Симметрические многочлены .Теорема Виета

 

 

 

 

СИМЕТРИЧНІ БАГАТОЧЛЕНИ ТА

ТЕОРЕМА ВІЕТА

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

Глава 1. Многочлены.  3-7

Глава 2. Симметрические многочлены. 8-11

Глава 3. Использование теоремы Виета и теории симметрических многочленов на примерах.  12-13

Список использованной литературы  14

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Задачи на симметричные многочлены часто встречаются на олимпиадах и различных экзаменах. Решение многих задач элементарной алгебры значительно облегчается, если использовать симметричность условия задачи. В этой работе показано, как использовать симметрию при решении систем уравнений, иррациональных уравнений, неравенств и т. д. Все эти задачи решаются единообразным методом, основанным на теории симметрических многочленов.

Не всем известно какие замены нужно делать, чтобы свести эти задачи к более простым. Наша работа посвящена исследованию этого вопроса, мы не только указываем эти замены, но и доказываем теорему о том, что они всегда приводит к результату, этот факт школьники принимают на веру. Доказательство проводится элементарными методами.   Симметричные многочлены возникают в разных областях знаний…. много симметричные

 

ГЛАВА 1

МНОГОЧЛЕНЫ. ТЕОРЕМА ВИЕТТА

 

Основные определения. Основное понятие теории многочленов – многочлен от одного переменного – рассматривается в школьном курсе. Под многочленом понимается выражение вида

a0хn-1 + … +an-1x + an,      (1.1)

где а0, а1, …, аn-1, an – произвольные действительные числа. Это выражение может состоять и из одного слагаемого – такой многочлен называется, естественно, одночленом. Ниже мы сделаем сделаю ещё некоторые уточнения, касающиеся многочленов нулевой степени и нулевого многочлена.

Степень многочлена. Пусть f(x) =  а0хn + a1xn-1 + … +an – произвольный многочлен. В этой записи мы не требуем обязательно, чтобы коэффициент а0 был отличен от нуля, но если он всё же отличен от нуля, то число n называется степенью многочлена f(x). Степень многочлена f(x) часто обозначается через deg f(x).

Например,

deg (-2x2-3x) = 2,

deg (0x5+0x4-x3) = 3.

Рассмотрим специально два случая, когда многочлен f(x) в действительности не содержит х. Это может случиться, если коэффициенты многочлена f(x) равны 0 – в этом случае я буду называть многочлен нулевым и обозначать его символом 0. Если же  f(x) = a0 ¹ 0, то  многочлен f(x) имеет степень 0.

Напоминим, что при а0 ¹ 0 коэффициент а0 называют старшим коэффициентом многочлена f(x), а сам одночлен а0хn – его старшим членом. Коэффициент аn называется свободным членом.

Если

f(x) = a0xn + … + an-1x + an , g(x) = b0xk + … + bk-1x + bk – два произвольных многочлена соответственно степеней n и k, (т.е. а0 ¹ 0, b0 ¹ 0), то при их перемножении получим, очевидно, многочлен со старшим членом а0b0xn+k. Отсюда следует важное утверждение:

степень произведения двух нулевых многочленов равна сумме степеней сомножителей.

Ясно, что это утверждение верно и для любого конечного числа многочленов. Из него следует, в частности, что произведение ненулевых многочленов не может быть равно 0, или, что то же самое, 

f(x)g(x) = 0 Þ f(x) = 0 или g(x) = 0        (1.2)

Что же касается суммы двух многочленов, то о её степени можно сделать в общем случае одно заключение:

степень суммы многочленов не превосходит наибольшей из степеней слагаемых.

Значения многочлена, корни многочлена. Вместо переменной х в многочлен f(x), то есть в выражение вида (1), можно, очевидно, подставить любое действительное число с. В результате получится некоторое действительное число; это число называется значением многочлена f(x) при х = с (или в точке с) и обозначается через f(c):

f(c) = a0cn + a1cn-1 + … + an-1c + an.

Отметим два простых равенства, связанные со значениями многочлена и полезные для решения задач:

f(0) = an , f(1) = a0 + a1 + … + an-1 + an ,

т.е. свободный член многочлена является его значением в точке 0, а сумма коэффициентов многочленов есть его значение в точке 1.

Так, после раскрытия скобок и приведение подобных членов в выражении

f(x) = (2x2 – 3x + 1)2001 + (2x3 + 3x – 4)2002 

получится многочлен со свободным членом f(0) = 1 – 42002 и суммой коэффициентов f(1) = 1.

