Аналітична геометрія Лобачевського

 

 

ПЛАН

ВСТУП…………………………………………………………………………………………………………3

Глава I. Історія виникнення неевклідової геометрії………………………………...4-9

1. Біографія Миколи Івановича Лобачевського…………………………4-5
2. Історія створення геометрії Лобачевського…………………………..6-8
3. Постулати паралельності Евкліда і Лобачевского…………………....8-9

Глава II. Аналітична геометрія площини М.І.Лобачевського…………….....9-22

2.1. Основні поняття…………………………………………………………………………………...9-12

2.2. Несуперечність геометрії  Лобачевского…………………………………………….12-13

2.3. Аксіома Лобачевского . паралельні прямі по Лобачевскому…….…….13-16

2.4. Теорема про існування  паралельних прямих...………………………...........16-20

2.5. Трикутники і чотирикутники на площині Лобачевского…………….…..20-22

Глава III. Моделі геометрії Лобачевського…………………………………………….…22-32

3.1. Модель (інтерпретація) Бельтрами. ……………………………………………………22-24

3.2. Модель Келі - Клейна площині Лобачевського……………………..…….…..24-28

3.3. Моделі Пуанкаре……………………………………………………………………………......28-32

Глава IV. Практичне застосування геометрії Лобачевского…………….….…33-35

4.1. Теорема Піфагора………………………………………………………………………………..33

4.2. Зауваження до теореми Піфагора…………………………………………………….….34

4.3. Площа трикутника……………………………………………………………………………….34-35

ВИСНОВОК………………………………………………………………………………………………..36-37

ЛІТЕРАТУРА………………………………………………………………………………………………38

 

 

 

 

 

 

ВСТУП

Відкриття того, що евклідова геометрія не є єдино можливою, зроблене на початку минулого століття Гауссом, Лобачевським і Больяи, вплинуло на світогляд людства, порівнянне з впливом таких великих відкриттів природничих наук, як геліоцентрична система Коперника або еволюційна теорія Дарвіна. Починаючи з кінця минулого століття неевклідова геометрія, поряд з евклідової, є одним з робочих інструментів математики, незважаючи на те що "простір, в якому ми живемо", в доступних нашому розумінню межах є скоріше евклідовим, ніж неевклідовим.

Якщо під неевклідової геометрією розуміти будь-яку геометрію, відмінну від евклідової, то мається неозоре безліч таких геометрій. Було б важко сказати що-небудь про всіх них відразу. У даній роботі під терміном «неевклідова геометрія» мається на увазі геометрія Лобачевського або двоїста їй сферична геометрія. Серед геометрій, в яких є поняття відстані між точками, ці дві геометрії разом з евклідової геометрією займають особливе положення. Їх можна охарактеризувати як геометрії максимальної рухливості або геометрії постійної кривизни, вони є у відомому сенсі найбільш досконалими.

Наприкінці минулого століття в роботах Пуанкаре і Клейна була встановлена ​​пряма зв'язок геометрії Лобачевського з теорією функцій комплексної змінної і з теорією чисел. З тих пір апарат геометрії Лобачевського став невід'ємним компонентом цих розділів математики.  
Метою даної роботи є геометрія Лобачевського. У курсовій роботі розглядаються основні поняття геометрії Лобачевського, наводяться деякі приклади теорем неевклідової геометрії і показуються різні додатки геометрії Лобачевського. Особлива увага приділяється моделям (інтерпретаціям) даної геометрії, детально розглянуті моделі Бельтрамі, Келі-Клейна, Пуанкаре.

 

 

 

Глава I. Історія виникнення неевклідової геометрії.

1. Біографія Миколи Івановича Лобачевського

Народився 1 грудня 1792 р. в Нижньому Новгороді. Батько помер, коли хлопчикові виповнилося сім років, і мати разом з трьома синами переїхала в Казань.

Лобачевский закінчив Казанський університет. У 1814 р. він приступив до читання лекцій з теорії чисел, а в 1827 р., вже будучи професором, був обраний в ректори і обіймав цю посаду впродовж 19 років.

Гучна слава Лобачевского грунтована на його геометричних дослідженнях. До 1826 р. він визначив розроблену ним систему як "уявну геометрію" на відміну від "споживаної", Евкліда.

Відкриття Лобачевского було уперше стисле викладено в лютому 1826 р. на засіданні відділення фізико-математичних наук і потім представлено в статті "Нові начала геометрії з повною теорією паралельних"("Вчені записки Казанського університету", 1835 р.).

Європейські учені дізналися про роботи Лобачевского лише в 1840 р., і вже в 1842 р. він був обраний членом-кореспондентом Геттингенського наукового товариства.

