Моделирование социально - экономических процессов с применением теории игр

Строки матрицы А соответствуют  стратегиям первого игрока, а столбцы  – стратегиям второго.

Эти стратегии называются чистыми.

Пример 1. Составьте платежную матрицу для следующей игры (игра "Поиск").

Игрок А может спрятаться в одном из двух убежищ (I или II); игрок B ищет игрока A, и если найдет, то получает штраф 1 денежную единицу от А, в противном  случае - платит игроку А 1 денежную единицу.

Решение.

Для того чтобы составить  платежную матрицу следует проанализировать поведение каждого из игроков. Игрок  А может спрятаться в убежище I - обозначим эту стратегию через A₁, или в убежище II - стратегия A₂.

Для того чтобы составить  платежную матрицу следует проанализировать поведение каждого из игроков. Игрок  А может спрятаться в убежище I - обозначим эту стратегию через A₁, или в убежище II - стратегия A₂.

Игрок B может искать первого  игрока в убежище I - стратегия B₁, либо в убежище II - стратегия B₂. Если игрок А находится в убежище I и там его обнаруживает игрок B, т.е. осуществляется пара стратегий (A₁, B₁), то игрок А платит штраф, т.е. a₁₁ = -1. Аналогично a₂₂ = -1.

Очевидно, что комбинации стратегий (A₁, B₂) и (A₂, B₁) дают игроку А выигрыш, равный единице, поэтому a₁₂= a₂₁ = 1.

Таким образом, для игры "Поиск" размера 2x2 получаем следующую платежную матрицу:

A =

-1   1  1   -1

.

 

Рассмотрим игру размера mxn c матрицей А = (a_ij),     и определим лучшую среди стратегий A₁, A₂, …, A_m.

Выбирая стратегию A_i, игрок А должен рассчитывать , что игрок В ответит на нее той из стратегий B_j, для которой выигрыш игрока А минимален (игрок В стремится "навредить" игроку А).

Обозначим   - наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии A_i для всех возможных стратегий игрока В (наименьшее число в i-ой строке платежной матрицы), т.е.

.

Среди чисел   (   ) выберем наибольшее  . Назовем   нижней ценой игры илимаксимальным выигрышем (максимином). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В.

Итоговую формулу можно  записать следующим образом:

.

Стратегия, соответствующая  максимину, называется максиминной стратегией.

Аналогичные рассуждения  могут быть выполнены и в отношении  игрока B.

Игрок B заинтересован в  том, чтобы уменьшить выигрыш  игрока А.

Выбирая стратегию B_j, он учитывает, что игрок A будет стремиться к максимальному выигрышу.

Обозначим   - наибольший проигрыш игрока B при выборе им стратегии B_j для всех возможных стратегий игрока A (наибольшее число в j-ой строке платежной матрицы).

Среди чисел   (   ) выберем наименьшее   и назовем   верхней ценой игры или минимаксом. Это минимальный гарантированный проигрыш игрока В.

Таким образом:

.

Стратегия, соответствующая  минимаксу, называется минимаксной стратегией.

Принцип, диктующий игрокам  выбор наиболее "осторожных" максиминной  и минимаксной стратегий, называется принципом минимакса. Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника.

Игрок выбирает свои действия, предполагая, что противник будет  действовать неблагоприятным образом, т.е. будет стараться "навредить".

Вернемся к примеру 1 и определим нижнюю и верхнюю цену игры в задаче "Поиск".

Рассмотрим платежную  матрицу:

A =

-1   1  1   -1

.

При выборе стратегии A₁ (первая строка матрицы) минимальный выигрыш равен  ₁ = min (-1; 1) = -1 и соответствует стратегии B₁ игрока B. При выборе стратегии A₂ (вторая строка матрицы) минимальный выигрыш равен  ₂ = min (-1; 1) = -1, он достигается при использовании игроком B стратегии B₂.

Гарантируя себе максимальный выигрыш при любой стратегии  игрока B, т.е. нижнюю цену игры   = max ( ₁;  ₂) = max (-1; -1) = -1, игрок А может выбрать любую стратегию: A₁ или A₂, т.е. любая его стратегия является максиминной.

Выбирая стратегию B₁ (первый столбец), игрок B понимает, что игрок А ответит стратегией A₂, чтобы максимизировать свой выигрыш (проигрыш игрока B). Следовательно, максимальный проигрыш игрока B при выборе им стратегии B₁ равен  ₁ = max (-1; 1) = 1.

Аналогично, максимальный проигрыш игрока B при выборе им стратегии B₂ (второй столбец) равен  ₂ = max (1; -1) = 1.

Таким образом, при любой  стратегии игрока А гарантированный  минимальный проигрыш игрока B равен   = min ( ₁,  ₂) = min (1, 1) = 1 - верхней цене игры.

Любая стратегия игрока B является минимаксной.

Результаты наших рассуждений сведем в таблицу 2, которая представляет собой платежную матрицу с дополнительной строкой  _j и столбцом  _i. На их пересечении будем записывать верхнюю и нижнюю цену игры.

Таблица 2 - Платежная матрица игры "Поиск" с дополнительными строкой и столбцом

	B1	B2	i
A1	-1	1	-1
A2	1	-1	-1
j	1	1

Таким образом, в рассматриваемой  задаче нижняя и верхняя цены игры различны:   ≠  .

Если же верхняя и нижняя цены игры совпадают, то общее значение верхней и нижней цены v =   =  называется чистой ценой игры, или просто ценой игры. Максиминная и минимаксная стратегии, соответствующие цене игры, являются оптимальными стратегиями, а их совокупность – оптимальным решением, или просто решением игры.