Определение. Число с называется корнем многочлена f(x), если f(c) = 0.

Понятие корня является центральным понятием в теории многочленов. Исторически теория многочленов и была создана для решения  разнообразных вопросов, связанных с решением алгебраических уравнений произвольной степени, т.е. с нахождением корней многочленов. Более того, именно в результате попыток отыскания общей формулы для решения кубических уравнений математиками были открыты комплексные числа.

Основная теорема алгебры многочленов и её следствия. Теория многочленов с комплексными коэффициентами оказывается более стройной и более простой, чем теория многочленов с действительными коэффициентами, и объясняется это именно основной теоремой, справедливой для многочленов с комплексными коэффициентами. Сформулирую её:

Всякий многочлен степени n ³ 1 с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный корень.

Эта теорема впервые строго была доказана немецким математиком К.Ф. Гауссом и часто называется поэтому теоремой Гаусса. Для доказательства этой теоремы требуются утверждения, далеко выходящие за рамки наших возможностей, и я поэтому приводить его не буду.

Главное для нас – это следствия, которые вытекают из основной теоремы.

1. Всякий многочлен степени n ³ 1 с комплексными коэффициентами раскладывается в произведение n линейных множителей.

Это утверждение легко доказывается по индукции. При n = 1 сам многочлен является линейным. Предположим, что утверждение уже доказано для многочленов степени n, и пусть f(х) – многочлен степени n + 1. тогда f(x) имеет некоторый корень а1 ÎС, и по теореме Безу f(x) представляется в виде

f(x) = (x – a1) f1(x).

Но многочлен f1(x) имеет степень n, и по предположению индукции раскладывается в произведение n линейных множителей. Но тогда f(x)  является произведением n + 1 линейного множителя, что и требовалось доказать.

2. Всякий многочлен степени n ³ 1 с комплексными коэффициентами имеет n корней, если считать каждый корень столько раз, какова его кратность.

Действительно, так как многочлен степени n ³ 1 раскладывается в произведение n линейных множителей:

f(x) = a0(х – а1)(x – a2) … (x - an).

Ясно при этом, что а0, …, аn – это корни многочлена f(x). Объединяя в последнем равенстве равные сомножители в степени, f(x) можно представить в виде

f(x) = a0(x - b1)k1(x -b2)k2 … (x - bs)ks,

где корни b1, …,bs уже все различны, а показатели k1, …, ks – это кратности соответствующих корней.

Поскольку степени многочленов в левой и правой частях этого равенства, естественно, одинаковы, то

n = k1 + k2 + … + ks,

что о требовалось доказать.

3. Многочлен f(x) делится на многочлен g(x) тогда и только тогда, когда всякий корень f(x) является корнем g(x) и кратность его в g(x) не больше кратности в f(x).

Докажем это утверждение, используя разложение многочленов f(x) и g(x) на линейные множители.

Отметим, что для многочленов с действительными коэффициентами соответствующее утверждение неверно; например, многочлен х + 1 не делится на многочлен х3 + х2 + х +1 = (х +1)(х2 + 1), хотя оба они имеют ровно один корень  - 1. Основная теорема алебры многочленов позволяет для многочленов любой степени сформулировать утверждение, которое при n = 2 доказывается в школьном курсе под названием теорема Виета. Это утверждение и в общем случае называется теоремой Виета.

4. Пусть

f(x) = a0xn + … + an-1x + an     (а0≠0) –

многочлен с комплексными коэффициетами. Тогда для любого k = 1,...,n

сумма всевозможных произведений корней многочлена f(x), состоящих из k сомножителей, равна (-1)kak/a0.

В частности, сумма всех корней многочлена f(x) равна –(а1/а0), сумма попарных произведений равна а2/а0, произведение всех корней равно (-1)nan/a0. 

Доказательство теоремы Виета для произвольного k довольно громоздко, и мы ограничимся только крайними случаями: k = 1 и k = n. Представим f(x) в виде:

f(x) = a0(х – а1)(x – a2) … (x - an)

и тогда после раскрытия скобок в правой части будем иметь:

a0xn + … + an-1x + an =

=а0хn – a0(a1 + ... +an)xn-1+ ... + (-1)na0a1a2 ... an.

Но, как видно выше, если два многочлена равны, то равны и коэффициенты при одинаковых степенях х. Поэтому

• a0(a1 + ... +an)=а1,

(-1)na0a1a2 ... an = аn ,

откуда и следует требуемое равенство.

