Моделирование социально - экономических процессов с применением теории игр

Выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) – случайная величина, математическое ожидание которой является ценой игры. Поэтому средний выигрыш  игрока А (при использовании оптимальной  стратегии) будет равен v и для  первой, и для второй стратегии  противника.

Пусть игра задача платежной  матрицей:

A =

a11   a12  a21   a22

.

Средний выигрыш игрока А, если он использует оптимальную смешанную  стратегию U^* = ( ,  ), а игрок В – чистую стратегию B₁ (что соответствует первому столбцу платежной матрицы), равен цене игры v, т.е.:

a11  + a21  = v.

Тот же средний выигрыш  получает игрок А, если противник  применяет стратегию B₂, т.е. a₁₂  + a₂₂  = v. Учитывая, что   +   = 1, получим систему уравнений:

a11  + a21 = v,  a12  + a22  = v,   +   = 1.

(1)

Решая систему(1), можно найти оптимальную стратегию U_* и цену игры v.

Аналогичная система уравнений  может быть получена для определения  оптимальной стратегии игрока В:

a11  + a12 = v,  a21  + a22  = v,   +   = 1.

(2)

 

Далее вернемся к решению  игры "Поиск" (пример 1).

Игра задана платежной  матрицей без седловой точки:

A =

-1   1  1   -1

,

= -1,

= 1.

Будем искать решение в  смешанных стратегиях. Составим систему уравнений (1) для нахождения стратегий игрока А:

-  +   = v,   -   = v,   +   = 1.

Выразим   из третьего уравнения:   = 1 -  . Сделаем подстановку в другие уравнения:

-  + 1 -   = v,   - 1 +   = v,

преобразуя, получим:

2  + v = 1,  2  - v = 1,

сложим уравнения:

4  = 2, откуда   = 1/2, v = 0,   = 1/2.

Система уравнений для игрока B (система (2)):

-  +   = 0,   -   = 0,   +   = 1,

откуда:   =   = 1/2.

Таким образом, оптимальная  стратегия каждого игрока состоит  в том, чтобы чередовать свои чистые стратегии, выбирая каждое из убежищ с вероятностью 1/2, при этом гарантированный  средний выигрыш каждого из игроков  равен нулю.

Далее рассчитаем еще один пример.

Пример 3. Найдите решение игры, заданной платежной матрицей:

A =

2   5  6   4

.

 

Решение.

Прежде всего, проверим наличие  седловой точки. Для этого найдем минимальные элементы в каждой из строк (2 и 4) и максимальные в каждом из столбцов (6 и 5). Таким образом, нижняя цена игры   = max (2, 4) = 4, верхняя цена игры   = min (6, 5) = 5. Поскольку   ≠  , решение игры следует искать в смешанных стратегиях, при этом цена игры находится в следующих пределах: 4 ≤ v ≤ 5.

Предположим, что для игрока А стратегия задается вектором U = (u₁, u₂). Тогда на основании теоремы об активных стратегиях можно записать систему уравнений:

2  + 6  = v,  5  + 4  = v,   +   = 1.

Решая систему из трех уравнений  с тремя неизвестными, получим:   = 2/5,   = 3/5, v = 22/5.

Теперь найдем оптимальную  стратегию игрока В. Пусть стратегия  данного игрока задается вектором Z = (z₁, z₂). Система уравнений (5.2), основанная на использовании теоремы об активных стратегиях, запишется следующим образом:

2  + 5  = 22/5,  6  + 4  = 22/5,   +   = 1.

Решая систему, состоящую  из любых двух уравнений, взятых из последней системы, получим   = 1/5,   = 4/5.

Следовательно, решением игры примера 3 являются смешанные стратегии: U^* = (2/5, 3/5), Z^* = (1/5, 4/5), цена игры v = 22/5.

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В последние годы значение теории игр существенно возросло во многих областях экономических и  социальных наук. В экономике она применима не только для решения  общехозяйственных задач, но и для  анализа стратегических проблем  предприятий, разработок организационных  структур и систем стимулирования.

В условиях альтернативы (выбора) очень  часто нелегко принять решение  и выбрать ту или иную стратегию. Исследование операций позволяет с  помощью использования соответствующих  математических методов принять  обоснованное решение о целесообразности той или иной стратегии. Теория игр, имеющая в запасе арсенал методов  решения матричных игр, позволяет  эффективно решать указанные задачи несколькими методами и из их множества  выбрать наиболее эффективные, а  также упрощать исходные матрицы  игр

Уже в момент ее зарождения, которым считают публикацию в 1944 г. монографии Дж. Неймана и О. Моргенштерна “Теория игр и экономическое поведение”, многие предсказали революцию в экономических науках благодаря использованию нового подхода. Эти прогнозы нельзя было считать излишне смелыми, так как с самого начала данная теория претендовала на описание рационального поведения при принятии решений во взаимосвязанных ситуациях, что характерно для большинства актуальных проблем в экономических и социальных науках. Такие тематические области, как стратегическое поведение, конкуренция, кооперация, риск и неопределенность, являются ключевыми в теории игр и непосредственно связаны с управленческими задачами.

Первые работы по теории игр отличались упрощенностью предположений  и высокой степенью формальной абстракции, что делало их малопригодными для  практического использования. За последние 10 - 15 лет положение резко изменилось. Бурный прогресс в промышленной экономике показал плодотворность методов игр в прикладной сфере.

В последнее время  эти методы проникли и в управленческую практику. Вполне вероятно, что теория игр наряду с теориями трансакционных издержек и “патрон - агент” будет восприниматься как наиболее экономически обоснованный элемент теории организации.

 Следует отметить, что уже  в 80-х годах М. Портер ввел  в обиход некоторые ключевые  понятия теории, в частности такие,  как “стратегический ход” и  “игрок”. Правда, эксплицитный анализ, связанный с концепцией равновесия, в этом случае еще отсутствовал.

 

 

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ИСТОЧНИКИ:

1. http://ru.wikipedia.org – теория игр

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА:

2. Биккин Х.М / Математические модели в экономике и управлении:

 Учебные материалы по курсу для самостоятельной работы и             практических занятий / Екатеринбург: УрАГС, 2005. – 218 с.

3. Воробьев Н.Н. — Теория игр для экономистов-кибернетиков
4. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. /Математические

методы в экономике: Учебник / Под общ. ред. д.э.н., проф. А.В. Сидоровича; МГУ им. М.В. Ломоносова. - 3-е изд., перераб. - М.: Издательство "Дело и  Сервис", 2001.

5. Губко М.В., НовиковД.А. / Теория игр в управлении

организационными системами.2-е  изд.

6. Нейман фон Дж., Моргенштерн О. / Теория игр и экономическое

поведение

7. Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. — Теория игр
8. Раскин М. А. «Введение в теорию игр» // Летняя школа

«Современная математика». – Дубна: 2008.

9. Шень А. В / Игры и стратегии с точки зрения математики. – М.:

МЦНМО, 2007. - 40 с