,092	0,088	0,084	0,08	0,077

 

 

 

 

 

Таблица 2.5

Спектральная плотность оптимальной системы на выходе

объекта с регулятором

 

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Sy	0	1,155	4,357	8,951	14,17	19,39	24,18	28,34	31,78	34,42
n	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Sy	36,37	37,49	37,99	37,71	36,81	35,28	33,09	30,38	27,35	24,11
n	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Sy	20,74	17,46	14,46	11,73	9,388	7,422	5,768	4,136	3,397	2,558
n	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
Sy	1,945	1,463	1,109	0,836	0,644	0,5	0,407	0,329	0,284	0,246

 

 

Таблица 2.6