Контрольная работа по "Статистике"

 

Расчет определителей  второго порядка дает следующие  результаты:

∆ = 234,0011;

∆ a ₀ = 5895,16

∆a ₁ =2588,1

ао  =   ∆ a ₀          5895.16

       ∆       =   234,0011   =25,19

a ₁  =   ∆a ₁          2588,1

     ∆      =     234,0011   = 11,06

Полученное  уравнение имеет вид  У _{ln х} = 25,19 + 11,06 * ln х

 

 

 

ЗАДАЧА № 2

Изучаются показатели социально-экономического развития экономики территорий Южного федерального округа РФ за 2000 год.

Y – оборот розничной торговли, млрд. руб.;

X₁ – инвестиции 2000 года в основной капитал, млрд. руб.;

X₂ – средний возраст занятых в экономике, лет

X₃ – среднегодовая численность населения, млн. чел.

Требуется изучить влияние  указанных факторов на оборот розничной  торговли.

Предварительный анализ исходных данных по 12 территориям выявил одну территорию (Краснодарский край) с аномальными значениями признаков. Эта территория должна быть исключена из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учета указанной аномальной единицы.

При обработке  исходных данных получены следующие  значения: А) - линейных коэффициентов  парной корреляции, средних квадратических отклонений -σ N=11

	Y	X1	Х2	ХЗ
Y	1	0.9348	0,9578	0,7914
XI	0,9348	1	0,8696	0,7764
Х2	0,9578	0,8696	1	0,7342
ХЗ	0,7914	0,7764	0,7342	1
Средняя	20,54	0,4995	3,379	0,2762
σ	21,85	0,4187	3,232	0,3159

Б) - коэффициентов  частотной корреляции

	Y	X1	Х2	ХЗ
Y	1	0,6545	0.8211	0,2468
X1	0,6545	1	-0,2352	0,1399
Х2	0,8211	-0,2352	1	-0,0976
ХЗ	0,2468	0,1399	-0,0976	1

Задание:

1. По значениям линейных коэффициентов парной и частной корреляции выберите неколлинеарные факторы и рассчитайте для них коэффициенты частной корреляции. Проведите окончательный отбор информационных факторов во множественную регрессионную модель.

2. Выполните расчет бета коэффициентов и постройте с их помощью уравнения множественной регрессии в стандартном масштабе. Проанализируйте с помощью бета коэффициентов силу связи каждого фактора с результатом и выявите сильно и слабо влияющие факторы.
3. По значениям β-коэффициентов рассчитайте параметры уравнения в естественной форме (а1, а2 и аО). Проанализируйте их значения. Сравнительную оценку силы связи факторов дайте с помощью общих коэффициентов эластичности.
4. Оцените тесноту множественной связи с помощью R и R², а статистическую значимость уравнения и тесноту выявленной связи - через F-критерий Фишера (для уровня значимости α = 0.05).

5. Рассчитайте прогнозное значение результата, предполагая, что прогнозные значения факторов составят 106.7 процента от их среднего уровня.

6. Основные выводы оформите аналитической запиской.

Решение:

1. Представленные в  условии задачи значения линейных  коэффициентов парной корреляции  позволяют установить, что оборот  розничной торговли - У более тесно связан со среднегодовой численностью населения - ХЗ (г ухЗ = 0.7914) и с инвестициями 2000 года в основной капитал – X1 (г ух1 = 0.9348); наименее тесно результат У связан со средним возрастом занятых в экономике - Х2. Поэтому, в силу небольшой информативности фактора Х2, предполагаем, что его можно исключить из дальнейшего анализа. Проверим наши предположения с помощью анализа матрицы коэффициентов частной корреляции. Очевидно, что наиболее тесная связь результата У со среднегодовой численностью населения (г ухЗ*х1х2 = 0.2468) и примерно одинаково тесно связан результат с инвестициями (г ух1*х2хЗ = 0.6545) и   со средним возрастом занятых  (г ух2*х1хЗ = 0.8211). Поэтому для уточнения окончательного вывода выполним расчет серии коэффициентов частной корреляции У с двумя возможными комбинациями факторных признаков: для У с X1 и с ХЗ, а также для У с Х2 и ХЗ.

