Законы распределения вероятностей случайных величин

Глава III Законы распределения вероятностей случайных величин.

Введение

Закон, связывающий  возможные значения случайной величины с соответствующими этим значениям  вероятностями, называется законом распределения вероятностей случайных величин. Можно говорить также, что этот закон выражает распределение возможных значений случайной величины.

Случайные величины, встречающиеся в задачах  надежности, могут иметь различные  законы распределения вероятностей. Для непрерывных случайных величин  часто применяют нормальное, экспоненциальное, логарифмически-нормальное распределения, гамма-распределение и распределение  Вейбулла. Для дискретных случайных  величин – распределение Пуассона и биноминальное распределение.

Примерами непрерывных случайных величин  в теории надежности могут быть наработка  до отказа и наработка между отказами. Пример дискретных случайных величин  – число отказов за данный промежуток времени. Для характеристики распределения  вероятностей как дискретных, так  и непрерывных случайных величин  введено понятие функции распределения. Функция распределения представляет собой вероятность того, что случайная величина x окажется меньшей, чем некоторое значение

                                                       (1)

Функция F(x)  есть неубывающая функция:

 

Согласно  теории вероятностей для дискретных случайных величин функция распределения  есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева [11].

Рассмотрим  применение функции распределения  для характеристики непрерывных  случайных величин. Основной случайной  величиной в теории надежности является время безотказной работы, которое  условимся обозначать Т. Эта величина непрерывна, так как может оказаться равной любому значению в приделах

.                                                             (2)

Плотность распределения случайного времени  безотказной работы, обозначаемая f(t), то есть не что иное, как производная функции распределения, т.е.

,                                                             (3)

Или в общем  виде для любой случайной величины x

,                                                             (4)

что  справедливо  в предположении непрерывности  и дифференцируемости функции F(x). Следовательно, плотность распределения существует только для непрерывных случайных величин. Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, носит название кривой распределения (рис1). Для построения этой кривой надо продифференцировать функцию распределения.

Физический  смысл плотности распределения  заключается в том, что вероятность  попадания случайной величины в  малый интервал числовой оси пропорциональна  плотности распределения этой величины в данном интервале. Вероятность  попадания X на участке от α до β для непрерывной случайной величины равно сумме элементов вероятности на всем участке, т.е. интегралу

.                                             (5)

В начальный  промежуток времени функция распределения  растет быстро и соответственно плотность  распределения велика. Это означает, что число отказов достаточно велико. По мере возрастания t  скорость возрастания функции распределения (плотность распределения)

уменьшается, т.е. число отказов уменьшается. Вероятность  отказа за время t₁÷t₂ равна площади под соответствующим участком кривой распределения.

Для общего случая, когда непрерывная случайная  величина может иметь не только положительные, но и отрицательные значения, можем  написать

,                                                         (6)

Т.е. полная площадь, ограниченная кривой распределения  и осью абсцисс, равна единице. Физически  это выражение означает, что случайная  величина обязательно примет какое-нибудь значение, лежащее в приделах от -∞ до +∞.

 В  практике вместо кривой распределения  пользуются некоторыми числовыми  величинами, которые характеризуют  данное распределение. Это математическое  ожидание, дисперсия и среднеквадратическое  случайной величины. Данные величины  являются параметрами вероятностных законов распределения.

Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений; для дискретной случайной величины

,                                                (7)

и для непрерывной  случайной величины

.                                                   (8)

Рассмотрим пример вычисления математического ожидания. Допустим, что имеются два ряда значений случайных величин и соответствующие этим значениям вероятности.

Первый ряд:

xi	7	8	9	10	11	12	13
pi	0,1	0,1	0,2	0,2	0,2	0,2	0,1

 

Математическое ожидание

M₁[X]=70,1+80,1+90,2+100,2+110,2+120,2+130,1=10

Второй ряд

xi	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
pi	0,05	0,06	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1

 

Математическое ожидание

M₂[X]=50,05+60,06+70,1+80,1+90,1+100,1+110,1+120,1+130,1+ +140,1+150,1=10,45

Из сравнений значений M₁[X] и M₂[X] видно, что математические ожидания обоих рядов случайных величин имеют близкие значения, однако случайные величины в этих рядах распределены существенно различно вследствие большого разброса значений x_i второго ряда по сравнению с первым. По этому для оценки рассеивания случайной величины применяют понятие дисперсии.

Дисперсией называют математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины. Под центрированной случайной величиной понимают отклонение случайной величины  X от ее математического ожидания, т.е.

X = X – M[X]                                                            (9)

Таким образом, дисперсия для дискретной случайной  величины

D[X] = x_i - M[X]}²P_i(x_i)

И для непрерывной случайной  величины

D[X] = x_i – M[X]}²

Если из дисперсии  извлечь квадратный корень, то получим  величину, называемую средним квадратичным отклонением:

                                                    (10)

Чем более  разбросаны значения случайных величин, т.е. чем больше они отличаются от математического ожидания, тем больше дисперсия и среднеквадратическое отклонение. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение имеют размерность случайной величины.