Следующее утверждение является одним из показательных примеров применения комплексных чисел к задачам «чисто действительными», не имеющим в своей постановке к комплексным числам никакого отношения.

5. Всякий многочлен степени n ≥ 1 c действительными коэффициентами раскладывается в произведение линейных двучленов и квадратных трехчленов с отрицательными дискриминантами, имеющими действительные коэффициенты.

Это утверждение докажу индукцией по степени n. Для многочленов степени 1 и 2 утверждение верно; предположим, что оно справедливо для любых многочленов степени ≤ n, и пусть f(x) имеет степень n + 1.

 Многочлен f(х) имеет комплексный корень а. По теореме Безу       f(x) = (x – a) g(x),   (1.3)

И если число а действительное, то g(x) – многочлен с действительными коэффициентами. Тогда по предположению индукции g(x) раскладывается в произведение требуемого вида. Но тогда в силу (1.3) такое разложение существует и для многочлена f(x).

Пусть теперь а – число комплексное, т.е. а ≠ . Вспомним следствие из теоремы о свойствах сопряженных чисел; согласно этому число также является корнем многочлена f(x). Тогда из (1.3) при х = получаем,  что =                        (1.4)

Поскольку и – числа действительные, то трехчлен  имеет действительные коэффициенты (и, очевидно, отрицательный дискриминант), так что и многочлен h(x) имеет действительные коэффициенты как частное двух многочленов с действительными коэффициентами.

Но многочлен h(x) имеет степень меньше n, так что к нему применимо предположение индукции. После этого требуемое утверждение для многочлена f(x) вытекает из равенства (1.4).

Теорема доказана.                Если старший коэффициент а0 многочлена f(х) отличен от 1, то  для применения формул Виета необходимо сначала разделить все коэффициенты на а0, что не влияет на корни многочлена. Таким образом, в этом случае формулы Виета дают выражения для отношений всех коэффициентов к старшему.

 

 

ГЛАВА 2

СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ

 

Среди многочленов от нескольких неизвестных выделяются те, которые не меняются ни при какой перестановке неизвестных. В такие многочлены все неизвестные входят, следовательно, вполне симметричным образом, и поэтому эти многочлены называются симметрическими многочленами (или симметрическими функциями). Простейшими примерами будут: сумма всех неизвестных x1+ х2 + ... + хn ,сумма квадратов неизвестных х12 + х22 + ... + хn2, произведение неизвестных х1х2...хn и т.д. Сумма, разность и произведение двух симметрических многочленов сами будут симметрическими. Следующие n симметрических многочленов от n  неизвестных называются элементарными симметрическими многочленами:

 

 

 

                                                                                             (2.1)

 

Эти многочлены, симметричность которых очевидна, играют в теории симметрических многочленов очень большую роль. Они подсказаны формулами Виета, и поэтому можно сказать, что коэффициенты многочлена от одного неизвестного, имеющего старшим коэффициентом единицу, будут, с точностью до знака, элементарными симметрическими многочленами от его корней.

Симметрическим многочленом будет всякая целая положительная  степень любого из элементарных симметрических многочленов, а  также произведение таких степеней и всякая сумма указанных произведений. Иными словами, всякий многочлен от элементарных симметрических многочленов s1,s2,…, sn ,

 рассматриваемый как многочлен  от неизвестных х1,х2,...,хn, будет симметрическим. Так, положим n =  3 и возьмем многочлен s1s2 + 2s3. Заменяя s1, s2 и s3 их выражениями,  мы получим:

s1s2 + 2s3 = x12x2 + x12x3 + x1x22 + x22x3 + x1x32 + x2x32 + 5x1x2x3;

справа стоит симметрический многочлен от х1, х2, х3.

Обращением этого результата является следующая основная теорема о симметрических многочленах:

Теорема 2.1

Всякий симметрический многочлен от неизвестных х1, х2, ... , хn, является многочленом от элементарных симметрических многочленов s1,s2, … , sn[2]

Доказательство

Упорядочим данный симметрический многочлен

f(x1, x2, … , xn)

лексикографически (как в  словаре), т.е. таким образом, чтобы слагаемое     х1a ... хnan предшествовало слагаемому х1b'... хnbn в том случае, если первая ненулевая разность ai - bi положительна. Пусть в его лексикографической записи будет член

а0х1к1х2к2 … хnkn.                                                          (2.2)

Показатели при неизвестных в этом члене должны удовлетворять  неравенствам