Расчеты частных  коэффициентов корреляции выполним по следующим формулам:

 

R ух1*x3 =      Ryx1 - Ryx3 * Rx1x3          =  0.9348 – 0.7914 * 0.7764   = 0.3853

                      √(1-r² yx3) * (1 - r² x1x3)         √(1-0.7914²) * (1 – 0.7764²)

 

R ух3*x1 =      Ryx3 – Ryx1 * Rx1x3          =  0.7914 – 0.9348 * 0.7764   = 0.2932

                      √(1-r² yx1) * (1 - r² x1x3)         √(1-0.9348²) * (1 – 0.7764²)

 

R х1x3*x3 =      Rx1x3 – Ryx1 * Ryx3          =  0.7764 – 0.9348 * 0.7914   = 0.0601

                      √(1-r² yx3) * (1 - r² x1x3)             √(1-0.9348²) * (1 – 0.7914²)

 

Как видим, факторы X1 и ХЗ действительно тесно связаны с результатом, а между собой практически не взаимодействуют.

Расчет аналогичных  показателей по следующей паре факторов приводит к иным результатам:

 

R ух2*x3 =      Ryx2 - Ryx3 * Rx2x3          =  0.9578 – 0.7914 * 0.7342   = 0.9078

                      √(1-r² yx3) * (1 - r² x2x3)         √(1-0.7914²) * (1 – 0.7342²)

 

R ух3*x2 =      Ryx3 – Ryx2 * Rx2x3          =  0.7914 – 0.9578 * 0.7342   = 0.4519

                      √(1-r² yx2) * (1 - r² x2x3)         √(1-0.9578²) * (1 – 0.7342²)

 

R х2x3*x3 =      Rx2x3 – Ryx2 * Ryx3          =  0.7342 – 0.9578 * 0.7914   = - 0.1354

                      √(1-r² yx2) * (1 - r² x1x3)             √(1-0.9578²) * (1 – 0.7914²)

В данном случае, межфакторное взаимодействие оценивается как заметное и по абсолютной величине сравнимо с теснотой связи розничного товарооборота со средним возрастом. Таким образом, первая из рассмотренных пар факторных признаков X1 и ХЗ в большей мере отвечает требованиям, предъявляемым МНК к исходным данным и, в частности, к отсутствию межфакторного взаимодействия. Указанные обстоятельства позволяют использовать X1 и ХЗ в качестве информативных факторов уравнения множественной регрессии.

2. При построении  двухфакторной регрессионной модели воспользуемся для упрощения расчетов методом стандартных переменных. Выполним расчет В-коэффициентов, используя значения известных по условию линейных коэффициентов парной корреляции.

В ух1 =  Ryx1-Ryx3*Rx1x3      =  0.9348 – 0.7914 * 0.7764 = 0.8065

                  1-R² x1x3                              1-0.7764²

 

В ух3 =  Ryx3-Ryx1*Rx1x3      =  0.7914 – 0.9348 * 0.7764 = 0.1652

                  1-R² x1x3                              1-0.7764²

 

В результате получено уравнение в стандартизованном  масштабе:

Ту = 0.8065 * tx1 +0.1652* tx3

Параметры данного уравнения  представляют собой относительные  оценки силы влияния каждого из факторов на результат. При увеличении инвестиций в основной капитал на одну сигму, оборот розничной торговли увеличится на 0,8065 своей сигмы; с увеличением среднегодовой численности населения на сигму хЗ результат увеличится на 0,1652 сигмы у. Сравнивая В-коэффициентов, определяем какой из признаков влияет на результат сильнее, а какой - слабее. В данном случае увеличение розничного товарооборота происходит прежде всего, под влиянием увеличения численности населения и в меньшей степени - в результате увеличения инвестиций в экономику региона.

3. Используя  значения В-коэффициентов, можно  рассчитать параметры уравнения  в естественной форме:

a1 = В ух1 *  σy      = 0.8065 *    21.85  = 42.087

                      σx 1                       0.4187

 

a3 = В ух3 *  σy      = 0.7914 *    21.85  = 41.2994

                      σx 3                       0.4187

а0 = ỳ-а1 * х1 -аЗ * хЗ = 20.54 -4 2.087 * 0.4995 - 41.2994 * 0.2762 = -11.8993

В конечном счете, имеем уравнение:

У х1хЗ = -11.8993 + 42.087 * х1 +41.2994 * хЗ

По значениям коэффициентов  регрессии можно судить о том, на какую абсолютную величину изменяется результат при изменении каждого фактора на единицу. С увеличением инвестиций в экономику на 1 млрд.руб. розничный товарооборот увеличивается на 42,087 млрд.руб., с увеличением численности населения на 1 млн.чел. розничный товарооборот возрастает на 41,2994 млрд.руб.

Но так как признаки-факторы измеряются в разных единицах, сравнивать значения их коэффициентов регрессии не следует. Точную оценку силы связи факторов с результатом дают коэффициенты эластичности и В-коэффициенты.

