Контрольная работа по курсу «Математические методы в оценке»

Подставим полученные значения в систему уравнений (2), получим:

  

Следовательно, регрессионная  модель зависимости стоимости 1 м² площади объекта от доли неподвальных помещений имеет вид

у_х = 26,418 + 0,355 х.

Таким образом, согласно полученной модели при увеличении доли неподвальных помещений на 1% стоимость 1 м² площади объекта увеличится на 0,355 тыс. руб. Расчетные значения у_x, найденные по уравнению регрессии, приведены в табл. 1. Правильность расчета параметров модели подтверждается равенством сумм ∑ y = ∑ у_х.

 Для графической интерпретации полученной модели представляется необходимым на одной системе координат построить эмпирическую и теоретическую кривую корреляционной зависимости стоимости 1 м² площади объекта от доли неподвальных помещений (рис. 4).

Рис. 4. Зависимость стоимости 1 м² площади объекта от доли неподвальных помещений

Важное место в анализе регрессионной  модели занимает оценка тесноты корреляционной связи между изучаемыми признаками, для измерения которой применяется линейный коэффициент корреляции, рассчитываемый по формуле

 

 (5)

 

где - среднее квадратическое отклонение факторного признака:                                             (6)

 

 - - среднее квадратическое отклонение результативного признака:                                  (7)

 

 

 

 

Таблица 2. Расчет данных для определения коэффициента корреляции

 

Исходные данные			Расчетные значения
№ п/п	Доля неподва льных поме щений в общей площади (х), %	Стоимость 1м2 площа ди объекта (у), тыс. руб.
1	65,6	48,42	8,13	66,18	1,59	2,54
2	66,7	54,56	9,23	85,29	7,73	59,81
3	61,7	45,58	4,23	17,94	-1,25	1,55
4	82,9	43,48	25,44	646,94	-3,35	11,20
5	70,3	58,48	12,84	164,74	11,65	135,82
6	41,3	39,56	-16,17	261,31	-7,27	52,79
7	45,1	41,98	-12,37	152,89	-4,85	23,48
8	49,1	45,03	-8,37	69,97	-1,80	3,23
9	46,1	40,35	-11,37	129,16	-6,48	41,94
10	56,6	45,47	-0,87	0,75	-1,36	1,84
11	55,3	44,50	-2,17	4,69	-2,33	5,41
12	67,7	56,92	10,24	104,76	10,09	101,89
13	44,6	40,77	-12,87	165,51	-6,06	36,68
14	52,7	43,70	-4,77	22,71	-3,13	9,77
15	58,1	46,40	0,63	0,40	-0,43	0,18
16	68,8	56,42	11,34	128,48	9,59	92,04
17	58,7	49,72	1,23	1,53	2,89	8,38
18	54,1	44,98	-3,37	11,32	-1,85	3,41
19	53,7	44,27	-3,77	14,18	-2,56	6,53
20	50,2	45,93	-7,27	52,78	-0,90	0,80
Итого	1149,30	936,52	0	2101,51	0	599,29
Среднее	57,47	46,83	0	105,08	0	29,96

С учетом данных табл. 1,2 и формул (5)-(7) коэффициент корреляции между рассматриваемыми признаками составит:

 

 

Для получения выводов о практической значимости синтезированных в анализе моделей показаниям тесноты связи дается качественная оценка, которая осуществляется на основе шкалы Чеддока, представленной в табл. 3.

Таблица 3 Шкала Чеддока

 

Показания тесноты  связи	0,1-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,999
Характеристика силы связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Высокая	Весьма  высокая

При r = 1 связь является функциональной, при r = 0 связь отсутствует. Если коэффициент корреляции со знаком «+», то связь прямая, если со знаком «-», то связь обратная.

Полученное в примере значение коэффициента корреляции (0,67) свидетельствует о наличии согласно шкале Чеддока заметной прямой зависимости между стоимостью 1 м² площади объекта и долей неподвальных помещений в общей площади.

Наличие корреляции еще не означает наличия причинно-следственной зависимости между величинами. Корреляция может возникнуть и в том случае, когда обе величины являются следствием единой причины, не отмеченной в наблюдениях. В силу неучтенных факторов и причин отдельные наблюдения переменной у могут в большей или меньшей степени отклоняться от функции регрессии.

В этой связи следует уделить  внимание оценке влияния на результативный фактор ряда других факторов (например, средневзвешенного физического  износа, %; срока эксплуатации, год; соотношения  общих наружной и внутренней площадей; объема, м³; затрат на улучшение объекта, руб.), которые целесообразно учесть в многофакторной регрессионной модели.

Многофакторная регрессия

При решении задач оценки не всегда корреляционные связи ограничиваются связями между двумя признаками (х и у). В действительности результативный признак может зависеть от нескольких факторов. В условиях действия множества факторов показатели парной корреляции становятся условными и неточными. Количественно оценить влияние различных факторов на результат, определить форму и тесноту связи между ними позволяет использование метода множественного регрессионного анализа.

От правильности выбора функциональной зависимости между признаками зависит то, насколько построенная модель будет адекватна изучаемому явлению, т. е. будет ли она соответствовать ему при заданном уровне точности, что, в свою очередь, предопределяет практическую ценность получаемых результатов. Уравнение линейной множественной регрессии имеет вид

                                                                                   ₍₈₎

Параметры                            множественной регрессии показывают среднее приращение результативного признака, обусловленное одиночным приращением п -го фактора, независимо от изменения остальных учтенных факторов.

Включение в регрессионную модель новых объясняющих переменных усложняет  получение параметров модели, что  приводит к целесообразности матричного описания уравнения регрессии:

 (9) ,где Y- случайный вектор-столбец размерности (n х 1) наблюдаемых значений результативного признака ;

X - матрица размерности наблюдаемых значений аргументов;

а - вектор-столбец размерности неизвестных,

подлежащих оценке параметров (коэффициентов  регрессии) модели.

Сложность вычислений коэффициентов  множественной регрессионной модели может быть устранена применением пакетов  специализированных прикладных программ или использованием в MS Excel функции ЛИНЕЙН (Y;X,0;1), где У- массив для значений Y; X - массив для значений X (указывается как единый массив для всех значений X).

Интенсивность влияния на признак-результат  двух или более факторов характеризует  коэффициент множественной корреляции (R), при расчете которого используется формула

               (10)

 

 

Где   - парные коэффициенты корреляции, которые

рассчитываются  по следующим формулам:

(11)

 

Квадрат коэффициента множественной  корреляции является коэффициентом множественной детерминации (R²), который характеризует долю влияния выбранных признаков на результат. Чем ближе значения коэффициента детерминации к 1, тем лучше построенная модель описывает реальную зависимость.

Для оценки влияния отдельных факторов на результативный показатель в чистом виде вычисляются  коэффициенты эластичности (Э_i ,%), при этом влияние других факторов закрепляется на постоянном или среднем уровне. Коэффициенты эластичности рассчитываются по формуле

 

(12)

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется результативный признак при изменении факторного признака на 1% при фиксированном значении остальных факторов на каком-либо уровне.