Алгебры и их применение

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ УКРАИНЫ

 

ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

им. В.И. ВЕРНАДСКОГО

 

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

 

КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО  АНАЛИЗА

 

*-АЛГЕБРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

 

Дипломная работа специалиста

 

 

студент 5 курса специальности  математика

 

_________________________________

 

НАУЧНЫЕ РУКОВОДИТЕЛИ:

 

ассистент каф. алгебры и  функционального анализа

 

_________________________________

 

профессор, доктор физико-математических наук

 

_________________________________

 

РЕШЕНИЕ О ДОПУСКЕ К  ЗАЩИТЕ:

 

зав. кафедрой, профессор, д.ф.м.н.

 

_________________________________ 

 

 

 

 

 

СИМФЕРОПОЛЬ

 

2003

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………………..4

 

Глава I. Основные понятия и определения…………………………………….6

 

§ 1. * - алгебры……………………………………………………………………...6

 

1.1. Определение * - алгебры……………………………………………………….6

 

1.2. Примеры…………………………………………………………………………7

 

1.3. Алгебры с единицей…………………………………………………………….7

 

1.4. Простейшие свойства * - алгебр……………………………………………….9

 

1.5. Гомоморфизм и изоморфизм  алгебр…………………………………………11

 

§ 2. Представления ……………………………………………………………….13

 

2.1. Определение и простейшие  свойства представлений……………………….13

 

2.2. Прямая сумма представлений  ………………………………………………..15

 

2.3. Неприводимые представления………………………………………………..16

 

2.4. Конечномерные представления……………………………………………….19

 

2.5. Интегрирование и дезинтегрирование  представлений ……………………..20

 

§ 3. Тензорные произведения……………………………………………………26

 

3.1. Тензорные произведения  пространств……………………………………….26

 

3.2. Тензорные произведения  операторов………………………………………..28

 

Глава II. Задача о двух ортопроекторах………………………………………..31

 

§ 1. Два ортопроектора  в унитарном пространстве…………………………..31

 

1.1. Постановка задачи……………………………………………………………..31

 

1.2. Одномерные *-представления  *-алгебры P2 ……………………………….31

 

1.3. Двумерные *-представления  *-алгебры P2 ……………………………….32

 

1.4. n-мерные *-представления *-алгебры P2 …………………………………35

 

1.5. Спектральная теорема…………………………………………………………37

 

§ 2. Два ортопроектора  в сепарабельном гильбертовом пространстве……39

 

2.1. Неприводимые *-представления  *-алгебры P2 …………………………...39

 

2.2. Спектральная теорема…………………………………………………………41

 

Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов ……………………………...45

 

§ 1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве……...45

 

1.1. Спектр ортопроектора  в гильбертовом пространстве……………………….45

 

1.2. Постановка задачи……………………………………………………………..45

 

1.3. Спектр в одномерном  пространстве………………………………………….45

 

1.4. Спектр в двумерном  пространстве……………………………………….…..46

 

1.5. Спектр в n-мерном пространстве……………………………………………..47

 

1.6. Линейная комбинация  ортопроекторов………………………………………49

 

§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном 

 

гильбертовом пространстве …………………………………………………….52

 

2.1. Спектр оператора А  = Р1 +Р2 …………………………………………………52

 

2.2. Спектр линейной комбинации  А = аР1 + bР2 (0<а<b) ……………………..53

 

Заключение………………………………………………………………………..55

 

Литература ………………………………………………………………………..56

 

ВВЕДЕНИЕ

 

 

Пусть Н - гильбертово пространство, L(Н) - множество непрерывных линейных операторов в Н. Рассмотрим подмножество А в L(Н), сохраняющееся при сложении, умножении, умножении на скаляры и сопряжении. Тогда А - операторная *-алгебра. Если дана абстрактная *-алгебра А, то одна из основных задач теории линейных представлений (*-гомоморфизмов А в L(Н)) - перечислить все ее неприводимые представления (с точностью до эквивалентности).

 

Теория унитарных представлений  групп восходит к XIX веку и связана с именами Г.Фробениуса, И.Шура, В.Бернсайда, Ф.Э. Молина и др. В связи с предложениями к квантовой физике теория унитарных представлений топологических групп, групп Ли, С*-алгебр была разработана И.М.Гельфандом, М.А. Наймарком, И.Сигалом, Ж.Диксмье, А.А. Кирилловым и др. в 60-70-х годах XX века. В дальнейшем интенсивно развивается теория представлений *-алгебр, заданных образующими и соотношениями.

 

Дипломная работа посвящена  развитию теории представлений (конечномерных  и бесконечномерных) *-алгебр, порожденных  двумя проекторами.