Лобачевскому належить також ряд робіт по математичному аналізу. Він дав загальне визначення функціональній залежності. У алгебрі відомий його метод наближеного рішення рівнянь будь-якої міри; учений першим в Росії опублікував курс вищої алгебри.

У Казанському університеті Лобачевский читав лекції з астрономії і проводив астрономічні спостереження. Завдяки його ентузіазму при університеті була побудована нова обсерваторія, одна з кращих по тому часу. Вона почала працювати в 1838 р., на рік раніше Пулковської(нині Головна астрономічна обсерваторія РАН, біля Петербургу).

Помер 24 лютого 1856 р. в Казані.

У 1883-1886 рр. Казанський університет видав "Повне зібрання творів по геометрії Лобачевского".

У 1893 р. на честь століття з дня народження Лобачевского йому спорудили пам'ятник в Казані на зібрані по міжнародній підписці кошти. У 1895 р. Казанське фізико-математичне суспільство заснувало премію імені Лобачевского за видатні роботи в області геометрії. Цю нагороду понині присуджує Російська академія наук.

2. Історія створення геометрії Лобачевського.

У розвитку Геометрія можна вказати чотири основних періоди, переходи між якими позначали якісна зміна геометрії.

Перший - період зародження геометрії як математичної науки - протікав у Стародавньому Єгипті, Вавилоні та Греції приблизно до 5 в. до н. е.. Первинні геометричні відомості з'являються на самих ранніх ступенях розвитку суспільства. Зачатками науки слід вважати встановлення перших загальних закономірностей, у даному випадку - залежностей між геометричними величинами.

Другий період розвитку геометрії пов'язаний із становленням геометрії в самостійну математичну науку: з'явилися систематичні її викладу, де її пропозиції послідовно доводили. Відомі згадки про систематичному викладі геометрії. Збереглися і що з'явилися близько 300 р. до н. е.. «Начала» Евкліда.

Третій період виділяють з 1-ої половини XVIIв Р. Декарт, який ввів в геометрію метод координат. Метод координат дозволив зв'язати геометрію з розвивалася тоді алгеброю і що зароджується аналізом. Застосування методів цих наук у геометрії породило аналітичну геометрію, а потім і диференціальну.

Четвертий період у розвитку геометрії відкривається побудовою Н. І. Лобачевським в 1826 нової, неевклідової геометрії, званої тепер геометрією Лобачевського.

23 лютого 1826 російський математик Микола Іванович Лобачевський (1792-1856р) на засіданні фізико-математичного факультету Казанського університету проголосив про створення нової геометрії, названої ним «уявною геометрією». Ця геометрія була заснована на тих же традиційних постулатах і аксіомах геометрії, як і у Евкліда (330-275 р. до н. е..), але з заміною його п'ятого постулату про паралельні: «на площині через точку, взяту поза даною прямою, можна провести одну і тільки одну пряму, паралельну даній прямій, а всі інші прямі, що проходять через цю точку, перетинаються з даною прямою », на новий п'ятий постулат про паралельні:« на площині через точку, взяту поза даною прямою, можна провести дві і тільки дві прямі, паралельні даній, а також нескінченна безліч прямих, що не перетинаються з даною прямою і їй не паралельні, і нескінченна безліч прямих, які перетинаються з даною прямою ».

Незалежно від Лобачевського до таких ідей прийшов угорський математик Янош Больяи (1802-1860р), який опублікував свою роботу на три роки пізніше Лобачевського (1832) і видатний німецький математик Карл Фрідріх Гаус (1777-1855р), у якого після його смерті були знайдені окремі неопубліковані начерки початкових положень неевклідової геометрії.

Повне визнання і широке поширення геометрія Лобачевського отримала через 12 років після його смерті, коли стало зрозуміло, що наукова теорія, побудована на базі деякої системи аксіом (вихідних положень, прийнятих без доказу) вважається тільки тоді повністю завершеною, коли ця система аксіом задовольняє трьом умовам : незалежності, несуперечності і повноти.

Саме цим властивостям і задовольняє геометрія Лобачевського.

Остаточно це стало зрозуміло, коли в 1868 році італійський математик Еудженіо Бельтрамі (1835-1900р) у своєму мемуарі «Досвід тлумачення неевклідової геометрії» показав, що в евклідовому просторі R 3 на псевдосферіческіх поверхнях має місце геометрія шматка площині Лобачевського, якщо на них за прямі прийняти геодезичні лінії.

Далі німецький математик Фелікс Християн Клейн (1849-1925р) спираючись на дослідження Еудженіо Бельтрамі і французький математик Анрі Пуанкаре (1854-1912р) суворо довели несуперечливість неевклідової геометрії, побудувавши відповідні моделі площини Лобачевского.

