Расчетно–графическая работа по дисциплине «Эконометрика»

Вычисленное значение F признается достоверным, если оно больше табличного. В нашем случае  нулевая гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о существенности этой связи, так как Fтабл  < Fфак.

 

3) Экспоненциальная функция  (y=eA0+A1x)

Эта функция также относится к нелинейным.

Ее нужно свести к линейной путем замены: Y=ln y

Для расчёта параметров уравнения степенной регрессии построим вспомогательную таблицу.

И экспоненциальная регрессия сводиться к нахождению уравнения вида:

 

 

 

Затем необходимо вычислить a0 и a1, rxy, R, Fфакт., A, Эср.

а) Вычислим коэффициенты a0 и a1. В нашем примере получили:

 a1=0,0066; a0=4,3779. Получим уравнение регрессии: lny= 4,3779+0,0066*x

Так как a0>0, то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора.

б) Вычислим коэффициент корреляции rxy. Чем ближе он к 1, тем теснее связь, тем более надежно уравнение регрессии. В нашем случае r=0,6989, поэтому связь оценивается как хорошая.

в) Необходимо определить коэффициент детерминации. Чем он выше, тем лучше. В нашем примере он составляет  0,69. То есть уравнением регрессии объясняется 69% дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходиться 31% ее дисперсии.

г) Величина отклонений фактических и расчетных значений результативного признака по каждому наблюдению представляет собой ошибку аппроксимации. Вычисляя по формуле, получаем Aср.=5,9495, он меньше 8%, это означает, что качество модели хорошее.

д) Вычислим F-критерий Фишера по соответствующей формуле.  Затем сравним его с его табличное значение -  Fтабл.=4,96.

Вычисленное значение F признается достоверным, если оно больше табличного. В нашем случае  нулевая гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о существенности этой связи, так как Fтабл  < Fфак. (4,96 <9,5514)

 

4) Полулогарифмическая функция  (y=a0+a1lnx)

Для нахождения параметров данного уравнения, необходимо построить вспомогательную таблицу. Также необходимо свести данную функцию к линейной с помощью следующих замен: Y=y; X=ln x.

а) Вычислим по формулам a0 и a1 :  a1=89,98

 

                                                           a0=-259

 

Получим уравнение степенной модели регрессии  Y^ = -259+89,98*X

a1 - коэффициент эластичности (показывает, на сколько % измениться в среднем результат, если фактор изменить на 1%). В нашем случае он равен 89,98%. Так как a0>0, то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора.

б) Вычислим показатель тесноты связи - линейный коэффициент корреляции rxy. Вычислим коэфф. корреляции: r=0,719. В нашем примере этот показатель больше 0,7, следовательно, связь между x и y хорошая.

в) Коэффициентом детерминации (rxy2)

R    =

r2

 Вычислим этот коэффициент:   R2=0,517

В нашем примере он равен 0,517. Следовательно, уравнением регрессии объясняется 51,7% дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходиться 48,3% ее дисперсии.

г) Нужно определить среднюю ошибку аппроксимации как среднюю арифметическую простую.

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации: A¯=5,825 %

 

Этот показатель меньше 8-10%, следовательно, качество модели оценивается как хорошее.

д) С помощью F-критерия Фишера можно дать оценку значимости регрессии. Уже ранее было найдено его табличное значение -  Fтабл.=4,96. Сравним его с фактическим значением

Fфакт.=

10,71

Вычислим Fфак.: его значение определим по формуле

В нашем случае  нулевая гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о существенности этой связи, так как Fтабл  < Fфак.

 

5) Обратная функция (y=1/(a0+a1x)

Необходимо сделать замену: Y=1/y; X=x. Затем построим вспомогательную таблицу.

 

а) Вычислим коэффициенты a0 и a1. В нашем примере получили:  a1= 0,00005; a0= 0,01. Получим уравнение регрессии: 1/y= 0,01+0,00005*x. Так как a0>0, то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора.

б) Вычислим коэффициент корреляции rxy. Чем ближе он к 1, тем теснее связь, тем более надежно уравнение регрессии. В нашем случае r=0,68275, поэтому связь оценивается как хорошая.

в) Необходимо определить коэффициент детерминации. В нашем примере он составляет  0,68275. То есть уравнением регрессии объясняется 68,28% дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходиться 31,72 % ее дисперсии.

г) Величина отклонений фактических и расчетных значений результативного признака по каждому наблюдению представляет собой ошибку аппроксимации. Вычисляя по формуле, получаем Aср.=6,01176,он меньше 8%, это означает, что качество модели хорошее.

д) Вычислим F-критерий Фишера по соответствующей формуле.  Затем сравним его с его табличное значение -  Fтабл.=4,96.

Вычисленное значение F признается достоверным, если оно больше табличного. В нашем случае  нулевая гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о существенности этой связи, так как Fтабл  < Fфак. (4,96 < 8,7317)

 

6) Гиперболическая функция (y=a0+a1/x)

 

Сведем данную функцию к линейной путем следящей замены: X=1/x. Получим уравнение гиперболической регрессии: y=a0+a1X.

