Численное решение и программная реализация задачи о провисании цепи

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НЕФТЕКАМСКИЙ  ФИЛИАЛ

ФЕДЕРАЛЬНОГО  ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

  «БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

 

Экономико-математический факультет Кафедра математического  моделирования и информационной безопасности

 

 

 

КУРСОВАЯ работа

по дисциплине «Системный анализ»

на  тему

«Численное решение и программная реализация задачи о провисании цепи»

 

 

 

Выполнил: студент 4 курса  очной формы обучения группы М-41 Габдрахимова Г.С.______   Научный руководитель: к.ф.-м.н., доц. Сафина Г.Ф.

 

 

 

 

Нефтекамск 2012

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение	3
Численные методы решений систем нелинейных уравнений	6
Решение систем нелинейных уравнений	6
Метод Ньютона–Рафсона	7
Метод спуска	9
Метод простой итерации и метод Зейделя	13
Задача о провисании цепи	16
Постановка задачи	16
Вывод уравнения цепной линии	17
Вычисление длины плоской линии	20
3  Программная реализация решений задач	23
3.1 Программная реализация решения задачи о провисании цепи	23
3.1.1 Описание программы	23
3.1.2 Тестирование программы	23
3.2 Программная реализация метода  Ньютона – Рафсона	26
3.2.1 Описание программы	26
3.2.2 Тестирование программы	27
Заключение	31
Список использованных источников и  литературы	32
Приложение А Листинг программы  «Задача о провисании цепи»	33
Приложение Б Листинг программы «Метод Ньютона – Рафсона»	39

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Решение систем нелинейных уравнений является одной из важных математических задач, возникающих в различных разделах физики, химии, биологии и других областях науки и техники.

В отличие от систем линейных уравнений  для систем нелинейных уравнений  не известны прямые методы решения. Лишь в отдельных случаях систему  можно решить непосредственно. Например, для системы из двух уравнений  иногда удается выразить одно неизвестное  через другое и таким образом  свести задачу к решению одного нелинейного  уравнения относительно одного неизвестного. Поэтому итерационные методы для  нелинейных систем приобретают особую актуальность.

Методы решений систем нелинейных уравнений были рассмотрены во всех учебниках по численным методам, в том числе в работах В.М. Вержбницкого¹, Н.С. Бахвалова², П.Ф. Фильчакова,³ Дж. Шнабеля, В.И. Киреева и А.В. Пантелеева⁴. В данных работах содержатся классические разделы численного анализа: метод алгебры, теории приближения функций одной переменной с их приложениями, разностные методы решения задач Коши, численные методы решения уравнений математической физики с двумя и тремя переменными. Приводится большое число пояснительных примеров, имеющих самостоятельную прикладную ценность и служащих справочным материалом.

В книгах Г. Корна, А. Жидкова и Н.С. Дубровской⁵ изложены методы решений систем линейных уравнений, методы решения нелинейных уравнений, интерполирование и экстраполирование, математическая обработка данных, численное интегрирование и дифференцирование. Теоретический материал иллюстрируется многочисленными примерами.

В книге С.А. Абрамова⁶ предложен курс программирования, разделенный на несколько частей: начальный курс и дополняющие. Начальный курс представляет собой выборку из языка, по объему и содержанию достаточную для изучения процедурного программирования. Остальные части учебника последовательно дополняют первую, включая специфические разделы, что в общем соответствует курсу объектно – ориентированного программирования, а также некоторые другие, избранные разделы. Специальный раздел посвящен решению задач программными методами.

В отличие от изученных работ  по численным методам, решению систем нелинейных уравнений в данной курсовой работе  решается задача провисания цепи численными методами и проводится программная реализация этого решения.

Целью курсовой работы является изучение и применение численных методов к задаче о провисании цепи и программная реализация задачи.

В соответствии с целью поставлены следующие задачи:

• изучение методов приближенного решения систем нелинейных уравнений (метод Ньютона – Рафсона, метод спуска, метод простой итерации и метод Зейделя);
• решение задачи о провисании цепи;
• программная реализация решения задачи.

Методы исследования. Поставленная задача решалась аналитически и с  применением вычислений на ЭВМ.

Практическая значимость работы состоит в том, что разработанная программа решения задачи о провисании цепи позволяет определить точные и приближенные значения расстояния цепи от земли и величину “отстояния” этого расстояния от первого столба.

Курсовая работа состоит  из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Во введении проведен обзор литературы по теме исследования, указаны цели и задачи работы.

Первая глава посвящена  приближенным методам решения систем нелинейных уравнений. Приведены основные положения по методу Ньютона –Рафсона, методу спуска, методу простой итерации и методу Зейделя.

Вторая глава посвящена изучению задачи о провисании цепи. Приведен вывод уравнения цепной линии и вычисление длины плоской линии.

Третья глава содержит программную реализацию задачи о провисании цепи на языке Delphi.