2. ВЫВОД ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ  НАДЕЖНОСТИ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ  ИЗДЕЛИЙ

Для количественной оценки надежности используют критерии и показатели, базирующиеся на статистических данных. Для событий, не сводящихся к схеме случаев, т. е. когда в результате проведения n опытов заранее неизвестно, сколько раз может произойти событие A, существует понятие частоты события A.

Частота события называется статистической вероятностью и обозначается Р* (A) в отличие от математической вероятности Р (А):

                                                        (10^*)

где m — число появлений события A; n — количество проведенных опытов. При увеличении числа опытов частота события Р* (А) сходится по вероятности с вероятностью события Р (A).

Считают, что величина Х_n сходится по вероятности к величине а, если при сколь угодном ε вероятность неравенства (Х_n — а) < ε с увеличением n неограниченно приближается к единице.

Располагая данными статистики отказов, можно определить статистическую вероятность безотказной работы за время t, как отношение числа изделий, продолжающих исправно работать к моменту t, к числу изделий, поставленных на испытание:

 

                                                         (11)

а вероятность отказа как отношение

                                                            (12)

Интенсивностью отказов называется отношение числа отказавших изделий в единицу времени к числу изделий, продолжающих оставаться исправными к началу рассматриваемого промежутка времени:

                                                            (13)

где Δn — число изделий, отказавших за время Δt; N (t);—число исправно работающих изделий к началу промежутка времени Δt.

В формуле (13) произведем умножение  числителя и знаменателя на N₀ — количество изделий, поставленных на испытания:

 

                                                       (14)

В формуле (14) отношение  -  есть статистическая вероятность отказа в промежутке Δt , которая является приращением функции распределения, т. е. приращением вероятности отказа в промежутке Δt:

                                            (15)

Отношение  есть статистическая вероятность безотказной работы за время t от начала испытаний Р* (t). Следовательно,

                                                        (16)

Переходя к пределу (Δt→ 0), имеем

                                                        (17)

Учитывая, что при возрастании  количества испытываемых изделий статистические значения сходятся с математическими, получаем

                                                        (18)

Интенсивность отказов, называемая иначе λ-характеристикой, широко используется для характеристики надежности элементов. Интенсивность отказов показывает, какая часть изделий по отношению к числу работающих выходит из строя в единицу времени (обычно в 1 ч).

Вероятность безотказной  работы P(t), т. е. вероятность того, что за время Т < t не произойдет отказа, можно найти, как вероятность события, противоположного отказу, т. е.

 

                                           (19)

 

Отсюда очевидно, что

 

                                            (20)

 

Продифференцировав обе  части выражения (18) по времени, получим

 

                                                         (21) 

Тогда формула интенсивности  отказов (18) принимает вид

 

                                                     (22)

Проинтегрировав обе части  равенства (22), полагая для упрощения записи , получим

 

                                   (23)

Или

                                               (24)

 

Так как при t = 0  , то P (t) = 1. В результате получаем

 

                                                (25)

Уравнение (25) есть основной формулой надежности системы или  элемента невосстанавливаемых изделий. При выводе этой формулы на интенсивность  отказов λ не накладывалось никаких  ограничений, поэтому она может  быть любой интегрируемой по времени  функцией. Следовательно, уравнение (25) выражает надежность в наиболее общей форме, которая может применяться для любых видов распределения отказов.

Для случая внезапных отказов, когда λ = const,

 

получим выражение для  экспоненциального закона надежности

 

                                                   (26)

§ 3. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Время безотказной работы оборудования подчиняется экспоненциальному распределению, если внезапные отказы возникают как следствие воздействия «пиковых» нагрузок. При этом нет смысла прибегать к профилактическим мерам типа предварительной замены элементов или их периодического ремонта. Это объясняется тем, что поскольку отказ возникает лишь как следствие внешнего воздействия, то замена «старой» детали (элемента) оборудования на новый элемент (деталь) не может повлиять на причину отказа. Тем более не может повлиять на нее ремонт. Единственный путь повышения надежности в этом случае состоит либо в конструктивном улучшении узла или детали, либо в снижении действующих нагрузок.

Экспоненциальный закон  одинаково хорошо описывает поведение как элементов, так и систем в период их нормальной эксплуатации. Большим его преимуществом перед любым другим распределением является то, что единственный параметр λ (или обратный ему параметр )полностью определяет экспоненциальное распределение.

Кроме того, еще одно преимущество экспоненциального закона состоит  в его независимости от наработки  элемента или системы до тех пор, пока интенсивность отказов сохраняется  постоянной.

При экспоненциальном распределении  плотность распределения случайного времени безотказной работы на основании формулы (26) имеет вид

 

                                                      (27)

Следовательно, функция распределения

     (28)

Чем больше t, тем больше вероятность отказа. Графики плотности распределения и функции распределения показаны на рис. 2, а и б.

 

 

График плотности распределения представляет собой спадающую экспоненту, при которой

 

График функции распределения F (f) представляет собой нарастающую экспоненту, у которой при t = 0 F (0) = 0, а при t = ∞ F (∞) = 1.

Вероятность попадания случайного времени безотказной работы Т на участок т. е. вероятность отказа в течение времени или приращение функции распределения, представляет собой площадь под участком кривой распределения (рис. 2, б)