Экономико-математическое моделирование транспортных процессов

• все экономические объекты являются сложными, поэтому изучение их трудоемко;
• при исследовании важное значение имеет информация. Она должна быть точной и достоверной, а затраты на ее сбор и время не должны превышать эффекта от использования модели;
• в большинстве случаев факторы носят случайный характер и учесть их влияние на объект исследования не всегда возможно.

     Таким образом, любая социально-экономическая система представляет собой сложную систему, в которой взаимодействуют десятки и сотни экономических, технических и социальных процессов, постоянно изменяющихся под воздействием внешних условий, в том числе и научно- технического прогресса. В таких условиях управление социально- экономическими и производственными системами превращается в сложнейшую задачу, требующую специальных средств и методов, которыми обладает наука математическое моделирование. /1/ 

     1.2. Транспортная задача линейного  программирования

     Задачей линейного программирования называется задача исследования операций, математическая модель которой имеет вид: 

 

(1.2.1) 

при ограничениях неравенствах или равенствах: 

(1.2.2) 

и условиях: 

(1.2.3) 

     Круг задач, решаемых при помощи методов линейного программирования достаточно широк. Это, например:

• задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании;
• задача о смесях (планирование состава продукции);
• задача о нахождении оптимальной комбинации различных видов продукции для хранения на складах (управление товарно-материальными запасами или "задача о рюкзаке");
• транспортные задачи (анализ размещения предприятия, перемещение грузов). /11/

     Рассмотрим  подробнее такой вид линейного  программирования, как транспортные задачи. Под термином «транспортные задачи» понимается широкий круг задач не только транспортного характера. Общим для них является, как правило, распределение ресурсов, находящихся у т производителей (поставщиков), по п потребителям этих ресурсов.

     На  автомобильном транспорте наиболее часто встречаются следующие задачи, относящиеся к транспортным:

     • прикрепление потребителей ресурса  к производителям;

     • привязка пунктов отправления к  пунктам назначения;

     • взаимная привязка грузопотоков прямого  и обратного направлений;

     •отдельные  задачи оптимальной загрузки промышленного  оборудования;

     • оптимальное распределение объемов  выпуска промышленной продукции между заводами-изготовителями и др. 
 

     Задача  о размещении (транспортная задача) – это распределительная задача, в которой работы и ресурсы измеряются в одних и тех же единицах. В таких задачах ресурсы могут быть разделены между работами, и отдельные работы могут быть выполнены с помощью различных комбинаций ресурсов. Примером типичной транспортной задачи является распределение (транспортировка) продукции, находящейся на складах, по предприятиям-потребителям.

     Стандартная транспортная задача определяется как задача разработки наиболее экономичного плана перевозки продукции одного вида из нескольких пунктов отправления в пункты назначения. При этом величина транспортных расходов прямо пропорциональна объему перевозимой продукции и задается с помощью тарифов на перевозку единицы продукции.

     Этапы построения модели транспортной задачи:

I. Определение  переменных.

II. Проверка  сбалансированности задачи.

III. Построение  сбалансированной транспортной  матрицы.

IV. Задание  целевой функции.

V. Задание  ограничений.

     Транспортная  модель может быть представлена в  виде: 

(1.2.4)

           При ограничениях: 

(1.2.5) 

     Необходимым и достаточным условием решения  задач является условие соблюдения уравнения баланса: 

     (1.2.6)

     Целевая функция представляет собой общие транспортные расходы на осуществление всех перевозок в целом. Первая группа ограничений указывает, что запас продукции в любом пункте отправления должен быть равен суммарному объему перевозок продукции из этого пункта. Вторая группа ограничений указывает, что суммарные перевозки продукции в некоторый пункт потребления должны полностью удовлетворить спрос на продукцию в этом пункте.

     Транспортная  задача является задачей линейного  программирования, и ее решение состоит  из опорного и оптимального планов. При этом любая закрытая транспортная задача имеет решение. Закрытой называют такую задачу, в которой объем запасов груза и количество заявок потребителя равны друг другу.

     Для того чтобы найти решение транспортной задачи сначала необходимо построить  опорный план, а затем проверить  его по критерию оптимальности. Данные пункты работы с транспортными задачами подробно будут рассмотрены во второй части курсового проекта.

     Таким образом, в   системе   расширенного воспроизводства транспорту принадлежит важное место. Перевозки грузов выполняются    внутри   производственных    предприятий, между предприятиями, а также между предприятиями и сферой потребления. Транспортные расходы занимают значительный удельный вес в структуре затрат. Поэтому предприятиям необходимо использовать различные методы оптимизации транспортных процессов для сокращение затрат на доставку материалов и готовой продукции и соответственно увеличение чистой прибыли. 
 
 

2. Пример постановки  и решения транспортной  задачи

     Пусть дана следующая задача:

     Из  трех холодильников A_i , , вмещающих мороженую рыбу в количествах a_i тонн, необходимо последнее доставить в пять магазинов B_j , в количествах b_j тонн. Стоимости перевозки 1т рыбы из холодильника A_i в магазин B_j заданы в виде матрицы:

C= (( c_ij )) , 3x5.

     Написать  математическую модель задачи и спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной. 

     Решение задачи:

     Составим  математическую модель задачи. Пусть  x_ij - количество тонн рыбы, перевозимой из холодильника (поставщика) A_i в магазин (потребитель) Bj . Тогда задача заключается в минимизации общих транспортных расходов.

     Запишем целевую функцию: 

     И ограничения: 

     Проверим  задачу на закрытость:

1. посчитаем запасы груза = 320+280+250 = 85 тонн
2. потребность магазинов в товаре=150+140+110+230+220 = 850тонн

     Таким образом, данная задача является закрытой, т.к. запасы груза у поставщиков  равны потребности магазинов в товаре.

     Составим  опорный план:

1. Методом северо-западного угла

     При нахождении опорного плана транспортной задачи данным методом заполнение клеток начинается с верней левой клетки (т.е с клетки х₁₁) и заканчивается нижним правым углом (т.е. клеткой х₃₅). Заполнение таблицы в данном случае происходит как бы по диагонали. 

 

В результате получен опорный план: 

 

С = 

И общая стоимость  перевозок груза составит:

Z = 150*20 + 140*23 + 30*20 + 80*16 + 200*19 + 30*9 + 220*8 = 13 930 р. 

2. Методом минимального элемента

     В отличие от метода северо-западного  угла в методе минимального элемента учитывается стоимость перевозок. Заполнение клеток происходит в порядке  роста тарифов. Если при выборе следующей клетки наименьших тарифов оказывается несколько, то выбирается самая левая (самая верхняя) клетка.