В заключении подведены итоги  исследований, сделаны основные выводы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

 

1.1 Решение систем нелинейных уравнений

 

 

Систему нелинейных уравнений с n неизвестными можно записать в виде⁷

 

               (1.1)

 

 

Более коротко, в векторной форме , где – вектор неизвестных величин, – вектор – функция

 

 

, , .

 

 

В редких случаях  для решения такой системы  удается применить метод последовательного  исключения неизвестных и свести решение исходной задачи к решению  одного нелинейного уравнения с  одним неизвестным. Значения других неизвестных величин находятся  соответствующей подстановкой в  конкретные выражения. Однако в подавляющем  большинстве случаев для решения  систем нелинейных уравнений используются итерационные методы.⁸

В дальнейшем предполагается, что ищется изолированное решение  нелинейной системы.

Как и в случае одного нелинейного  уравнения, локализация решения  может осуществляться на основе специфической  информации по конкретной решаемой задаче (например, по физическим соображениям), и с помощью методов математического анализа. При решении системы двух уравнений, достаточно часто удобным является графический способ, когда месторасположение корней определяется как точки пересечения кривых на плоскости .

 

1.2 Метод Ньютона – Рафсона

 

Если определено начальное  приближение  итерационный процесс нахождения решения системы (1.1) методом Ньютона можно представить в виде⁹:

 

    (1.1.1)

 

где значения приращений определяются из решения системы линейных алгебраических уравнений, все коэффициенты которой выражаются через известное предыдущее приближение :

 

 

 

 

В векторно – матричной форме расчетные формулы имеют вид:

 

   (1.1.2)

 

где вектор приращений находится из решения уравнения (1.1.3).

 

.   (1.1.3)

 

Здесь – матрица Якоби первых производных вектор – функции

Выражая из (1.1.3) вектор приращений и подставляя его в (1.1.2), итерационный процесс нахождения решения можно записать в виде:

 

 

где – матрица, обратная матрице Якоби.

Для уменьшения арифметических действий Рафсон предложил не вычислять обратную матрицу, а вычислять поправки, как решение систем линейных уравнений, поэтому данный метод получил название метода Ньютона – Рафсона.

Использование метода Ньютона предполагает дифференцируемость функций и невырожденность матрицы Якоби ( ). В случае, если начальное приближение выбрано в достаточно малой окрестности искомого корня, итерации сходятся к точному решению, причем сходимость квадратичная.

В практических вычислениях в качестве условия окончания итераций обычно используется критерий

 

,     

 

где ε – заданная точность.

 

1.3 Метод спуска

 

Общий недостаток всех рассмотренных  выше методов решения систем нелинейных уравнений  состоит в локальном  характере сходимости, затрудняющем их применение в случаях, когда существуют проблемы с выбором начального приближения, обеспечивающего сходимость итерационной вычислительной процедуры. В этих случаях можно использовать численные методы оптимизации.¹⁰ Для использования наглядной геометрической интерпретации приводимых ниже рассуждений и их результатов ограничимся, рассмотрением системы, состоящей из двух уравнений с двумя неизвестными

 

     (1.3.1)

 

Из функций  , системы (1.3.1) образуем новую функцию

 

                                   (1.3.2)

 

Так как эта функция неотрицательная, то найдется точка (вообще говоря,

не  единственная) , такая, что

 

   

  

 

Следовательно, если тем или иным способом удается получить точку  , минимизирующую функцию , и если при этом окажется, что то точка - истинное решение системы (1.3.1), поскольку

 

 

 

Последовательность точек  - приближений к точке минимума функции - обычно получают по рекуррентной формуле

 

                                                                   (1.3.3)

 

 

где - вектор, определяющий направление минимизации, а - скалярная величина, характеризующая величину шага минимизации (шаговый множитель). Учитывая геометрический смысл задачи минимизации функций двух переменных - «спуск на дно» поверхности (рис. 1.3), итерационный метод (1.3.3) можно назвать методом спуска, если вектор при каждом k является направлением спуска (т.е. существует такое , что ) и если множитель подбирается так, чтобы выполнялось условие релаксации , означающее переход на каждой итерации в точку с меньшим значением минимизируемой функции.

Таким образом, при построении численного метода вида (1.3.2) минимизации функции следует ответить на два главных вопроса: как выбирать направление спуска и как регулировать длину шага в выбранном направлении с помощью скалярного параметра - шагового множителя . Приведем простые соображения по этому поводу.

При выборе направления спуска естественным является выбор такого направления, в котором минимизируемая функция убывает наиболее быстро.

 

Рисунок 1.3.1 - Пространственная интерпретация метода наискорейшего  спуска для функции (1.3.2)	Рисунок 1.3.2 - Траектория наискорейшего спуска для  функции (1.3.2)

 

Как известно из математического  анализа функций нескольких переменных, направление наибольшего возрастания функции в данной точке показывает ее градиент в этой точке. Поэтому примем за направление спуска вектор