Численное дифференцирование

 Содержание

Математическая часть: «Численное дифференцирование»

1. Численное дифференцирование………………………………………....2
2. Теорема Чебышева……………………………………………………….9
3. Примеры…………………………………………………………………12

Экономическая часть: «Учет  фактора времени при оценке экономической  эффективности хозяйственных мероприятий»

1. Основные понятия…………………………………………………….....15
2. Расчет экономической эффективности………………………………...22
3. Модельные расчеты……………………………………………………..33

Список используемой литературы……………………………………………35

 

1.1

Численное дифференцирование

 

Пусть имеется функция которую необходимо продифференцировать несколько раз и найти эту производную в некоторой точке.

          Если задан явный вид функции,  то выражение для производной часто оказывается достаточно сложным и желательно его заменить более простым. Если же функция задана только в некоторых точках (таблично), то получить явный вид ее производных ввобще невозможно. В этих ситуациях возникает необходимость приближенного (численного) дифференцирования.

Простейшая идея численного дифференцирования состоит в том, что функция заменяется интерполяционным многочленом (Лагранжа, Ньютона) и производная функции приближенного заменяется соответствующей производной интерполяционного многочлена 

Рассмотрим  простейшие формулы численного дифференцирования,  которые получаются указанным способом.

Будем предполагать, что функция задана в равностоящих узлах

 
Ее значения и значения производных в узлах будем обозначать

  

 Пусть функция задана в двух точках и   ее значения 

           Посстроим  интерполяционный  многочлен первой степени

 

Производная    равна

Производную функцию  в точке приближенно заменяем производной интерполяционного многочлена

       (1) 

Величина    называется  первой разностной производной.

   Пусть  задана в трех точках    

Интерполяционный многочлен  Ньютона второй степени имеет  вид

Берем производную

В точке  она равна

Получаем приближенную формулу

       (2)

Величина    называется   центральной  разностной производной.

Наконец, если взять вторую производную

     получаем приближенную  формулу. 

      (3)

Величина  называется  второй разностной производной.

Формулы (1)-(3) называются формулами численного дифференцирования.

Предполагая функцию достаточное число раз непрерывно дифференцируемой, получим погрешности приближенных формул  (1)-(3).

В дальнейшем нам понадобится  следующая  лемма.

       Лемма 1. Пусть    произвольные точки,    Тогда существует такая точка   что

Доказательство.  Очевидно неравенство

 

По теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции на замкнутом отрезке она принимает все значения между и Значит существует такая точка  что выполняет указанное в лемме равенство.

Погрешности формул численного дифференцирования дает следующая  лемма.

          Лемма 2.

1.Предположим, что    Тогда существует такая точка ,  что

                             (4)

Если    то существует  такая точка ,  что

                                 (5)

Когда     то существует  такая,  что

      (6)               Доказательство. По формуле Тейлора

         

откуда следует  (4).

Если   то по  формуле Тейлора

                              (7)

где   

     Подставим  (7)  в     Получаем

       

Заменяя  в соответствии с леммою 1

       

получаем

     

Откуда и следует (6).

        Равенство  (5) доказывается аналогично ( доказательство провести самостоятельно).

       Формулы  (4)-(6) называются формулами  численного дифференцирования с остаточными членами.

        Погрешности  формул  (1)-(3) оцениваются с помощью  следующих неравенств, которые вытекают  из соотношений (4)-(6):

       

         Говорят, что погрешность формулы  (1) имеет первый порядок относительно (или порядка ), а погрешность формул (2) и (3) имеет второй порядок относительно    (или порядка  ). Также говорят, что формула численного дифференцирования (1) первого порядка точности (относительно ), а формулы (2) и (3) имеют второй порядок  точности.

      Указанным  способом можно получать формулы  численного дифференцирования для  более старших производных и для большего количества узлов интерполирования.

      Выбор оптимального шага. Допустим, что граница абсолютной погрешности при вычислении функции в каждой точке удовлетворяет неравенству                                                                                                                                                                            

                                                                                             (8)

        Пусть  в некоторой окрестности точки  производные, через которые выражаются остаточные члены в формулах (5), (6), непрерывны  и удовлетворяют неравенствам

                                                (9)

где     - некоторые числа. Тогда полная погрешность формул (2), (3) (без учета погрешностей округления) в соответствии с (5), (6), (8), (9)не превосходит соответственно величин            

Минимизация по этих величин приводит к следующим значениям :                                           

 

                                      (12)

при этом

                       (13)

Если при выбранном  для какой-либо из формул (2), (3) значении отрезок   не выходит за пределы окрестности точки   , в которой выполняется соответствующее неравенство (9),  то найденное есть оптимальным и полная погрешность численного дифференцирования оценивается соответствующей величиной (13).

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2

Теорема Чебышева

 Теорема Чебышева: При достаточно большом  числе независимых случайных  величин Х1, Х2, Х3, ..., Хn, дисперсия каждой из которых не превышает одного и того же постоянного числа В, для произвольного сколько угодно малого числа  e справедливо неравенство

Из теоремы следует, что  среднее арифметическое случайных величин при возрастании их числа проявляет свойство устойчивости, т. е. стремится по вероятности к неслучайной величине, которой является среднее арифметическое математических ожиданий этих величин, т.е. вероятность отклонения по абсолютной величине среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий меньше чем на e при неограниченном возрастании n стремится к 1, т.е. становится практически достоверным событием.