 

Глава I в краткой форме содержит необходимые для дальнейшего сведения из теории представлений и функционального анализа. В §1 дано определение *-алгебры и приведены простейшие свойства этих алгебр. В §2 излагаются основные свойства представлений, вводятся следующие понятия: неприводимость, эквивалентность, прямая сумма, интегрирование и дезинтегрирование представлений. В §3 определяются тензорные произведения пространств, тензорные произведения операторов и др. (см. [2], [3], [4], [8], [9])

 

В Главе II изучаются представления *-алгебры P2

 

P2 = С < p1, p2 | p12 = p1* = p1, p22 = p2* = p2 >,

 

порожденной двумя самосопряженными идемпотентами, то есть проекторами (см., например, [12]). Найдены все неприводимые *-представления *-алгебры P2, с точностью до эквивалентности., доказаны соответствующие спектральные теоремы.

 

В §1 рассматриваются только конечномерные *-представления р  в унитарном пространстве Н. Описаны  все неприводимые и неэквивалентные *-представления *-алгебры P2 . Неприводимые *-представления P2 одномерны и двумерны:

 

4 одномерных: р0,0(p1) = 0, р0,0(p2) = 0; р0,1(p1) = 0, р0,1(p2) = 1;

 

р1,0(p1) = 1, р1,0(p2) = 0; р1,1(p1) = 1, р1,1(p2) = 1.

 

И двумерные: , ф  (0, 1).

 

Доказана спектральная теорема  о разложении пространства Н в  ортогональную сумму инвариантных относительно р подпространств Н, а  также получено разложение р на неприводимые *-представления. Результаты §1 относятся  к математическому фольклору.

 

В §2 получены основные результаты работы. Для пары проекторов в сепарабельном  гильбертовом пространстве Н приведено  описание всех неприводимых представлений, доказана спектральная теорема.

 

В Главе III спектральная теорема для пары проекторов Р1, Р2, применяется к изучению сумм Р1+Р2, аР1+bР2 (0 < a < b). Получены необходимое и достаточное условие на самосопряженный оператор А для того чтобы А = Р1+Р2 или А = аР1+bР2, 0 < a < b, (этот частный случай задачи Г.Вейля (1912 г.) о спектре суммы пары самосопряженных операторов).

 

Глава I. Основные понятия и определения

 

§ 1. - алгебры

 

1.1. Определение - алгебры.

 

Определение 1.1. Совокупность А элементов x, y, … называется алгеб-

рой, если:

 

1) А есть линейное пространство;

 

2) в А введена операция  умножения (вообще некоммутативного), удовлет-

воряющая следующим условиям:

 

б (x y) = (б x) y,

 

x (б y) = б (x y),

 

(x y) z = x (y z),

 

(x + y) = xz +xy,

 

x (y + z) = xy + xz для любых x, y, z А и любых чисел б.

 

Два элемента x, y алгебры А называются перестановочными, если xy = yx. Алгебра А называется коммутативной, если все ее элементы попарно пере-

становочны.

 

Определение 1.2. Пусть А - алгебра  над полем С комплексных чисел. Инволюцией в А называется такое  отображение x ? x* алгебры А в А, что

 

(i) (x*)* = x;

 

(ii) (x + y)* = x* + y*;

 

(iii) (б x)* =  x*;

 

(iv) (x y)* = y*x*  для любых x, y С.

 

Алгебра над С, снабженная инволюцией, называется инволютивной алгеброй или *- алгеброй. Элемент х* называют сопряженным к х. Подмножество А, сохраняющееся при инволюции, называется само-

сопряженным.

 

Из свойства (i) следует, что инволюция в А необходимо является биекцией А на А.

 

1.2. Примеры

 

1) На А = С отображение  z ? (комплексное число, сопряженное к z) есть инволюция, превращающая С в коммутативную *- алгебру.

 

2) Пусть Т - локально  компактное пространство, А = С(Т) - алгебра непре-

рывных комплексных функций  на Т, стремящихся к нулю на бесконечности (то есть для любого е > 0 множество {tT: |f (t)| е} компактно, f (t) А. Снабжая А отображением f? получаем коммутативную *- алгебру. Если Т сводится к одной точке, то возвращаемся к примеру 1).

 

3) Пусть Н - гильбертово  пространство. А = L(H) - алгебра ограниченных линейных операторов в Н. Зададим инволюцию как переход к сопряженному оператору. Тогда А - *- алгебра.

 

4) Обозначим через К(Н)  совокупность всех компактных  операторов в гильбертовом пространстве  Н; операции сложения, умножения  на число и умножения определим  как соответствующие действия  с операторами. Тогда К(Н) будет  *- алгеброй, если ввести инволюцию  А?А* (АК(Н)). Алгебра К(Н) в случае  бесконечного Н есть алгебра  без единицы. Действительно, если  единичный оператор I принадлежит К(Н), то он переводит открытый единичный шар S H в себя. Значит I не может быть компактным оператором.

 

5) Обозначим через W совокупность всех абсолютно сходящихся рядов .

 

Алгебра W есть *- алгебра, если положить . ()

 

1.3. Алгебры с единицей

 

Определение 1.3. Алгебра А  называется алгеброй с единицей, если А содержит элемент е, удовлетворяющий  условию

 

ех = хе = х для всех хА (1.1.)

