Аналітична геометрія

Аналітична геометрія

 Алгебраїчне трактування питань геометрії підготовила грунт для створення аналітичної геометрії , предметом якої является вже не тільки знаходження окремих відрізків , які виражаються коренями рівнянь з одним невідомим , а й вивчення властивостей різних геометричних образів , насамперед алгебраїчних ліній і поверхонь , які виражаються рівняннями з двома або більше невідомими або координатами .

Координати з'явилися  ще в давнину , притому в різних формах , між собою безпосередньо  не пов'язаних . З одного боку , це були географічні координати , іменувалися  довготою і широтою , причому положення  пунктів земної по ¬ верхні , зображеної у вигляді прямокутника , характеризувалося  парою чисел . Подібними були астрономічні координати , що служили для визначення положення світил на небесній сфері. Інший вид координат представляли собою відрізки , залежності між якими , так звані симптоми  , виражали визначальні властивості цих кривих. У цьому випадку мова йшла не про числові координати будь-яких точок з відліком від фіксованого меридіана і паралелі , а про відрізки діаметрів і хорд , пов'язаних з точками розглянутої фігури.

Своєрідним різновидом координат  були відрізки широт і довготи в теорії зміни форм Орема . Тут не було ні числових координат будь-яких точок , ні « симптомів » , виражених засобами геометричної алгебри ; словесно сформульована залежність між широтою і довготою форми зображувалася плоскою лінією.

Частина координатних відрізків давньогрецької геометрії стали відомі в Європі по арабським творам , але головним чином за працями Архімеда і особливо Аполлонія . Паралельні хорди або полухорди , спряжені деяким діаметром , Аполлоній називав , якщо перекласти з грецької, « по порядку проведеними лініями » , а відрізки цього діаметра від його кінця до хорди - « відсіченими на діаметрі по порядку проведеними ( лініями) » ( на рис. 6 відповідно у і x ) .

У своєму латинському виданні  « Конічних перетинів» (Венеція , 1566 ) Федоріго Коммандіно перше вираження передав поняттям  ordinatim applicatae , тобто « по порядку докладені » (тобто спрямовані )* , а другі- quae ab ipsis ex diametro ad verticem abscinduntur , тобто « які відсікаються ними по діаметрі від вершини» . Звідси беруть початок терміни abscissa , тобто « відсічена » , ordinata і applicata , які , втім , укоренились не відразу. Слово « абсциса » , яка зустрічалась в сенсі відрізка у різних авторів , наприклад Кавальерп ( 1635), стає технічним терміном координатної геометрії в 1668 р. у Мікеланджело Річчі ( 1619-1692 ) i особливо в Лейбніца , починаючи з рукописів 1673 Ферма і Декарт у своїх основоположних творах по аналітичної геомет рії (1636-1637 ; писали ще про « відрізки  діаметра ». Слово « ордината » в нашому сенсі застосовував інший перекладач на  латину « Конічних се чений » - Франческо Мавроліко . Ферма користувався терміном applica ta , Декарт - appliquee par ordre , тобто французьким перекладом ordinatim applicata , але також (у листі 1638 ) словом ordonnee , яке неза довго перед тим в 1637 р. вжив у своєму курсі П. Ерігон (у латин ¬ ському тексті 1644г. - ordinata ) ; потім ним став регулярно користуватися Лейбніц .

У середині XVIII ст. слово «  ордината » починає витісняти в геометрії на площині слово « аппликата ». Обидві координати спочатку називалися невідомими величинами , як у Ферма , або невизначеними , як у Декарта ; слово « координати » ввів у 1692 р. Лейбніц , маючи на увазі вже будь-які криволінійні координати . Але ще й пізніше поняття про координати пов'язувалося з відрізками діаметрів і хордами плоских кривих. Так, наприклад в статтях « Abscissa , die Abscisse » і « Ordinatae , ordinatim applicatae , die Ordinaten » « Математичного словника» ( Mathematisches Lexicon , Leipzig , 1716 ) Xp . Вольфа ( пор. стор 35).

