Аппроксимация функции методом наименьших квадратов

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ  
АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ»

КАФЕДРА 42

КУРСОВАЯ  ПРОЕКТ  
ЗАЩИЩЕНА С ОЦЕНКОЙ

РУКОВОДИТЕЛЬ

				С.Л. Козенко
должность, уч. степень,		подпись, дата		инициалы, фамилия

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА  К КУРСОВОМУ ПРОЕКТУ

АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИИ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ  ( 16 вариант )

по  дисциплине: информатика

РАБОТУ  ВЫПОЛНИЛ

СТУДЕНТ   ГР.					А.Р. Фахрисламиов
			подпись, дата		инициалы, фамилия

Санкт-Петербург 2011

 

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3

Глава I. Теоретическая часть

1. Постановка цели и задачи проекта …………………………………………………………… 5
2. Представление исходных данных …………………………………………………………………. 5
3. Описание критерия аппроксимации и способы его минимизации ... 6

4. Описание   метода определения   и   вычисления   параметров аппроксимирующей функции ………………………………………………………………………………………… 7

Глава II. Вычисления параметров аппроксимирующей функции

1. Исходные данные ………………………………………………………………………………………………..… 8
2. Критерий аппроксимации и условия его минимума …………………………… 8
3. Формирование системы нормальных уравнений …………………………………. 10
4. Вычисление коэффициентов системы нормальных уравнений ……. 10
5. Решение системы нормальных уравнений …………………………………………….... 11
6. Предварительная оценка погрешности ручного счета …………….…… 13

Глава III. Алгоритмизация ………………………………………………………………………………………………….... 14

Глава IV. Исходный текст программы ……………………………………………………………………...…… 14

Глава V. Результаты контрольного расчета ……………………………………………………..…… 17

Приложение  А. Основной алгоритм ………………………………………………………………………………... 18

Приложение  Б. Алгоритм решения системы уравнений …………………………………..…. 20

Приложение В. График ………………………………………………………………………………………………………….. 22

Заключение ………………………………………………………………………………………………………………………………... 24

Список использованных источников …………………………………………………………………………..… 25

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Аппроксимация (от лат. approximated - приближаюсь) – замена одних математических объектов другими, каким-то образом близкими к исходным. Аппроксимация разрешает исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). В теории чисел изучаются диофантовы приближения, в частности приближения иррациональных чисел рациональными. В геометрии и топологии рассматриваются аппроксимации кривых, поверхностей, пространств и отображений. Некоторые разделы математики целиком посвящены аппроксимации, например приближение функций.

Понятие о приближении  функции. Пусть величина у выступает в роли значения функции аргумента х. Это значит, что любому значению х из области определения поставлено в соответствие значение у. Вместе с тем на практике часто неизвестна явная связь между у и х, то есть возможность записать эту связь в виде некоторой зависимости у=f(x). В некоторых случаях даже при известной зависимости у=f(x) она столь громоздка (например, содержит выражения, которые тяжело вычисляются, сложные интегралы и т.п.), что ее использовать в практических целях сложно и тяжело.

Наиболее распространенным и практическим важным случаем, когда  вид связи между параметрами х и у неизвестен, есть задача этой связи, в виде таблицы {xi;yi}. Это означает, что дискретному множеству значений аргумента {xi} поставлено в соответствие множество значений функции {yi} ( i = 0,1…. n). Эти значения – или значения расчетов, или экспериментальные данные. На практике нам могут понадобиться значения величины у и в других точках вне узлов {xi}. Однако получить эти значения можно лишь путем очень сложных расчетов или проведением дорогих экспериментов.

 

Таким образом, с учетом экономии времени и средств, мы приходим к необходимости использования имеющихся табличных данных для приближенного вычисления неизвестного параметра у при любом значении (из некоторой области) определяющего параметра x поскольку точная связь у=f(x) – неизвестна.

Этой цели подчинена задача о приближении (аппроксимации) функций: данную функцию f(x) нужно приблизительно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией F(x) так, чтобы отклонения (в некотором смысле) F(x) и f(x) в заданной области было наименьшим. Функция F(x) при этом называется аппроксимирующей.

Как классы аппроксимирующих функций могут выступать полиномиальные, тригонометрические, экспоненциальные и др.

На практике довольно важным есть случай аппроксимации  функции многочленом:                     

Если приближения  строятся на заданном дискретном множестве  точек{xi}, то аппроксимация называется точечной. К ней относятся интерполяция, среднеквадратическое приближение. При построении приближения на непрерывном множестве точек (например, на отрезке [a,b]) аппроксимация называется непрерывной (или интегральной).

