Контрольная работа по "Статистике"

ЗАДАЧА № 1.

По территориям Южного федерального округа приводятся статистические данные за 2000 год:

Таблица №1

Территория  федерального округа	Оборот розничной торговли, млрд. руб., У	Среднегодовая численность занятых в  экономике, млн. чел. X
1. Респ. Адыгея	2,78	0.157
2. Респ. Дагестан	9,61	0,758
3. Реп. Ингушетия	1,15	0,056
4.Кабандино-Балкарская  Респ.	6,01	0,287
5. Респ. Калмыкия	0,77	0,119
6. Карачаево-Черкесская  Респ.	2,63	0,138
7. Респ. Северная  Осетия-Алания	7.31	0.220
8. Краснодарский край	54,63	2,033
9. Ставропольский край	30,42	1,008
10. Астраханская область	9,53	0,422
11. Волгоградский обл.	18,58	1.147
12. Ростовская обл.	60,59	1,812
Итого, X	204,01	8,157
средняя	17,001	0,6798
Среднее квадрат. отклонение, с	19,89	0,6550
Дисперсия, Б	395,59	0,4290

Задание:

1. Расположите территории по возрастанию фактора X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи V и X .
2. Постройте поле корреляции и сформируйте гипотезу о возможной форме и направлении связи.

 

3. Рассчитайте параметры а₁ а₀ парной линейной функции у_х = а_{0 +} а_1х и линейно логарифмической функции у lп х = а0 + аlпх.
4. Оцените тесноту связи с помощью показателей  корреляции (r_ух и η _уlnx) и детерминации ( г²_ух и η _уlnx) проанализируйте их значения.

 

7. Надежность уравнений в целом оцените через F- критерий Фишера для уровня значимости α — 0,05
8. На основе оценочных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии и поясните свой выбор.

7. По лучшему уравнению регрессии рассчитайте теоретические значения 
результата (у), по ним постойте теоретическую линию регрессии и определите среднюю 
ошибку аппроксимации, оцените ее величину.

8. Рассчитайте прогнозное значение результата у, если прогнозное значение фактора (x) составляет 1,023 от среднего уровня (х).
9. Рассчитайте интегральную и предельную ошибки прогнозирования (для а = 0,05), определите доверительный интервал прогноза ( у _тах, у _тin) , а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала (Dу), оцените точность выполнения прогноза.

 

Решение:

1. Для построения графика расположим территории по возрастанию значений фактора Х (см. таблицу № 2).

   Таблица  № 2

Территория  федерального округа	Среднегодовая численность занятых в  экономике, млн. чел. X	Оборот розничной торговли, млрд. руб., У
А	X	У
1. Респ. Адыгея	0.157	2.78
2. Респ. Дагестан	0,758	9,61
3. Реп. Ингушетия	0,056	1,15
4.Кабандино-Балкарская  Респ.	0,287	6,01
5. Респ. Калмыкия	0,119	0,77
6. Карачаево-Черкесская  Респ.	0,138	2,63
7. Респ. Северная  Осетия-Алания	0.220	7,31
8. Краснодарский край	2,033	54,63
9. Ставропольский край	1,008	30,42
10. Астраханская область	0.422	9.53
11. Волгоградский обл.	1,147	18.58
12. Ростовская обл.	1,812	60,59
Итого, ∑	8,157	204,01
средняя	0,6798	17,001
Среднее квадрат.отклонение, σ	0,6550	19,89
Дисперсия, D	0,4290	395,59

 

2. Обычно моделирование начинается с построения уравнения прямой: У = а₀ +а₁ * X, отражающей линейную форму зависимости результата У от фактора X.

3. Расчет неизвестных  параметров управления выполняется  методом наименьших квадратов  (МНК), построив систему нормальных  уравнений и решая ее, относительно неизвестных ао и а1. Для расчета используем значения определителей второго порядка ∆, ∆a0 и ∆a1. Расчетные процедуры представим в разработанной таблице, в которую, кроме значений У и X, войдут X², Х*У, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для У и X.

 

 

 

 

 

Таблица №3

№	X	Уфакт	X2	У*Х	У расч
А	1	2	3	4	5
1	0,157	2,78	0,025	0.436	1,79
2	0,758	9,61	0.575	7,284	19,28
3	0,056	1,15	0.003	0,064	-1,148
4	0,287	6,01	0.082	1,725	5,574
5	0,119	0,77	0.014	0,092	0.685
6	0,138	2,63	0.019	0.363	1.238
7	0,22	7,31	0,048	1,608	3,624
8	2,033	54,63	4,133	111,063	56,382
9	1,008	30,42	1,016	30,663	26,555
10	0,422	9,53	0.178	4,022	9.5
11	1,147	18,58	1,315	21,311	31,059
12	1,812	60,59	3,283	109,789	49,951
Итого	8,157	204,01	10,691	288,42	204,49
Средняя	0,6798	17,001	-	-	-
Сигма	0,6550	19,89	-	-	-
D	0,4290	395,59	-	-	-
∆	61,755	-	-	-	-
∆ао =	- 171,571	ао =	-2,778	-	-
∆а1 =	1796,93	а1=	29,1	-	-

3. Расчет определителя  системы выполним по формуле: 

∆ = n*∑ (х²) -   ∑X* ∑X = 12* 10.691 – 8.157 * 8.157 = 61,755

Расчет определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:

