Алгебры и их применение

пировав рi , получаем, что р = н1…..нm, где каждое нi есть кратное сiнiґ неприводимого представления нiґ, и нiґ попарно эквивалентны. Если с - неприводимое представление р, то предыдущее рассуждение показывает, что соответствующее инвариантное подпространство Нґ ортогонально всем инвариантным подпространствам Нi, отвечающих нi, кроме одного. Поэтому Нґ содержится в одном из Нi. Это доказывает, что каждое пространство Нi определяется однозначно: Нi - это подпространство Н, порожденное пространствами подпредставлений р, эквивалентных нiґ. Таким образом, доказано предложение.

 

Теорема 2.8. В разложении р = с1н1ґ…..сmнmґ представления р, (где н1ґ,…, нmґ неприводимы и неэквивалентны) целые числа сi и классы представлений нiґ определяются единственным образом, как и пространства представлений.

 

2.5. Интегрирование и дезинтегрирование  представлений. Напомним определение  борелевского пространства.

 

Определение 2.7. Борелевским  пространством называется множество  Т, снабженное множеством В подмножеств  Т, обладающим следующими свойствами: ТВ, ШВ, В инвариантно относительно счетного объединения, счетного пересечения  и перехода к дополнению.

 

Определение 2.8. Пусть Т1, Т2 - борелевские пространства. Отображение  f: Т1?Т2 называется борелевским, если полный прообраз относительно f любого множества в Т2 есть борелевское множество в Т1.

 

Дадим несколько вспомогательных  определений и утверждений.

 

Пусть Т - борелевское пространство и м - положительная мера на Т.

 

Определение 2.9. м - измеримое  поле гильбертовых пространств на Т  есть пара е = ((H(t))tT, Г), где (H(t))tT - семейство гильбертовых пространств, индексы которых пробегают Т, а Г - множество векторных полей, удовлетворяющее следующим условиям:

 

(i) Г - векторное подпространство Н(t);

 

(ii) существует последовательность (х1, х2,…) элементов Г таких, что для любого tT элементы хn(t) образуют последовательность H(t);

 

(iii) для любого хГ функция t?||x(t)|| м - измерима;

 

(iv) пусть х - векторное поле; если для любого yГ функция t?(x(t), y(t)) м - измерима, то хГ.

Пусть е = ((H(t))tT, Г) м - измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Векторное поле х называется полем с интегрируемым квадратом, если хГ и ||x(t)||2 dм(t) < +8.

 

Если х, y - с интегрируемым квадратом, то х+y и лх (лС) - тоже и функция t ?(x(t), y(t)) интегрируема; положим

 

(x, y) = (x(t), y(t)) dм(t)

 

Тогда векторные поля с  интегрируемым квадратом образуют гильбертово пространство Н, называемое прямым интегралом Н(t) и обозначаемое x(t)dм(t).

 

Определение 2.10. Пусть е = ((H(t))tT, Г) - измеримое поле гильбер-

товых пространств на Т. Пусть  для любого tT определен оператор S(t)L(H(t)). Если для любого хT поле t?S(t)x(t) измеримо, то t?S(t) называется измеримым операторным полем.

 

Пусть Т - борелевское пространство, м - положительная мера на Т, t?Н(t) - м - измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Пусть для каждого tT задано представление р(t) *-алгебры А в Н(t): говорят, что t?р(t) есть поле представлений А.

 

Определение 2.11. Поле представлений  t?р(t) называется измеримым, если для каждого хА поле операторов t?р(t)х измеримо.

 

Если поле представлений  t?р(t) измеримо, то для каждого хА можно образовать непрерывный оператор р(х)=р(t) (x) dм(t) в гильбертовом прост-

ранстве Н =Н(t) dм(t).

 

Теорема 2.9. Отображение х>р(х) есть представление А в Н.

 

Доказательство. Для любых  х, yА имеем

 

р(х+y) = р(t) (x+y) dм(t) = (р(t) (x) + р(t) (y)) dм(t) =р(t) (x )dм(t) +

 

+р(t) (y) dм(t) = р(х) +р(y)

 

Аналогично р(лх) = лр(х), р(хy) = р(х) р(y), р(х*)=р(х)*

 

Определение 2.12. В предыдущих обозначениях р называется прямым интегралом р(t) и обозначается р =р(t) dм(t).

 

Определение 2.13. Операторное  поле t>ц(t)I(t)L(H(t)) где I(t)-единичный оператор в H(t), называется диагональным оператором в Н=Н(t)dм(t).

 

Пусть е = ((H(t))tT, Г) - м-измеримое поле гильбертовых пространств на Т, м1 - мера на Т, эквивалентная м (то есть каждая из мер м1, м абсолютно непрерывна по другой), и с(t)=. Тогда отображение, которое каждому хН==Н(t)dм(t) составляет поле t>с(t)-1/2х(t)Н1=Н(t) dм1(t),

 

есть изометрический изоморфизм Н на Н1, называемый каноническим.

 

Действительно,

 

||с(t)-1/2х(t)dм1(t)||2 = ||х(t)||2с(t)-1 dм1(t) = ||х(t)||2dм1(t) = ||х(t)||2

 

Теорема 2.10. Пусть Т - борелевское  пространство, м - мера на Т, t?Н(t) - измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t?р(t) - измеримое поле представлений А в Н(t),

 

Н =Н(t) dм(t) , р1==р(t )dм(t),

 

Д - алгебра диагональных операторов в Н. Пусть м1 - мера на Т, эквивалентная м,

 

Н1 =Н(t) dм1(t) , р1 =р(t) dм1(t),

 

Д1 - алгебра диагональных операторов в Н1. Тогда канонический изоморфизм преобразует р в р1 и Д в Д1.

 

Доказательство. Пусть с(t)=. Канонический изоморфизм из Н в Н1 есть изометрический изоморфизм, который переводит х =x(t) dм(t)Н в

 

Ux = с-1/2х(t) dм1(t).

 

Пусть б А. Имеем

 

р1(б)Ux = р(t)(б) с-1/2 х(t) dм1(t) = Uр(t)(б) х(t) dм(t) = Uр(б)x,