Ілюмінація геометрії Лобачевського на поверхнях евклідова простори вирішальним чином сприяло загальному визнанню ідей Лобачевського.

Підсумком такого неевклідової підходу стало створення Георгом Фрідріхом Бернгардом Ріманом (1826-1866р) ріманової геометрії, розвинула математичне вчення про простір, поняття диференціала відстані між елементами різноманіття і вчення про кривизну. Введення узагальнених ріманових просторів, приватними випадками яких є простору Евкліда і Лобачевського і так званої геометрії Рімана, відкрило нові шляхи в розвитку геометрії і знайшли застосування у фізиці (теорія відносності) та інших розділах природознавства.

Геометрію Лобачевського називають також гіперболічної на тій підставі, що для опису математичних співвідношень даної геометрії були використані гіперболічні функції  
 
введені в XVIII столітті італійським математиком Вінцент Рікатті,

де -Число, введене Джоном Непером (1550-1617).

Таким чином, геометрія Лобачевського вивчає властивості «плоскості Лобачевського» (у планіметрії) і «простору Лобачевського» (у стереометрії). Площина Лобачевського - це площина (безліч точок), у якій визначені прямі лінії, а також рухи фігур (разом з тим - відстані, кути та ін), що підкоряються всім аксіомам евклідової геометрії, за винятком аксіоми про паралельних, яка замінюється вказаною вище аксіомою Лобачевського. Подібним чином визначається простір Лобачевського. Завдання з'ясування реального сенсу геометрії Лобачевського полягала в знаходженні моделей площині і простору Лобачевського, тобто в знаходженні таких об'єктів, в яких реалізувалися б відповідним чином витлумачені положення планіметрії і стереометрії геометрії Лобачевського. [1]

3. Постулати паралельності Евкліда і Лобачевского.

Основним пунктом, звідки починається розділення геометрії на звичайного Евкліда(споживану) і НеЕвкліда(уявну геометрію або "пангеометрию") являється, як відомо, постулат про паралельні лінії.

У основі звичайної геометрії лежить припущення, що через точку, що не лежить на цій прямій, можна провести в площині, визначуваною цією точкою і прямою, не більше за одну пряму, що не перетинає цю пряму.

Той факт, що через точку, що не лежить на цій прямій, проходить принаймні одна пряма, що не перетинає цю пряму, відноситься до "абсолютної геометрії", тобто може бути доведений без допомоги постулату про паралельні лінії.

Пряма ВВ, що проходить через Р під прямим кутом до перпендикуляра РQ, опущеного на АА1, не перетинає прямої АА1; ця пряма в геометрії Евкліда називається паралельною до АА1.

В протилежність постулату Евкліда, Лобачевский приймає в основу побудови теорії паралельних ліній наступну аксіому:

Через точку, що не лежить на цій прямій, можна провести в площині, визначуваною цією точкою і прямою, більше за одну пряму, що не перетинає цю пряму.

Звідси безпосередньо витікає існування нескінченно безлічі прямих, що проходять через одну і ту ж точку і не перетинають цю пряму.

Нехай пряма СС1 не перетинає АА1; тоді усі прямі, що проходять усередині двох вертикальних кутів ВРС і В1РС1, також не перетинаються з прямою АА1.

Глава II. Аналітична геометрія площини М.І.Лобачевського.

2.1. Основні поняття.

У евклідової геометрії згідно п'ятому постулату на площині через точку ^ Р, що лежить поза прямою А'А, проходить тільки одна пряма В'В, не яка перетинає А'А. Пряма В'В називається паралеллю до А'А. При цьому досить вимагати, щоб таких прямих проходило не більше однієї, так як існування непересічних прямій може бути доведено шляхом послідовного проведення прямих PQ A 'A і PB PQ. В геометрії Лобачевського аксіома паралельності вимагає, щоб через точку Р проходило більше однієї прямої, що не перетинає А 'А.  
 
Рис. 1

Непересічних прямі заповнюють частину пучка з вершиною ^ Р, що лежить всередині пари вертикальних кутів TPU і U 'PT', розташованих симетрично щодо перпендикуляра PQ. Прямі, що утворюють сторони вертикальних кутів, відокремлюють перетинають прямі від непересічних і самі є теж непересічні. Ці граничні прямі називаються паралелями в точці Р до прямої А'А відповідно в двох її напрямках: T 'Т паралельно А' А в напрямку A 'A, a UU' паралельно А 'А в напрямку А А'. Решта непересічних прямі називаються розбіжними прямими з А 'А.