∆ао = ∑ Y* (Х²) - ∑(Y*Х) *∑Х = 204,01 * 10,691-288,42 * 8,157 =-171,571

Расчет определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:

∆а1 =п *∑(Y*X)-∑Y*∑Х = 12*288,392 - 204.01*8,157= 1796,93

4. Расчет параметров  уравнения регрессии дает следующие  результаты:

ао = _∆ао_= - 171.571

             ∆ 61,755   = -2,778

а 1 = _∆а1_= 1796,93

             ∆ 61,755     = 29,1

Получаем  теоретическое уравнение регрессии следующего вида:

Ỳх = -2,778+ 29,1 *Х

В уравнении коэффициент  регрессии а_о= -0,778 значит, что при уменьшении численности занятых в экономике на 1 тыс. чел. ( от своего среднего) объем розничного товарооборота уменьшается на 0,778 млрд. руб.( от своего среднего).

Свободны  член уравнения а₀ = -2,778 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на объем розничного товарооборота.

5. Относительную оценку силы связи дает общий (средний) коэффициент эластичности: 

 

 Э _ух = f(Х) * X

  Y  =29,1 *   0.6798

            17,001    =1,164

 

 Это означает, что при изменении общей численности занятого в экономике населения на 1 % от своей средней оборот розничной торговли увеличится на 1,164 % от своей средней.

6. Для оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

 

R_xу   =a_1* σ _{x  =} 29,1*0,65550/19,89=0,959 r _xy²=0,92

                  σ

Коэффициент корреляции = 0,959 показывает, что выявлена весьма тесная зависимость между общей численностью занятых в экономике за год, и оборотом розничной торговли за год. Коэффициент детерминации = 0.92 устанавливает, что вариация оборота розничной торговли на 92 % из 100% предопределена вариацией общей численности занятых в экономике; роль привычных факторов, влияющих на различный товарооборот, определяется в 8% что является сравнительно небольшой величиной.

7. Для оценки  статистической надежности выявленной  зависимости дохода то доли занятых рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера - Fфакт и сравним его с табличным значением - Fтабл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе Н₀: aо = r _xy = а₁ = 0, то есть либо примем, либо отклоним ее с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5%. В нашем случае:

 

Fфакт = г_Ух²      :   к-1        0,92       2-1                1

    1 -rух²      n-k    =    0,08   :  12-2 = 11,5 : 10    = 115

Фактическое значение критерия показывает, что факторная вариация результата почти в 115 раз больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом систематического взаимодействия оборота розничной торговли и общей суммы доходов населения. Для обоснованного вывода сравним, полученный результат с табличным значением критерия Fтабл = 4,96 при степенях свободы 1 и 10 и уровнем значимости α =0,05.

В силу того что Fфакт = 115 больше чем Fтабл = 4,96 нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости оборота розничной торговли от общей численности занятых в экономике и ее параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньше, чем традиционные 5%.

 

 

 

8. Определим теоретические  знания результата Утеор. Для этого в полученные уравнения последовательно подставим фактические значения фактора X и выполним расчет У₁= -2,778 + 29,1 * 0,157 = 1,79    графа 5 расчетной таблицы .

По парам значений Утеор. и Хфакт. строится теоретическая линия регрессии, которая пересечется с эмпирической регрессией в нескольких точках. См. график 1.

 

График 1

 

 

9. Оценку качества модели дадим  с помощью скорректированной  средней ошибки аппроксимации:

έ _ср = 1/n * ∑ [(У _факт. - Ỳ) / Ŷ] * 100%

έ _ср = 1/12* [(204,01 - 204,49) / 17,001] * 100% = 23.5%

Полученная  средняя  ошибка аппроксимации для линейной функции 23,5 % очень большая, что ограничивает использование этой модели для точных прогнозов.

10. Построение логарифмической функции предполагает предварительное выполнение процедуры линеаризации исходных переменных. В данном случае, для преобразования нелинейной функции У = а₀ + а₁ * lnx в линейную введем новую переменную L = lnХ, которая линейно связана с результатом. Следовательно, для определения параметров модели У = а₀ + а₁ * L будут использованы традиционные расчетные приемы, основанные на значениях определителей второго порядка.

 

 

 

 

 

Таблица №4

№	X	lnХ	Уфакт	(lnХ) 2	У*lnХ	У расч
А	1	2	3	4	5	5
1	0,157	-1,85	2,78	3,428	-5,143	1,79
2	0,758	-1,277	9,61	0.076	-12,27	19.28
3	0,056	-2,88	1,15	8,308	-3,312	-1,148
4	0,287	-1,25	6.01	1,558	-7,512	5,574
5	0.119	-2.13	0,77	4.531	-1,64	0,685
6	0,138	-1.98	2.63	3,922	-5,21	1,238
7	0,22	-1,51	7,31	2,292	-11,038	3,624
8	2.033	0,71	54.63	0,503	38,787	56,382
9	1,008	0,008	30,42	6,349	0,243	26,555
10	0.422	-0,86	9,53	0,744	-8,195	9,5
11	1,147	0.137	18.58	0,019	2.545	31,059
12	1,812	0,594	60,59	0.353	35.99	49,951
Итого	8,157	-12,288	204,01	32,083	23,245	204,49
Средняя	0,6798	-1,024	17,001	-	-	-
Сигма	0,6550	-	19,89	-	-	-
D	0,4290	-	395,59	-	-	-