Определение числа е, вычисление его приближенного значения и его трансцендентность

 

 

 

Содержание

 

 

Введение            3

Глава 1 Леонардо Эйлер

1.1 Леонардо Эйлер как великий математик

1.2 Главные понятия, созданные Эйлером     5

Глава 2 Определение числа е, вычисление его приближенного значения и его    трансцендентность                11

2.1 Определение числа е               11

2.2 Приближенное вычисление значения числа е           12

        2.3 Трансцендентность числа е                                                                 15

Глава 3 Экспоненциальная функция (экспонента)            18

Глава 4 Проявление числа e в реальной жизни

  4.1 Практическое  применение числа e                                       22

4.2Применение числа e в математических задачах           25

Заключение                  28

Список использованной литературы              26

Приложение 1                  30

Приложение 2                  31

Приложение 3                  32

Приложение 4                  33

Приложение 5                  34

Приложение 6                  35

 

 

Введение

 

 

Это малое е

Так не нравится мне:

Если честно сказать,

Можно только назвать

Неприличным его поведенье

 

Дж. А. Линдон

 

В высшей математике огромную роль играет число e, именуемое так же числом Эйлера в честь «давшего ему жизнь» великого математика Леонарда Эйлера(1707 - 1783 гг.). Всю свою жизнь он занимался наукой, и подтверждением этому служит многочисленные теоретические положения, невозможно перечислить все доныне употребляемые теоремы, методы и формулы Эйлера, из которых однако только немногие фигурируют в литературе под его именем: метод ломаных Эйлера, метод Эйлера подстановки, постоянная Эйлера, уравнение Эйлера, уравнения Эйлера (используются в гидромеханике), формулы Эйлера, функция Эйлера, числа Эйлера в математике, формула Эйлера-Маклорена, формулы  Эйлера-Фурье, Эйлерова характеристика, Эйлеровы интегралы, Эйлеровы углы и, разумеется, число Эйлера.

Под числом e понимают предел

                                                                   

,                                           (1)

который невозможно указать точным числом, но всегда можно определить приближенно с учетом требуемой точности с помощью формулы                                                                                       ,                                (2)

где и - это отношение разности

(y_n является (n+1)-ой частичной суммой для бесконечного ряда ) к числу

(оно, очевидно, содержится между 0 и 1).

При этом число е является трансцендентным (иррациональным), а значит, оно не может быть корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами.

Чаще всего на практике приходится встречаться с числом e в какой-либо степени, поэтому функция

y = e^x

оказывается настолько важной, что, в отличие от

y = a^x

  (где a≠e), она получила особое название - экспоненциальная функция, или кратко экспонента. Значение e^x так же вычисляется приближенно с помощью двойного неравенства

(если x>0 и n

N) или

(если x<0 и n N).

Кроме того, важным является и то, что именно число Эйлера является основанием натуральных логарифмов, что, однако, не придает натуральным логарифмам каких-либо отличительных свойств.

Встречаясь буквально на каждом шагу в высшей математике, в особенности в задачах теории вероятностей, в реальной жизни оно проявляет себя ярче всего при росте какой - либо величины, будь то рост клетки или банковского счета.

В данной работе представлены краткий обзор основных событий творческой жизни Леонарда Эйлера, суть числа e, представлен способ вычисления его приближенного значения и приближенного значения e^x, так же показано проявление числа e в реальной жизни и его использование в математике.

 

Глава 1. Леонард Эйлер

1.1 Леонард Эйлер как великий математик

 

 

Началом «жизни» числа е, имеющего огромнейшее значение в высшей математике, можно считать труд Леонарда Эйлера (1707 - 1783 гг.)  (приложение 1).

Эйлер принадлежит к числу тех великих людей, результат работы которых стал достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику по руководствам, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера.

Леонард Эйлер был избран академиком (и почётным академиком) в восьми странах мира. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Трудно даже перечислить все отрасли, в которых оставил свой след этот, безусловно, великий учёный. Но в первую очередь он был математиком.