 

4. Для сравнительной оценки силы связи выполним расчет средних коэффициентов эластичности. С их помощью можно определить, на сколько процентов изменяется результат при изменении фактора на 1%. В нашем случае расчет показал, что влияние численности населения на розничный товарооборот оказалось более сильным по сравнению с влиянием инвестиций в экономику: с ростом численности населения на 1% розничный товарооборот увеличивается на 1.0235%, а при увеличении инвестиций на 1% розничный товарооборот возрастает на 0.5553%. Различия в силе влияния весьма значительны: первый фактор влияет на результат в два с лишним раза сильнее, чем второй. Поэтому регулирование величины розничного товарооборота через численность населения будет более результативным, чем через объем инвестиций в экономику региона.

 

Эух1=     а1 *     x1        =     42.087 *   0.4995  = 1.0235

     у                 20.54

 

Эух3=     а3 *     x3        =     41.2994 *   0.2762  = 1.0235

      у                    20.54

5. Тесноту выявленной зависимости розничного товарооборота от инвестиций в экономику региона и от численности населения оценивают множественный коэффициент корреляции детерминации. Расчет коэффициента корреляции вьшолним, используя известные значения линейных коэффициентов парной корреляции и В-коэффициентов.

В нашем случае 2-х факторной зависимости расчет строится следующим образом:

Rухj = √Rух1 * Вух1 + RухЗ * ВухЗ = Rухj = √0.9348 * 0.8065 + 0.7914 * 0.1652 = 0.9406

R²ух1хЗ = 0.8847

Как показали расчеты, установлена  весьма тесная зависимость розничного товарооборота от численности населения и размеров инвестиций в экономику региона. Это означает, что 88.4% вариации розничного товарооборота определены вариацией данных факторов. Оставшиеся 11.53% вариации результата сформировались под влиянием прочих причин, роль которых незначительна.

6. Оценка статистической значимости или надежности установленной формы зависимости, ее параметров, оценок ее силы и тесноты является важным этапом анализа результатов. Для выполнения оценки формулируется нулевая гипотеза, которая рассматривает предположение о случайной природе полученных результатов.

Т.е. НО : аО = а1 = R²ух1хЗ = 0. Для проверки выдвинутой нулевой гипотезы используется Р- критерия Фишера. Его фактическое значение определяется, исходя из соотношения факторной и остаточной дисперсий и их степеней свободы: d.f.1 = k и d.f..2 = п-к-1, где п -число изучаемых единиц, k - число ограничений, который накладываются на исходные данные при расчете данного показателя. Здесь к равно числу факторов уравнения, т.е. к = 2 В нашем случае, когда рассматривается зависимость результата от двух факторов, расчет выглядит следующим образом:

F факт =        R²ух1хЗ    :   k      =    0.8847       :          2        =    26.9

                  1-R2yx1x3       n-к-1 1-0.8847    '     10-2-1

 

 

Фактическое значение критерия показывает, что детерминация, сформированная под воздействием двух изучаемых факторов, почти в 27 раз больше, чем детерминация, связанная с действием прочих причин. Очевидно, что подобное соотношение случайно сформироваться не может и является результатом влияния существенных, систематических факторов.

Для принятия обоснованного  решения Fфакт. сравнивается с Fтабл., которое формируется случайно и зависит от степеней свободы факторной и остаточной дисперсий, а также от уровня значимости а = 0.05. У нас при а = 0.05 Fтабл. = 4.74

В силу того, что Fфакт. = 26.9 > Fтабл. = 4.74 можно с высокой степенью надежности отклонить нулевую гипотезу, а в качестве альтернативы - согласиться с утверждением, что проверяемые параметры множественной регрессионной модели неслучайны, что коэффициенты уравнения и показатели тесноты связи не являются случайными величинами.

7. Техническая часть  прогнозных расчетов по уравнению  множественной регрессии сравнительно  проста. Достаточно определить прогнозные  значения каждого факторного признака, подставить их в уравнение и выполнить с ними расчет прогнозного значения результата. При этом следует помнить, что требования к точности и надежности прогноза предъявляют к используемой модели повышенные требования.

В нашем случае, прогнозное значение каждого из факторов получено на основе средней величины:

            __

X1,1 = X1 * 1,013 = 0,4995 * 1,013 = 0,5059

            __

ХЗ,1  =ХЗ * 1,013 = 0,2762* 1,013 = 0,2797

 

После подстановки  в уравнение получаем следующий  результат: