Построение трендовой модели

где a и b — положительные  числа, при этом если b больше единицы, то функция возрастает с ростом времени t, если b меньше единицы - функция убывает.

Модифицированная  экспонента имеет вид:

                                                                (35)

где постоянные величины: а меньше нуля, b положительна и меньше единицы, а константа k носит название асимптоты этой функции, т.е. значения функции неограниченно приближаются (снизу) к величине k. Могут быть другие варианты модифицированной   экспоненты, но на практике наиболее часто встречается указанная выше функция.

В экономике  достаточно распространены процессы, которые сначала растут медленно, затем   ускоряются, а затем  снова замедляют свой рост, стремясь к какому-либо пределу. В качестве примера можно привести процесс  ввода некоторого объекта в промышленную эксплуатацию, процесс изменения спроса на товары, обладающие способностью достигать неко торого уровня насыщения, и др. Для моделирования таких процессов используются так называемые S-образные кривые роста, среди которых выделяют кривую Гомперца и логистическую кривую.

Кривая Гомперца имеет аналитическое выражение:

                                                                     (36)

где а, b  -  положительные  параметры, причем   b меньше единицы;

параметр k - асимптота функции.

В кривой Гомперца выделяются четыре участка: на первом - прирост функции незначителен, на втором - прирост увеличивается, на третьем участке прирост примерно постоянен, на четвертом - происходит замедление темпов прироста и функция неограниченно приближается к значению k. В результате конфигурация кривой напоминает латинскую букву S.

Логарифм данной функции является экспоненциальной кривой; логарифм отношения первого  прироста к самой ординате функции - линейная функция времени. На основании  кривой Гомперца описывается, например, динамика показателей уровня жизни; модификации этой кривой  используются в демографии для моделирования показателей смертности и т. д.

Логистическая кривая, или кривая Перла-Рида - возрастающая функция, наиболее часто выражаемая в виде:

;                                                                      (37)

другие виды этой кривой:

;   .                                                (38)        

где а и b — положительные параметры;

k — предельное  значение функции при бесконечном  возрастании времени.

Если взять  производную данной функции, то можно  увидеть, что скорость возрастания  логистической кривой в каждый момент времени пропорциональна достигнутому уровню функции и разности между предельным значением k и достигнутым уровнем. Логарифм отношения первого прироста функции к квадрату ее значения (ординаты) есть линейная функция от времени.

Конфигурация графика  логистической кривой близка графику  кривой Гомперца, но в отличие от последней логистическая кривая имеет точку симметрии, совпадающую с точкой перегиба.

Рассмотрим проблему предварительного выбора вида кривой роста для конкретного  временного ряда. Допустим, имеется  временной ряд   y1 , y2 , … ,  yn .

Для выбора вида полиномиальной кривой роста наиболее распространенным методом является метод конечных разностей (метод Тинтнера). Этот метод  может быть использован для предварительного выбора полиномиальной кривой, если, во-первых, уровни временного ряда состоят только из двух компонент: тренд и случайная компонента, и, во-вторых, тренд является достаточно гладким, чтобы его можно было аппроксимировать полиномом некоторой степени.

На первом этапе этого  метода вычисляются разности (приросты) до k-го порядка включительно:

;

;                                                                     (39)

.   .   .   .   .   .   .   . 

.

Для аппроксимации экономических  процессов обычно вычисляют конечные разности до четвертого порядка.

Затем для исходного ряда и для каждого разностного  ряда вычисляются дисперсии по следующим формулам:

для исходного ряда:

        ;                                              (40)

для разностного ряда k-го порядка (k = 1, 2, ...):

     ;                                                      (41)

где - биномиальный коэффициент.

Производится сравнение  отклонений каждой последующей дисперсии от предыдущей, т.е. вычисляются величины:

,                                                              (42)

и если для какого-либо k эта  величина не превосходит некоторой наперед заданной положительной величины, т.е. дисперсии одного порядка, то степень аппроксимирующего полинома должна быть равна k - 1.

Более универсальным  методом предварительного выбора кривых роста, позволяющим выбрать кривую из широкого класса кривых роста, является метод характеристик прироста. Он основан на использовании отдельных характерных свойств кривых, рассмотренных выше. При этом методе исходный временной ряд предварительно сглаживается методом простой скользящей средней. Например, для интервала сглаживания m = 3 сглаженные уровни рассчитываются по формуле:

,                                                          (43)

причем чтобы  не потерять первый и последний уровни, их сглаживают по формулам:

  ,     .                           (44)

Затем вычисляются первые средние приросты:

, t = 2, 3, … , n-1;                                                (45)

вторые средние  приросты:

,                                                              (46)

а также ряд производных величин, связанных с вычисленными средними приростами и сглаженными уровнями ряда:

;   ;   ;   .

В соответствии с характером изменения средних приростов и производных показателей выбирается вид кривой роста для исходного временного ряда, при этом используется табл. 1.

Таблица 1

Выбор кривой роста  в соответствии с изменением приростов  и производных показателей

Показатель	Характер изменения  показателя во времени	Вид кривой роста
Первый средний  прирост	Примерно одинаковы	Полином первого  порядка
Первый средний  прирост	Изменяются  линейно	Полином второго  порядка
Второй средний  прирост	Изменяются  линейно	Полином третьего порядка
	Примерно одинаковы	Простая экспонента
	Изменяются  линейно	Модифицированная  экспонента
	Изменяются  линейно	Кривая Гомперца
	Изменяются  линейно	Логистическая кривая

 

На практике при предварительном  выборе отбирают обычно две-три кривые роста для дальнейшего исследования и построения трендовой модели данного  временного ряда.

2.3. Методы определения параметров отобранных кривых роста.

Параметры полиномиальных кривых оцениваются, как правило, методом  наименьших квадратов, суть которого заключается  в том, чтобы сумма квадратов  отклонений фактических уровней  ряда от соответствующих выровненных  по кривой роста значений была наименьшей. Этот метод приводит к системе так называемых нормальных уравнений для определения неизвестных параметров отобранных кривых.

Для полинома первой степени

  система нормальных уравнений  имеет вид:

,

;

где знак суммирования распространяется на все моменты  наблюдения (все уровни) исходного  временного ряда. Аналогичная система  для полинома второй степени:

имеет вид:

,

 ,                                                                    (48)

;

и т.д.

Параметры экспоненциальных и S-образных кривых находятся более  сложными методами. Для простой экспоненты    предварительно логарифмируют выражение по некоторому основанию (например, десятичному или натуральному):

т.е. для логарифма функции  получают линейное выражение, а затем  для неизвестных параметров log a и log b составляют на основе метода наименьших квадратов систему нормальных уравнений, аналогичную системе для полинома первой степени. Решая эту систему, находят логарифмы параметров, а затем и сами параметры модели.

При определении параметров кривых роста, имеющих асимптоты (модифицированная экспонента, кривая Гомперца, логистическая кривая), различают два случая. Если значение асимптоты k известно заранее, то путем несложной модификации формулы и последующего логарифмирования определение параметров сводят к решению системы нормальных уравнений, неизвестными которой являются логарифмы параметров кривой.

Если значение асимптоты  заранее неизвестно, то для нахождения параметров указанных выше кривых роста  используются приближенные методы: метод  трех точек, метод трех сумм и др. Таким образом, при моделировании экономической динамики, заданной временным рядом, путем сглаживания исходного ряда, определения наличия тренда, отбора одной или нескольких кривых роста и определения их параметров в случае наличия тренда получают одну или несколько трендовых моделей для исходного временного ряда.

2.4. Определение адекватности трендовой модели.

Независимо от вида и способа  построения экономико-математической модели вопрос о возможности ее применения в целях анализа и прогнозирования  экономического явления может быть решен только после установления адекватности, т.е. соответствия модели исследуемому процессу или объекту. При моделировании имеется в виду адекватность не вообще, а по тем свойствам модели, которые считаются существенными для исследования.

Трендовая модель конкретного временного ряда yt считается адекватной, если правильно отражает систематические компоненты временного ряда. Это требование эквивалентно требованию, чтобы остаточная компонента (t = 1, 2, ..., n) удовлетворяла свойствам случайной компоненты временного ряда: случайность колебаний уровней остаточной последовательности, соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения, равенство математического ожидания случайной компоненты нулю,  независимость значений уровней случайной компоненты.

Проверка случайности  колебаний уровней остаточной последовательности означает проверку гипотезы о правильности выбора вида тренда. Для исследования случайности отклонений от тренда необходимо рассмотреть набор разностей:    

(t = 1, 2, …, n)                                                          (49)        

Характер этих отклонений изучается с помощью ряда непараметрических  критериев. Одним из таких критериев является критерий серий, основанный на медиане выборки. Ряд из величин εt  располагают в порядке возрастания их значений и находят медиану εm полученного вариационного ряда, т.е. срединное значение при нечетном n или среднюю арифметическую из двух срединных значений при n четном. Возвращаясь к исходной последовательности εt и сравнивая значения этой  последовательности с εm, будем ставить знак «плюс», если значение εt, превосходит медиану, и знак «минус», если оно меньше медианы; в случае равенства сравниваемых величин соответствующее значение εt опускается. Таким образом, получается   последовательность, состоящая из плюсов и минусов, общее число которых не превосходит n. Последовательность подряд идущих плюсов или минусов называется серией. Для того чтобы последовательность εt была случайной выборкой, протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее число серий - слишком малым.

Протяженность самой длинной серии обозначается через Kmax, а общее число серий - через ν. Выборка признается случайной, если выполняются следующие неравенства  для 5%-ного уровня значимости:

;                                                      (50)

,                                                 (51)

где квадратные скобки означают целую часть числа.

Если хотя бы одно из этих неравенств нарушается, то гипотеза о случайном характере  отклонений уровней временного ряда от тренда отвергается и, следовательно, трендовая модель признается неадекватной.

Другим критерием  для данной проверки может служить  критерий пиков (поворотных точек). Уровень  последовательности εt считается максимумом, если он больше двух рядом стоящих уровней, т.е.

εt-1 < εt > εt+1,                                                           (52)

и минимумом, если он меньше обоих соседних уровней, т.е.

εt-1 > εt < εt+1.                                                          (52’)

 В обоих  случаях εt считается поворотной точкой; общее число поворотных точек для остаточной последовательности εt обозначим через p.