Таким образом, система уравнений примет вид: 

              NА + С∑ х ² = ∑Y_х ,                                                                                 (69)

             В∑ х ² = ∑Y_х х,                                                                                         (70)

             А∑ х ² +С∑ х ⁴ = ∑Y_х х ² .                                                                        (71) 

    Составим  новую таблицу  данных в связи с переносом оси ординат в середину диапазона аргумента, то есть в точку х =7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Таблица 5 - Новые данные с учетом переноса оси ординат в середину диапазона аргумента

 

    Подставим известные нам значения из таблицы 4 и получим: 

              13A + 182C = 1133,9                                                                             (72)

             182B = 219,1;                                                                                           (73)

             182A + 4550C = 14588,5.                                                                        (74)

    Из  (73) получим:

                       B=1.20. 

    Уравнения (72) (74) сводятся к системе:

    

                13A+182C=1133.9

                A+25C=80.15, 

    Из  которой определены коэффициенты А  и С:

            A = 96.18;   C= - 0.64.

     Таким образом, уравнение корреляции с квадратической выравнивающей функцией имеет вид:

           = 96.18 + 1,20х – 0,64х²_.   (VI)                                           (75)

    2.4.4 Коэффициент корреляции  конкурирующих описаний 

    Оценка  силы связи аргумента  с функцией осуществляется с помощью коэффициента корреляции r , определяемого из выражения: 

        ,                                                                                               (76)

    где:       ,     ,   0 ≤ r ≤ 1.                        (77) 
 

    Для квадратичной корреляционной функции (VI) 

       = 96.18 + 1,20х – 0,64х²

    находим 

      ;      

    r = √ (95.15– 11,35) / 95,15 = 0,94. 

    Для линейной  функции (V)

      =78.82+1.20x

    дисперсии равны следующим величинам:

     ;  .

    Коэффициент корреляции оказался равным

           r =√(95.15 – 74.86) /95.15 = 0,46.

     По  результатам выполненных расчетов видно, что более достоверной  является квадратичная корреляционная модель (V1), т.к. ее коэффициент корреляции выше (r = 0,94).

 
 
 
 

Таблица 5 - Значения коэффициентов корреляции для моделей (V) и (VI)

 

    2.4.5 Использование модели в оптимизационной задаче 

    Полученная  корреляционная модель

           = 96.18 + 1,20х – 0,64х²_. 

имеет экстремум и может быть использована в оптимизационных процедурах.  

                

    Откуда 

    x^опт = 1.20/ 1.28= 0.94. 

    Так как ось ординат смещена на величину (х +7), то х^опт = 0,94+7=7,94

    Х^опт = х^опт *100=7,94*100=794( оптимальное количество рабочих на заводе).

    Подставим полученное значение х^опт в уравнение модели (V1) мы найдём оптимальный выпуск продукции:

     ^max =96.18+1.20*0,94-0.64(0,94)²= 96,18+1.13-0.56=96.75

    При оптимальном количестве рабочих  на заводе, равном 794 человеку, максимальный выпуск продукции составит 96.75 условных единиц. 
 

5. Графическое изображение результатов  расчета по различным  конкурирующим моделям

 

    На  рис.5 представлены результаты расчетов по различным конкурирующим описаниям. Кривые трендовых моделей изображены в осях (Y_t – t), кривые корреляционных моделей – в осях (Y_x – x). При переходе к количеству рабочих Х необходимо произвести пересчет Х = 100х.

    

    Рис. 5 Результаты расчетов по различным конкурирующим описаниям 

    Выводы 

          По полученным исходным данным в форме множества расчетных  точек, имитирующих производительность завода по годам, найдена простая  средняя арифметическая производительности. С использованием различных методов  получены  трендовые модели с  различными выравнивающими функциями:

    - для линейной модели:

    1. Расчленением динамического ряда  на количество частей, равное  количеству коэффициентов выравнивающей  функции;

    2. Выравниванием с использованием  метода наименьших квадратов;

    3. Выравниванием с использованием  метода наименьших квадратов  и с переносом начала системы  координат в середину динамического  диапазона.

    - для квадратичной модели:

    1. Выравниванием с использованием  метода наименьших квадратов   и с переносом начала системы  координат в середину динамического  диапазона.

          Определена точность полученных линейной (Y=78.82+1.20t) и параболической (Y = 96.18 + 1,20t – 0,64t² ) трендовых моделей с использованием коэффициента вариации. Для линейной трендовой модели он составил 9,91%, а для параболической 3,86%. Чем меньше отклонение, тем точнее модель. Следовательно, точнее параболическая трендовая модель. Осуществлен прогноз на 15-й год (объем производства продукции завода   составил 64,82).

          Построена корреляционную модель. В качестве исходной таблицы  данных принята исходная расчетная  таблица для трендовых моделей  путем замены Y_x=Y_t; Х_i=100t_i Для упрощения расчетов перешли к новой независимой переменной X_i=x_i/100.

          Построили корреляционные модели производственного процесса методом наименьших квадратов для  линейной функции и методом наименьших квадратов с переносом начала координат в середину динамического  диапазона для квадратичной функции.

          Для этих моделей  определены коэффициент корреляции конкурирующих описаний. Для линейной корреляционной модели он составил 0,46, а для квадратичной 0,94. По выполненным расчетам видно, что достоверной является квадратичная  корреляционная модель, так как ее коэффициент корреляции больше.

          По полученной квадратичной  корреляционной модели найдено оптимальное  количество рабочих на заводе  = 794 человеку, обеспечивающее оптимальный выпуск продукции = 96,75. Результаты исследований проиллюстрированы на графиках. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Заключение 

     В настоящее время рынок развивается направленно: цены могут расти, падать, находиться в горизонтальном диапазоне, поэтому выявление тренда (trend), или превалирующего направления движения цен,- база технического анализа и залог успешной торговли. Кроме того, применяются каналы колебаний курсов, когда для четко выраженного тренда одновременно существуют хорошие линии поддержки и сопротивления. Чаще всего для прогнозирования применяются: линейная, экспоненциальная, логистическая, кластерная модели, анализ трендовых линий.