Термін « вісь» , який у  Аполлонія використовувався до взаємно перпендикулярних діаметрів, ужив в більш широкому сенсі І. Барроу ( 1670 ) . Позначення початкової точки буквою О перегукується з її найменуванням origine - «початок» , даному Ф. Лагіром в 1679 р.; двадцять років раніше Я. де Вітт писав про initium immutabile , нерухомому початку . Декарт ще говорив про точку , з якої починаються обчислення. Повернемося від історії термінології до історії геометричних методів та ідей.

 

Аналітична геометрія  Ферма

До розробки початків нової  аналітичної геометрії незалежно  один від одного і одночасно приступили обидва найбільших французькі  математики XVII ст. - Ферма і Декарт. Невеликеий«Вступ до вивчення плоских і тілесних місць» (Ad locos pianos et solidos isagoge) Ферма було написано трохи раніше -1637, але за життя Ферма поширювалося через Мерсепна та інших тільки в рукописному вигляді. Нагадаємо, що «плоскі і тілесні місця» - терміни грецької геометрії - означали прямі та кола і відповідно еліпси, параболи і гіперболи. Робота написана в позначеннях Вієта з дотриманням однорідності рівнянь.

*Ще в перекладі арабського  трактату Ібн ал-Хайсама про  параболічних дзеркалах, зробленому  в XII ст., Вживається поняття linea secunduin ordinem, тобто «лінія по порядку». Н. Орезмський в середині XIV ст. писав про перпендикулярно прикладених відрізках - perpendiculariter applicatae.

Ферма формулює принцип аналітичної  геометрії таким чином: «Щоразу, коли в заключному рівнянні є дві  невідомі величини (quantitates ignotae), і кінець однієї з них описує пряму або ж криву лінію ... Для складання рівнянь зручно розташувати обидві невідомі величини під деяким заданим кутом (який ми здебільшого приймаємо прямим) і задати положення і кінець однієї з величин ». Як ми бачимо, під невідомими величинами (координатами) Ферма розуміє прямолінійні відрізки: першу з них він щоразу позначає NZ і алгебраїчною буквою А,а другу – ZI і відповідно Е

Потім по порядку розглядаються  різні плоскі і тілесні місця.

Рівняння прямої, що проходить  через початкову точку, Ферма  виводить у формі

D на А рівно В на А

Тобто . dx = by (на рис. 7 нанесена лише частина прямої NI, оскільки Ферма користується додатніми координатами). До цієї нагоди наводиться загальне рівняння першого ступеня (із зазначеним обмеженням) і кілька однорідних рівнянь другого ступеня, причому тут йдеться лише про одну з двох можливих прямих. Перше приведення сутнісно со ¬ стоїть у перетворенні координат, саме у паралельному зсуві вздовж горизонтальній осі: від рівняння виду с - dx = by Ферма приходить до d (r - х) = by, где dr = с. Ідею перетворення координат шляхом параллельного перенесення системи Ферма більш чітко висловлює в прикладах: встановивши спочатку, що в прямокутній системі рівняння кола з центром у початковій точці є b² - x² = у²   він правильно характеризує загальне рівняння кола і для зразка перетворює до основної форми рівняння

b² - 2dx = у² + 2rу.

Для цього він виробляє доповнення до квадрата

p¹ - (х + d)² = (у + r)², где р² = r² + b² + d²,

потім пише знову x замість x + d і y замість у + r і отримує

p² - x² = у².

Слід зауважити все  ж, що Ферма обходить мовчанням питання  про відємні координати, якими  виявляються координати центру (- d,-r) в даній задачі (бо d і r в нього  позитивні). Зрозуміло, побудувати центр для нього не становило праці і в цьому випадку.

Основні рівняння конічних перетинів являють собою у  Ферма безпосереднє вираження в  термінах алгебри їх властивостей, відомих з праці Аполлоіня. Для  параболи це рівняння x² = dy и симметричное у² = dx, для эллипса (b² - x²)/y² = const (вказується, що у разі непрямого координатного кута крива буде еліпсом і при const = 1), для гиперболы (b² + x²)/y² = const. Цікаво, що на малюнку в останньому випадку зображені обидві гілки гіперболи, хоча знов-таки про негативні координатах нічого не сказано. Крім того, наводиться рівняння рівносторонній гіперболи ху = с. Все це поширюється на відповідні рівняння, доповнені лінійними членами.