В этом случае игрок А  получает максимальный гарантированный (не зависящий от поведения игрока В) выигрыш v, а игрок В добивается минимального гарантированного (не зависящего от поведения игрока А) проигрыша v. Говорят, что решение игры обладает устойчивостью, т.е., если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого не может быть выгодным отклоняться от своей оптимальной стратегии.

Пара чистых стратегий A_i и B_j дает оптимальное решение игры тогда и только тогда, когда соответствующий ей элемент a_ij является одновременно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке.

Такая ситуация, если она  существует, называется седловой точкой (по аналогии с поверхностью седла, которая искривляется вверх в одном направлении и вниз - в другом).

Таким образом, для игры с  седловой точкой нахождение решения  заключается в выборе максиминной  и минимаксной стратегии, которые  и являются оптимальными.

Далее рассмотрим пример.

Пример 2. Определите нижнюю и верхнюю цену игры, которая задана следующей платежной матрицей:

A =

0,5   0,6   0,8  0,9   0,7   0,8  0,7   0,6   0,6

.

 

Решение.

Выясним, имеет ли игра седловую точку. Решение удобно проводить в таблице. Таблица 3 включает платежную матрицу игры, а также дополнительные строку и столбец, которые иллюстрируют процесс поиска оптимальных стратегий.

Таблица 3 - Платежная матрица  примера 2 с дополнительными строкой и столбцом

	B1	B2	B3	i
A1	0,5	0,6	0,8	0,5
A2	0,9	0,7	0,8	0,7
A3	0,7	0,6	0,6	0,6
j	0,9	0,7	0,8	=  = 0,7

Приведем некоторые пояснения.

Столбец  _i заполнен на основе анализа строк матрицы (стратегии игрока A):  ₁ = 0,5;  ₂ = 0,7;  ₃ = 0,6 - минимальные числа в строках.

Аналогично,  ₁ = 0,9;  ₂ = 0,7;  ₃ = 0,8 - максимальные числа в столбцах.

Нижняя цена игры   =    _i = max (0,5; 0,7; 0,6) = 0,7 (наибольший элемент в столбце  _i).

Верхняя цена игры   =    _j = min (0,9; 0,7; 0,8) = 0,7 (наименьший элемент в строке  _j). Эти значения равны, т.е.   =  , и достигаются на паре стратегий (A₂,B₂). Цена игры v = 0,7.

Таким образом, оптимальное  решение состоит в выборе игроками А и В стратегий А₂ и В₂ соответственно.

Пример 5.2 наглядно демонстрирует  свойство устойчивости решения. Можно  убедиться, что если любой из игроков  придерживается своей оптимальной  стратегии, то другому заведомо невыгодно  отступать от своей оптимальной  стратегии.

3.3. Решение игр в смешанных  стратегиях.

Итак, для игры с седловой точкой нахождение решения состоит  в выборе максиминной и минимаксной  стратегий, которые и являются оптимальными.

Если игра не имеет седловой точки, то применение чистых стратегий  не дает оптимального решения игры. Например, в игре "Поиск" (пример 1) седловая точка отсутствует.

В этом случае можно получить оптимальное решение, чередуя чистые стратегии.

Смешанной стратегией игрока А называется применение чистых стратегий  А₁, А₂, …, А_m c вероятностями u₁, u₂, …, u_m.

Обычно смешанную стратегию  первого игрока обозначают как вектор: U = (u₁, u₂, …, u_m), а стратегию второго игрока как вектор: Z = (z₁, z₂, …, z_m).

Очевидно, что:

ui ≥ 0,    ,  zj ≥ 0,    ,  ui = 1,   zj = 1.

Чистые стратегии можно  считать частным случаем смешанных  и задавать вектором, в котором  единица соответствует чистой стратегии.

Оптимальное решение игры (или просто - решение игры) – это пара оптимальных стратегий U^*, Z^*, в общем случае смешанных, обладающих следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому не может быть выгодно отступать от своей. Выигрыш, соответствующий оптимальному решению, называется ценой игры v. Цена игры удовлетворяет неравенству:

≤ v ≤  ,

Справедлива следующая основная теорема теории игр.

Теорема Неймана. Каждая конечная игра с нулевой суммой имеет решение в смешанных стратегиях. .

Пусть U^* = ( ,  , ...,  ) и Z^* = ( ,  , ...,  ) - пара оптимальных стратегий. Если чистая стратегия входит в оптимальную смешанную стратегию с вероятностью, отличной от нуля, то она называется активной.

Теорема об активных стратегиях. Если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры v, если второй игрок не выходит за пределы своих активных стратегий..

Эта теорема имеет большое  практическое значение - она дает конкретные модели для нахождения оптимальных  стратегий при отсутствии седловой точки.

Рассмотрим игру размера 2x2.

Такая игра является простейшим случаем конечной игры. Если такая  игра имеет седловую точку, то оптимальное  решение - это пара чистых стратегий, соответствующих этой точке.

Для игры, в которой отсутствует  седловая точка в соответствии с  теоремой Неймана, оптимальное решение  существует и определяется парой  смешанных стратегий U^* = ( ,  ) и Z^* = ( ,  ).

Для того чтобы их найти, воспользуемся теоремой об активных стратегиях. Если игрок А придерживается своей оптимальной стратегии U^*, то его средний выигрыш будет равен цене игры v, какой бы активной стратегией ни пользовался игрок В. Для игры 2x2 любая чистая стратегия противника является активной, если отсутствует седловая точка.