Неоценимо велика роль Эйлера в создании классических образцов учебной литературы и в стимулировании творчества многих поколений математиков. Даже Лаплас нередко повторял: «Читайте, читайте Эйлера, он - наш общий учитель». И труды Эйлера действительно с большой пользой для себя читали и изучали и Карл Фридрих Гаусс (1777 - 1855гг.), и чуть ли не все знаменитые учёные последних двух столетий. Даже сейчас, через много лет после смерти Эйлера, его работы побуждают учёных всего мира к творчеству в самых различных областях математики и её приложений.

Начальное обучение будущий учёный прошел дома под руководством отца, учившегося некогда математике у Якоба Бернулли (1654 - 1705гг.). Добрый пастор готовил старшего сына к духовной карьере, однако занимался с ним и математикой - как в качестве развлечения, так и для развития логического мышления. В свою очередь, Леонардо увлёкся математикой и задавал отцу множество вопросов. Когда у Леонардо проявился интерес к учёбе, его направили в базельскую латинскую гимназию - под надзор бабушки. 20 октября 1720 года 13-летний Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета: отец желал, чтобы он стал священником. Но любовь к математике, блестящая память и отличная работоспособность сына изменили эти намерения и направили Леонардо по иному пути.

Став студентом, он легко усваивал учебные предметы, отдавая предпочтение математике. И неудивительно, что способный мальчик вскоре обратил на себя внимание Бернулли. Он предложил юноше читать математические мемуары, а по субботам приходить к нему домой, чтобы совместно разбирать непонятное. В доме своего учителя Эйлер познакомился и подружился с сыновьями Бернулли - Николаем и Даниилом, также увлечённо занимавшимися математикой. Восьмого июня 1724 года семнадцатилетний Леонард Эйлер произнёс по латыни великолепную речь о сравнении философских воззрений Декарта и Ньютона и был удостоен учёной степени магистра (в XIX веке в большинстве университетов Западной Европы ученая степень магистра была заменена степенью доктора философии).

В последующие года юный Эйлер написал несколько научных работ. В 1725 году по просьбе Петербургской Академии Эйлер, не считаясь со временем, составил на немецком языке прекрасное «Руководство к арифметике», которое вскоре было переведено на русский и сослужило добрую службу многим учащимся. Перевод первой части выполнил в 1740г. первый русский адъюнкт Академии, ученик Эйлера Василий Адодуров. На русском языке это было первым изложением арифметики как математической науки. Позднее он стал профессором физики в этой гимназии, затем академиком и профессором чистой математики.

Прекрасно зная ум Эйлера, на его свадьбу 1733 года на дочери живописца Екатерине Гзель ему преподнесли сочиненные по случаю стихи:

 

В том усомниться мог ли кто-то,

Что Эйлер удивит весь мир,

Что только цифры и расчёты

Его единственный кумир.

Теперь совсем в другом он мире,

Где чувства, счастье и любовь

И то что дважды два - четыре,

Доказывать придётся вновь!

 

Эйлер отличался феноменальной работоспособностью. Он просто не мог не заниматься математикой или её приложениями. В 1735 году Академия получила задание выполнить срочное и очень громоздкое астрономическое вычисление. Группа академиков просила на эту работу три месяца, а Эйлер взялся выполнить работу самостоятельно всего за 3 дня. Однако перенапряжение не прошло бесследно: он заболел и потерял зрение на правый глаз. Однако учёный отнёсся к несчастью с величайшим спокойствием: «Теперь я меньше буду отвлекаться от занятий математикой», - философски заметил он.

До этого времени Эйлер был известен лишь узкому кругу учёных. Но двухтомное сочинение « Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении », изданное в 1736 году, принесло ему мировую славу. Эйлер блестяще применил методы математического анализа к решению проблем движения в пустоте и в сопротивляющейся среде.