На приватному прикладі рівняння b² - 2x² = 2xy + у²  Ферма розбирає і найбільш важкий випадок, коли група старших членів містить і член з твором координат. Його викладки та побудови відповідають пе ¬ реходу до нової системи координат X, Y з колишнім початком і віссю ординар ¬ нат і з віссю абсцис, що утворює кут 45 ° зі старою. У цій системі Х = х, Y = x + у так що (2b² — X²)/Y² = 2 і фігура є еліпсом. Виклавши все це , Ферма писав: «Таким чином ми коротко і ясно виклали все, що залишили нез'ясованим древні щодо пласких і тілесних місць». Насправді було зроблено лише перший крок до створення ¬ ню нового типу геометрії , яка , між іншим , отримала своє ни ¬ нинішні найменування лише в самому кінці XVIII в .

Аналітична геометрія  Декарта

« Вступ» Ферма , довгий час залишався в рукописі , і не знайшов він того широкого розповсюдження , яке отримала « Геометрія» Декарта , видана в 1637 р. Про вплив «Вступу» на Декарта не може бути мови

Виклад аналітичної геометрії  у Декарта багато в чому відрізняється  від даного Ферма. В одному воно поступається , бо розкидано по всіх трьох книг « Геометрія » і навіть у  другій з них , яка містить найбільш важливі елементи нової дисципліни , не має систематичного характеру , як у «Вступі». Але в інших відносинах геометрія Декарта мала вирішальні переваги . Не кажучи вже про те , що Декарт застосовував більш розвинену символіку , що його виклад був доступнішими і багатше прикладами , він висунув кілька загальних ідей і пропозицій , вельми істотних для подальшого .

Один з основних питань для Декарта полягав у наступному : які лінії служать предметом  геометрії ? Відповідь визначався вірою Декарта в те, що єдиним загальним методом математики є алгебраїчний. Спочатку цей відповідь формулюється в кінематичних поняттях:

геометричні лінії - це ті, які «описані неперервним рухом або ж декількома такими послідовними рухами. Причому наступні цілком визначаються попередніми - бо цим шляхом завжди можна точно дізнатися їх міру ». Навпаки, з геометрії, тобто власне загальної математики, виключаються механічні лінії, описувані «двома окремими рухами, між якими й не існує ніякого відношення, яке можна було б точно виміряти». Приклади механічних ліній-спіраль і квадратріса: як приклад геометричних наводяться криві, що описуються деяким шарнірним механізмом, число ланок якого можна невизначено збільшувати. Цей механізм,( за ідеєю подібний смезолабієм запропонованим Ератосфеном у III ст. до н. е.. для побудови двох середніх пропорційних,) Декарт винайшов між 1619 і 1621 рр..: у третій частині «Геометрії» показано, як можна з його допомогою будувати будь-яке число середніх пропорційних між двома даними відрізками

а : x₁ = x₁ : x₂ = x₂ : х₃ = ... = x_n : b.

Рівняння  ліній описаних цим прибором

r² (x² + у²)^2n-1 = x⁴ⁿ   (n = 0,1, 2,...)

Декарт не привів ні до загального вигляду , ні для окремих значень n.