 

Элемент е называют единицей алгебры А.

 

Теорема 1.1. Алгебра А не может иметь больше одной единицы.

 

Доказательство. Действительно, если еґ - также единица в А, то

 

еґх = хеґ = х, для всех хА (1.2.)

 

Полагая в (1.1.) х = еґ, а в (1.2.) х = е, получим:

 

ееґ = еґе = еґ и еґе = ееґ =е, следовательно еґ = е.

 

Теорема 1.2. Всякую алгебру  А без единицы можно рассматривать  как подалгебру некоторой алгебры  Аґ с единицей.

 

Доказательство. Искомая  алгебра должна содержать все  суммы хґ=бе + х, хА; с другой стороны, совокупность всех таких сумм образует алгебру Аґ, в которой основные операции определяются формулами:

 

в(бе + х) = вбе + вх, (б1е + х1) + (б2е + х2) = (б1 + б2)е + (х1 + х2),

 

(б1 е + х1)(б2 е+ х2 )=б1  б2 е +б1 х2 +б2 х1 + х1 х2 (1.3.)

 

Каждый элемент хґ из Аґ представляется единственным образом  в виде

 

хґ = бе + х, хА, так как по условию А не содержит единицы. Поэтому  Аґ можно реализовать как совокупность всех формальных сумм хґ = бе + х, хА, в  которой основные операции определяются формулами (1.3.); сама алгебра А получится  при б = 0.

 

Алгебру Аґ можно также  реализовать как совокупность всех пар (б, х), хА, в которой основные операции определяются по формулам:

 

в (б, х) = (вб, вх), (б1, х1) + (б2, х2) = (б1 + б2, х1 + х2),

 

(б1, х1)(б2, х2) = (б1б2, б1х2 + б2  х1 + х1х2),  (1.4.)

 

аналогично тому, как определяются комплексные числа. Саму алгебру  А можно тогда рассматривать  как совокупность всех пар (0, х), хА и  не делать различия между х и (0, х). Полагая е = (0, х), мы получим:

 

(б, х) = б(1, 0) + (0, х) = бе + х,

 

так что вторая реализация алгебры Аґ равносильна первой.

 

Переход от А к Аґ называется присоединением единицы.

 

Определение 1.4. Элемент y называется левым обратным элемента х, если xy = e. Элемент z называется правым обратным элемента х, если xz = e.

 

Если элемент х имеет  и левый, и правый обратные, то все  левые и правые обратные элемента х совпадают. Действительно, умножая  обе части равенства yx = e справа на z, получим

 

z = (yx)z = y(xz) = ye,

 

В этом случае говорят, что  существует обратный х-1 элемента х.

 

1.4. Простейшие свойства - алгебр

 

Определение 1.5. Элемент х *-алгебры А называется эрмитовым  или самосопряженным, если х* = х, нормальным, если хх* = х*х. Идемпотентный эрмитов  элемент называется проектором. Элемент  алгебры называется идемпотентным, если все его (натуральные) степени  совпадают.

 

Каждый эрмитов элемент  нормален. Множество эрмитовых элементов  есть вещественное векторное подпространство  А. Если х и y эрмитовы, то (xy)*= y*x* = yx; следовательно, xy эрмитов, если x и y перестановочны. Для каждого хА элементы хх* и х*х эрмитовы. Но, вообще говоря, эрмитов элемент не всегда представим в этом виде, как показывает пример 1 из пункта 1.2. Действительно, для любого zC , но если z действительно отрицательное число, то его нельзя представить в виде .

 

Теорема 1.3. Всякий элемент  х *-алгебры А можно представить, и притом единственным образом, в  виде х = х1 +iх2, где х1, х2 - эрмитовы элементы.

 

Доказательство. Если такое  представление имеет место, то х* = х1 +iх2, следовательно:

 

, (1.5.)

 

Таким образом, это представление  единственно. Обратно, элементы х1, х2, определенные равенством (1.5.), эрмитовы и х = х1 +iх2.

 

Эти элементы х1, х2 называются эрмитовыми компонентами элемента х.

 

Заметим, что хх* = х12 + х22 + i(х2х1 - х1х2),

 

хх* = х12 + х22 - i(х2х1 - х1х2)

 

так что х нормален тогда  и только тогда, когда х1 и х2 перестановочны.

 

Так как е*е = е* есть эрмитов  элемент, то е* = е , то есть единица эрмитов  элемент.

 

Если А - *-алгебра без  единицы, а Аґ - алгебра, полученная из А присоединением единицы, то, положив  при хА, мы определим инволюцию  в Аґ, удовлетворяющую всем требованиям  определения 2. Так что Аґ станет *-алгеброй. Говорят, что Аґ есть *-алгебра, полученная из А присоединением единицы.

 

Теорема 1.4. Если х-1 существует, то (х*)-1 также существует и