 

а) Необходимо вычислить коэффициенты a0 и a1. В нашем примере получили:

 a1 = -8295; a0=239. Получим уравнение регрессии: y= 239 - 8295X

б) Вычислим коэффициент корреляции rxy. Чем ближе он к 1, тем более надежно уравнение регрессии. В нашем случае r=0,725, поэтому связь оценивается как хорошая.

в) Необходимо определить коэффициент детерминации. В нашем примере он составляет  0,725. То есть уравнением регрессии объясняется 72,5% дисперсии результативного признака.

г) Величина отклонений фактических и расчетных значений результативного признака по каждому наблюдению представляет собой ошибку аппроксимации. Вычисляя по формуле, получаем Aср.=5,739. Ошибка меньше 8%, это означает, что качество модели хорошее.

д) Вычислим F-критерий Фишера по соответствующей формуле.  Затем сравним его с его табличное значение -  Fтабл.=4,96.

Вычисленное значение F признается достоверным, если оно больше табличного. В нашем случае  нулевая гипотеза об отсутствии связи признаков отклоняется и делается вывод о существенности этой связи, так как Fтабл  < Fфак. (4,96 <11,07)

 

Вспомогательная таблица

 

 

Коэффициент эластичности

 

Эластичность - степень изменения зависимой переменной в ответ на изменение другой, независимой переменной. Это число, которое показывает процентное изменение одной переменной в результате однопроцентного изменения другой переменной. Коэффициент эластичности не является величиной постоянной, а зависит от соответствующего значения x.

Поскольку коэффициенты эластичности представляют экономический интерес, необходимо рассчитать средний показатель эластичности для исследуемых типов уравнений регрессии.

 

 

Функция	Формула	Значение
Линейная		0,583328
Степенная	Э=а1	0,3816
Экспоненциальная	Э=а1*х	0,004
Полулогарифмическая		0,629
Обратная		0,5666
Гиперболическая		0,663

 

Выбор лучшей модели

 

Для выбора лучшей модели, необходимо построить таблицу для сравнения всех полученных показателей. Лучшей моделью будет та, у которой наибольшая теснота связи между переменными, наибольший показатель F – критерия Фишера, и наименьшая ошибка аппроксимации.

 

параметры	R2	Fкрит.	Коэф.кор.	Аср.	Эср.
линейная	0,50258	значимая	0,71	5,927933	0,583328
степенная	0,5075	значимая	0,71	5,7743	0,3816
экспоненциальная	0,4885	значимая	0,70	5,9495	0,004
полулогарифмическая	0,517	значимая	0,72	5,825	0,629
обратная	0,46615	значимая	0,68	6,01176	0,5666
гиперболическая	0,525	значимая	0,72	5,739	0,663

 

По данным этой таблицы, мы определили, что наилучшая модель является – гиперболическая функция. Для данной модели необходимо рассчитать такие показатели как:

• Оценка статистической значимости параметров регрессии;
• Средние ошибки для a0, a1, rxy;
• Фактическое значение  t критерия Стьюдента;
• Доверительные интервалы для a0, a1;
• Прогнозное значение ср.душевого прожиточного минимума;
• Ошибку прогноза.

 

1) Определим оценку статистической  значимости параметров регрессии. Это производиться с помощью  критерия Стьюдента и путем  расчета доверительного интервала  каждого из показателей. По приложению 2 в методическом пособии, найдем  табличное значение t критерия Стьюдента. Он равен: 2,23.

2) Средние ошибки для a0, a1, rxy. Воспользуемся следующими формулами.

Найдем фактические значения  t критерия Стьюдента и сравним их с табличным показателем.

 

 

Так как все показатели больше чем табличное значение критерия Стьюдента, то коэффициенты a0, a1, rxy  - значимы.

3) Для того, чтобы рассчитать  доверительные интервалы для a0, a1, необходимо сначала найти предельную ошибку для каждого показателя:

 

 

 

Теперь можно рассчитать доверительные интервалы:

 

4)  Прогнозное значение ср.душевого  прожиточного минимума, если  прогнозное  значение среднедушевого прожиточного  минимума будет выше его среднего  значения на 107%.

5) Найдем ошибку прогноза и  ее предельное значение:

 

Рассчитаем доверительный интервал прогноза:

Вычисленный прогноз средне – месячной заработной платы оказался не слишком точным, так как верхняя и нижняя границы доверительного интервала отличаются почти в 4 раза.

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2

Тема: «Множественная регрессия»

 

По 10-ти предприятиям изучается зависимость выработки продукции на 1 работника от введения в действие новых ОФ(Х1) и удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (Х2 в %)

 

№ п/п	Y	Х1	Х2
1	6	3,6	9
2	6	3,6	12
3	6	3,6	14
4	7	4,1	17
5	7	3,9	18
6	7	4,5	18
7	8	5,3	19
8	8	5,3	19
9	9	5,6	20
10	10	6,8	21