Кінематичний вигляд ліній було відправним пунктом геометрії Декарта і застосовувався в неї неодноразово . Звичайно , дана при цьому кінематична характеристика геометричних ліній як кривих , описуваних одним або кількома безперервними рухами , не цілком виразна , так само як і заява , що для проведення всіх таких ліній « потрібно тільки те припущення , що дві або кілька ліній можна переміщати вздовж один одного і що їх перетин утворює інші лінії ». Але в цих твердженнях , по суті справи , Декарт передбачив важливу теорему англійського вченого А. Кемпі ( 1876) , відповідно якої за допомогою плоских шарнірних механізмів можна описати дуги будь-яких алгебраїчних кривих і не можна описати жодної трансцендентної . Свій кінематичний спосіб розподілу ліній на геометричні та механічні Декарт негайно наділяє в більш ясну аналітичну форму і тут же пропонує класифікацію перших . « Всі точки ліній , - пише він , - які можна назвати геометричними , тобто які підходять під яку-небудь точну і певну міру , обов’язково знаходяться в деякому відношенні до всіх точок прямої лінії , що може бути виражено деяким рівнянням , одним і тим же для всіх точок даної лінії ». У цьому воістину чудовому за глибиною місці свого твору Декарт вводить і метод прямолінійних координат і поняття про зрівняння кривої , а разом з тим поняття про функції як про аналітичний вираз , складений з « невизначених » відрізків x і у. Декарт пояснив, як описувати криву або , вірніше , будувати будь-яке число її точок, обчислюючи значення х за даними значенням у, - першою координатою у нього служила у.

У 1684 р. Лейбніц назвав геометричні  криві Декарта алгебраїчними, а механічні - трансцендентними, мотивуючи відмову від термінологіі Декарта тим, що і механічні лінії не підлягають виключенню з геометрії.

Безпосередньо за викладеними  загальними міркуваннями Декарт наводить першу загальну класифікацію алгебраїчних кривих в залежності від ступеня їх рівнянь, віднісши до роду n криві з рівняннями ступеня 2n - 1 і 2n. Класифікація потрібна передусім для всезагальної математики Декарта а також була потрібна в аналітичній геометрії. Запропоноване Декартом поділ кривих за родами, себе не виправдало, мотивувалося тим, що, на його думку, криві з рівнянням ступеня 2n взагалі не складніші ніж з рівнянням ступеня 2n - 1. Всі труднощі, пов'язані з четвертої ступенем, писав він, приводяться до третьої, а труднощі, пов'язані з шостої ступенем, - до п'ятої і т. д. Загальноприйнятою класифікацією плоских кривих по порядку ми зобов'язані Ньютону.

Термін «аналітична геометрія» в застосуванні вживався в XVIII в. не раз. У більш спеціальному сенсі. співпадаючому із загальноприйнятими в XIX ст., його почав застосовувати С. Ф. Лакруа, а перша книга, має назву «Начала аналітичної геометрії» (Elements de geome ¬ tric analytique. Paris, 1801), опублікував професор Політехнічної школи Ж. Г. Гарньє (1766-1840).

Але класифікація кривих в  прямолінійних координатах за родами або порядкам має сенс , якщо рід  або порядок кривої не залежить від  вибору координатної системи . Це було Декарту ясно , і він , правда мимоходом , але цілком виразно , сформулював фундаментальне пропозицію про інваріантність роду кривої при заміні однієї системи прямолінійних координат іншою: «Дійсно , хоча б для отримання більш короткого і зручного рівняння і потрібен вельми ретельний вибір , але все ж , яку б пряму і точку не взяли, завжди можна зробити так , щоб лінія виявилася того ж самого роду : це легко довести ». Втім , доказ не наводиться , та й формули лінійного перетворення координат у Декарта ще були відсутні .

В якості першого прикладу Декарт виводить рівняння лінії ЕС , описаної точкою перетину лінійки GL й невизначено продовженої сторони CNK плоскою прямолінійною фігури NKL , сторона якої KL рухається вздовж даної прямої ВА , змушуючи обертатися навколо точки G лінійку , незмінно проходить при цьому через точку L. Прийнявши GA , перпендикуляр до ВА , рівним а , KL = b , NL = с, вибравши АВ за вісь х і точку А за початок , Декарт позначає « невизначені і невідомі  величини » СВ = у, ВА = х . Тоді на підставі подібності трикутників СВК і NLK , з одного боку , і CBL і GAL - з іншого , швидко виводиться рівняння лінії ECG

уу = су -

ху + ау -  ас,

так що ця лінія першого  роду і, як вказує без доведення Декарт, гіпербола (приклад цей докладно розібрали коментатори латинського видання «Геометрія»).