Одним из основных типов точечной аппроксимации есть интерполяция. В этом случае аппроксимирующая функция проходит через заданные узловые точки. Иногда приближения табличных данных методом интерполяции неудобно. Так, например, если данные в таблице неточные, то совпадение значений интерполяционной функции в узлах с табличными данными означает, что она точно повторяет ошибки таблицы. В таких случаях используют другие виды аппроксимации, например, метод наименьших квадратов. Этим методом аппроксимирующая функция строится так, чтобы сумма квадратов расстояний от ординат точек к линии графика аппроксимирующей функции для одинаковых абсцисс была наименьшей.   

Глава I. Теоретическая часть

 

1. Постановка цели и задачи проекта

При изучении зависимостей между величинами важной задачей  является приближенное представление (аппроксимация) этих зависимостей с  помощью известных функций или  их комбинаций, подобранных надлежащим образом. Подход к такой задаче и конкретный метод ее решения определяется выбором используемого критерия  качества приближения и формой представления исходных данных. Исходными данными являются функциональная зависимость (между х и у) в виде координат точек на плоскости, аналитического задания функции или семейства функций.

Требуется посредством  метода наименьших квадратов найти  аппроксимирующую функцию из заданного  класса функций и оценить степень  ее отклонения от исходной функциональной зависимости.

2. Представление исходных данных

Представление может быть двух видов:

- графическое

- табличное

Графическое представление данных - представляет собой зависимость у=f(x), у – независимая переменная, х – переменная.

 

Табличное представление данных – представляет собой некую табличку в которой есть явная зависимость у от х:           

 Таблица 1 – Таблица значений

Xi	0,1	0,8	1,3	2,1	3,1
Yi	2,5	2,9	2,0	1,2	0,6

 

3. Описание критерия аппроксимации и способы его минимизации

Для начала озадачимся тем, что такое означает понятие «критерий»? Крите́рий (гр. kriterion — признак для суждения) — признак, основание, мерило оценки чего-либо.

И что за штука  такая «аппроксимация»? Аппроксима́ция,  или приближе́ние — научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются, или свойства которых уже известны). В теории чисел изучаются диофантовы приближения, в частности, приближения иррациональных чисел рациональными. В геометрии рассматриваются аппроксимации кривых ломаными. Некоторые разделы математики в сущности целиком посвящены аппроксимации, например, теория приближения функций, численные методы анализа.

Критерий аппроксимации (степень приближения) – Аппроксимация линейным или нелинейным методом наименьших квадратов (МНК).

Метод наименьших квадратов (часто называемый МНК) обычно упоминается в двух контекстах. Во-первых, широко известно его применение в регрессионном анализе, как метода построения моделей на основе зашумленных экспериментальных данных. При этом помимо собственно построения модели обычно осуществляется оценка погрешности, с которой были вычислены её параметры, иногда решаются и некоторые другие задачи. Во-вторых, МНК часто применяется просто как метод аппроксимации, без какой-либо привязки к статистике.

Способы минимизации  критерия заключается в том, чтобы сумма по всем точкам разности исходных значений  уi , т.е. исходных значений функций «отрицательные» значения аппроксимирующей соответствовали точкам, взятые в квадрат. . По заданным базисным функциям φ₁ (x _i ),φ₂ (x _i ),φ₃ (x _i ) – находится неизвестные Ск обеспечивающие близость к исходной заданной функции, что обеспечивает      min критерия. Функция будет сходиться к min, только тогда когда первая производная будет равна ноль, в данном случае берется производная    по каждой переменной – записанная в систему нормальных уравнений. Данное условие является необходимым и достаточным условием обеспечения min функции аппроксимации.

4. Описание метода определения и вычисления параметров аппроксимирующей функции

В данном курсовом проекте был выбран метод Гаусса-Остроградского, заключавшимся в следующих очерках. Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

 

Глава II. Вычисление параметров аппроксимирующей функции

 

2.1 Исходные данные

Исходная функциональная зависимость представлена парами значений Х_i и У_i :

i	1	2	3	4	5
Хi	0,1	0,8	1,3	2,1	3,1
Уi	2,5	2,9	2,0	1,2	0,6

 

     Базисные функции:

  Вычислим базисные функции данные в курсовой работе:

φ₁ (х_i) = 1    - для все «х» функция будет равна единице