 Рассмотрим  частный случай теоремы Чебышева:

Пусть при n испытаниях наблюдаются n значений случайной величины X, имеющей математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X). Полученные значения можно рассматривать как случайные величины Х1, Х2, Х3, ..., Хn,. Это следует понимать так. Серия из п испытаний проводится неоднократно. Поэтому в результате i-го испытания, i=l, 2, 3, ..., п, в каждой серии испытаний появится то или иное значение случайной величины X, не известное заранее. Следовательно, i-e значение xi случайной величины, полученное в i-м испытании, изменяется случайным образом, если переходить от одной серии испытаний к другой. Таким образом, каждое значение xi можно считать случайной величиной Xi .

Предположим, что испытания  удовлетворяют следующим требованиям:

1) испытания независимы. Это означает, что результаты Х1, Х2, Х3, ..., Хn испытаний—независимые случайные величины;

2) испытания проводятся  в одинаковых условиях—это означает, с точки зрения теории вероятностей, что каждая из случайных величин Х1, Х2, Х3, ..., Хn имеет такой же закон распределения, что и исходная величина X, поэтому, MXi=MX и DXi=DX, i=1, 2, .... п.

Учитывая вышеуказанные  условия, получим

Переходя к пределу, имеем

Из последнего равенства  следует, что среднее арифметическое случайной величины Х обладает свойством  устойчивости.

Теорема Чебышева имеет большое  практическое применение. Она позволяет, используя среднее арифметическое, получить представление о величине математического ожидания, и наоборот. Так, измеряя какой-либо параметр с  помощью прибора, не дающего систематической  погрешности, можно получить достаточно большое число результатов измерений, среднее арифметическое которых  по теореме Чебышева будет практически  мало отличаться от истинного значения параметра.

Пример. Пусть в результате 100 независимых испытаний получены случайные величины Х1, Х2, …, Х100  с равными математическими ожиданиями М(Х)= 10 и равными дисперсиями D(X)= 1. Оценить вероятность того, что среднее арифметическое случайных величин отклоняется по абсолютной величине от М(Х) меньше чем на 1/2.

Решение: 

Имеет место частный случай теоремы Чебышева. Применяя соответствующее  неравенство для оценки вероятности, получим:

 

 

 

 

 

 

Первое неравенство  Чебышёва

Пусть   — неотрицательная случайная величина (то есть   для любого  ). Тогда для любого положительного числа   справедливо неравенство

.

Доказательство. Все слагаемые в правой части формулы (4), определяющей математическое ожидание, в рассматриваемом случае неотрицательны. Поэтому при отбрасывании некоторых слагаемых сумма не увеличивается. Оставим в сумме только те члены, для которых  . Получим, что(9)

.

Для всех слагаемых в правой части  , поэтому(10)

.

Из (9) и (10) следует требуемое.

]Второе неравенство Чебышёва

Пусть   — случайная величина. Для любого положительного числа   справедливо неравенство

.

Это неравенство содержалось  в работе П. Л. Чебышёва «О средних  величинах», доложенной Российской академии наук 17 декабря 1866 года и опубликованной в последовавшем году.

Для доказательства второго  неравенства Чебышёва рассмотрим случайную  величину  . Она неотрицательна, и потому для любого положительного числа  , как следует из первого неравенства Чебышёва, справедливо неравенство

.

Положим  . Событие   совпадает с событием  , а потому

,

что и требовалось доказать.

1.3 

Примеры

Можно указать неотрицательную  случайную величину   и положительное число   такие, что первое неравенство Чебышёва обращается в равенство.

Достаточно рассмотреть  . Тогда  ,   и  , то есть  .

Следовательно, первое неравенство  Чебышёва в его общей формулировке не может быть усилено. Однако для  подавляющего большинства случайных  величин, используемых при вероятностно-статистическом моделировании реальных явлений  и процессов, левые части неравенств Чебышёва много меньше соответствующих  правых частей.

Пример 1. Может ли первое неравенство Чебышёва обращаться в равенство при всех  ? Оказывается, нет. Покажем, что для любой неотрицательной случайной величины с ненулевым математическим ожиданием можно найти такое положительное число  , что первое неравенство Чебышёва является строгим.

Действительно, математическое ожидание неотрицательной случайной  величины либо положительно, либо равно  нулю. В первом случае возьмем положительное  , меньшее положительного числа  , например, положим  . Тогда   больше 1, в то время как вероятность события не может превышать 1, а потому первое неравенство Чебышева является для этого а строгим. Второй случай исключается условиями 

Отметим, что во втором случае равенство 0 математического ожидания влечет тождественное равенство 0 случайной  величины. Для такой случайной величины левая и правая части первого неравенства Чебышёва равны 0 при любом положительном  .

Можно ли в формулировке первого неравенства Чебышева отбросить  требование неотрицательности случайной величины  ? A требование положительности  ? Легко видеть, что ни одно из двух требований не может быть отброшено, ибо иначе правая часть первого неравенства Чебышева может стать отрицательной.

Закон больши́х чисел

Неравенство Чебышёва позволяет  доказать замечательный результат, лежащий в основе математической статистики — закон больши́х чисел. Из него вытекает, что выборочные характеристики при возрастании числа опытов приближаются к теоретическим, а это даёт возможность оценивать параметры вероятностных моделей по опытным данным. Без закона больши́х чисел не было бы большей части прикладной математической статистики.

Теорема Чебышёва. Пусть случайные величины   попарно независимы и существует число   такое, что   при всех  . Тогда для любого положительного   выполнено неравенство(11)