В 1741 году Эйлер принимает предложение прусского короля, который приглашал его в Берлинскую Академию на весьма выгодных условиях и в соответствии с поданным Эйлером прошением он был «отпущен от Академии» и утверждён почётным академиком. Он обещал по мере своих сил помогать Петербургской Академии - и действительно помогал весьма существенно все 25 лет, пока не вернулся обратно в Россию. В июне 1741 году Леонард Эйлер с женой, двумя сыновьями и четырьмя племянниками прибыл в Берлин. В течение всего времени пребывания в Берлине Эйлер продолжал оставаться почётным членом Петербургской Академии. Как он и обещал при отъезде из Петербурга, он по-прежнему печатал многие из своих трудов в изданиях Петербургской Академии; редактировал математические отделы русских журналов. В 1742 году вышло четырёхтомное собрание сочинений И. Бернулли. Посылая его из Базеля Эйлеру в Берлин, старый учёный писал своему ученику: « Я посвятил себя детству высшей математики. Ты, мой друг, продолжишь её становление в зрелости».

Эйлер оправдал надежды своего учителя. Одна за другой выходили его научные работы колоссальной важности: «Введение в анализ бесконечных» 1748 г., «Морская наука» 1749 г., «Теория движения луны» 1753 г., «Наставление по дифференциальному исчислению» 1755г., а так же десятки статей по отдельным частным вопросам, печатавшихся в изданиях Берлинской и Петербургской Академий.

В 1757 году Эйлер впервые в истории нашёл формулы для определения критической нагрузки при сжатии упругого стержня. Однако в те годы эти формулы не могли найти практического применения.

Почти  сто лет спустя, когда во многих странах - и прежде всего в Англии - стали строить железные дороги, потребовалось рассчитать прочность железнодорожных мостов. Модель Эйлера принесла практическую пользу в проведении экспериментов.

Вступившая в 1762 году на русский престол Екатерина II, предложила Эйлеру управление математическим отделением и звание конференц-секретаря Академии. Фридрих долго не хотел разрешать ученому возвращаться в Россию, в ответ на что Эйлер прекратил работать для Берлинской Академии. 30 апреля 1766 году Фридрих разрешает наконец-то ему уехать в Россию. Сразу же по прибытии Эйлер был принят императрицей, которая поручила подготовить соображения о реорганизации Академии. После возвращения в Петербург у Эйлера образовалась катаракта второго, левого глаза - он перестал видеть. Однако это не отразилось на его работоспособности. Он диктует свои труды мальчику-портному, который всё записывал по-немецки.

В мае 1771 года в Петербурге возник большой пожар, уничтоживший сотни зданий, в том числе дом и почти всё имущество Эйлера. Самого учёного с трудом спас приехавший ранее из Базеля швейцарский ремесленник Петр Гримм. Все рукописи удалось уберечь от огня; сгорела лишь часть «Новой теории движения луны», но она быстро была восстановлена с помощью самого Эйлера, сохранившего до глубокой старости феноменальную память.

Слепому старцу пришлось переселиться в другой дом, расположение комнат и предметов в котором было ему незнакомо. Однако эта неприятность оказалась, к счастью, лишь временной.

В сентябре того же года в Санкт-Петербург прибыл известный немецкий окулист барон Венцель, который согласился сделать Эйлеру операцию - и удалил с левого глаза катаракту. За работой приезжей знаменитости приготовились наблюдать девять местных светил медицины, но вся операция заняла три минуты и Эйлер снова стал видеть.

Искусный окулист предписал беречь глаз от яркого света, не писать, не читать - лишь постепенно привыкать к новому состоянию. Однако для Эйлера было просто невозможно «не вычислять», и уже через несколько дней после операции он снял повязку. И вскоре потерял зрение снова, на этот раз навсегда. Несмотря на это, отнёсся он к такому неприятному событию с величайшим спокойствием. Научная продуктивность его даже возросла: без помощников он мог только размышлять, а когда приходили помощники, диктовал им или писал мелом на столе.

В 1773 году. по рекомендации Д. Бернулли в Петербург приехал из Базеля его ученик Никлаус Фусс (1755 - 1825 гг.). Это было большой удачей для Эйлера, так как Фусс обладал редким сочетанием математического таланта и умения вести практические дела, что и дало ему возможность сразу же после приезда взять на себя заботы о математических трудах Эйлера. Вскоре Фусс женился на внучке Эйлера. В последующие десять лет, то есть до самой своей смерти, Эйлер именно ему диктовал свои труды.