Шпаргалка по "Математике"

2 вопрос: Основные периоды развития математики

Периодизация истории математики по Колмогорову

До сегодняшнего дня  периодизация остается той, какой ее предложил Колмогоров. Условно вся история математики делится на 4 периода:

1)         Подготовительный (накопительный) период - это примерно 30в.до н.э. – до 7 в.до н.э. - Математика появилась не без того, что у людей появилась потребность в математике.

Понятие «число» появилось одним из самых первых в истории математики.  Человек вначале считал только с помощью того, что ему попадалось под руку. Долго он не догадывался, что счет можно делать абстрактно. Мы знаем, что происходило в это время из того, что найдено археологами.

От следующих цивилизации от них пришли документы, в которых существует какая-то истории:  Древний Египет и Месопотамия (Вавилония).

Из Др. Египта к нам пришли материалы, которые сохранились на папирусах. В Вавилоне основной материал– это были глиняные таблички.  На глиняных табличках была отображена, как и в папирусах числовая система и то, как формировалось понятие числа, с помощью каких чисел (или какого исчисления) они вели счет, а кроме того, там были и различные формулы, правила, решались задачи. Египет в основном подарил математике хорошо сформировавшееся понятие фигуры, ее площади, и даже ее объема. А в Вавилонии уклон был больше в алгебру.

Особенностью этого периода является то, что это донаучный период в математике. Вся математика этого периода  - это рецептурная математика. Период алгоритмов котор. диктовались но не обосновывались. В этот период выявились теоретические действия – т.е. решения каких-то теоретич. вопросов.

2)                       Период математики постоянных величин – 7,6 в. до н.э. – 16-нач.17вв.н.э.

Цивилизации здесь – Греция, другие эллинистические государства (те, которые на западном побережье, Римская империя (западная и восточная),  на смену рим. им. пришел арабский халифат и Западная Европа, Средневековые Китай, Индия, Япония, Европа периода Возрождения.

С этого периода начинается научный период истории математики – математики как науки.

От греков начался доказательный период математики. С именем Фалеса связана доказательная математика.

Говоря о Греции – это школа Мелета, - сюда относится Фалес. По-настоящему крупная школа – это школа Пифагора. Эта школа, в которой было философской основой всего сущего было число. В этой школе довольно большой материал был наработан для раздела математики – теория чисел. Школа Евдокса. Евдокс занимался вещественным понятием числа, с т.зр. как абстрактного понятия. Евдоксу, также, принадлежит метод исчерпывания. Этот метод Евдокс применял тогда, когда гипотеза о формуле высказана (для площади, или для объема) и нужно это доказать. Школа Платона. Открытие и изучение правильных многогранников.

Аристотель – в  мат-ку внес формальную логику.

Эллинистические государства.

Ученые внесшие в мат-ку огромный вклад – Евклид, Архимед, Ополоний, Эратосфен, позже Герон, Диофант.

На смену Римской империи в 7 в. н.э. на большую часть ее территории пришли новые народы – арабы. В рамках Арабского Халифата можно назвать такие имена, как Аль Хорезми (с его именем связано название алгоритма), Омар Хайям –является первым (12 в.), кто поставил по поводу 5-го постулата Евклида вопрос так: пусть будет две геометрии – пусть имеет место и сам постулат, и его противоположность. Последний представитель Ал Каши.

Западная Европа. Период 15-16 вв. – период когда были решены задачи о представлении решения уравнений 3-4ой степени с помощью иррациональности. Именно, в Европе появилась хорошая символика (создал ее по большей части Виет).

3)                       математика переменных величин (17-18в.).

Внесли больший вклад в это время: Англия и Германия (период создания мат.анализа, теории бесконечно малых), Франция, Италия. Пришли к необходимости решать задачи, связанные с движением. Появление таких задач, они вызвали в жизни необходимость ввести переменные величины, а раз они есть – есть понятие функции.

Ученые: Кеплер, Галилей, Декарт, Ферма, Паскаль, + Торричелли, + Робирвиль и Кавальери – внесли вклад в развитие дифференциального исчисления, Барроу(л) Исаак (учитель Ньютона).

Работы этих ученых были осмысленны крупными учеными – Ньютон и Лейбниц(создатели интегрального дифференц. исчисления).

Заканчивается период мат-ки переменных величин, и новый период выделяется:

4)                       Современная математика (19в. – 20в.) - была последние века создана, и котор. развивалась на базе всего того что было создано. Начиная с периода неевклидовой геометрии - появилась логика, философ. проблемы связанные с мат-кой.

19в. Коши, Гаусс, Даламбер, Вейерштрасс, Остроградский, Лобачевский, Абель, Галуа, Колмогоров.

Середина 20в. – это появление функционального анализа, математическая логика, алгебраическая геометрия.

3 вопрос: Причины и истоки возникновения мат.знаний

Причины и истоки возникновения мат.знаний. – это потребность в счете, в конструировании, потребность в осознании природы, и потребность, связанная с построение космических моделей строения Вселенной. Математика появилась не без того, что у людей появилась потребность в математике (когда без счета, распределения, каких-то правил, невозможным становится жить в человеческом обществе).

Практические и религиозные основания первоначальных мат.представлений. – нужно было делать календари, нужно было просчитывать праздники. Это снования как устроена природа, благодаря чему в ней явления – необходимость изучения загадочных явлений, а они и связаны с проведением вычислений, измерений, построением моделей. Модели вселенной. Также, человечество строило храмы, т.е. развивался интеллект часто в рамках богов – в особенности Греция, которая еще до научного периода до 6 в. до н.э. – мифология греческая – жили и считали, что они вместе с богами, и должны были объяснить как боги помогают им. Все это приводило к тому, что человек должен был уметь считать  какие то логически связи, законы, рецепты, чтобы жить в этом мире.

Математика в догреческих цивилизациях. – это Египет, Вавилон прежде всего.

Если условно всю историю математики поделить на 4 периода(периодизация по Колмогорову): подготовительный (накопительный) период(30в. до н.э. – до 7 в. до н.э.), период математики постоянных величин (условно 7,6 в. до н.э. – 16-нач.17вв. н.э.), период  математики переменных величин (17-18в.), современная математика (19в. – 20в.), то математика в догреческих цивилизациях относится к подготовительному периоду.

Цивилизации, в документы, что пришли из них, в них есть какая-то история, это: Древний Египет и  Вавилония.

Из Др. Египта к нам пришли материалы, которые сохранились на папирусах. Из  Вавилонии – глиняные таблички. В них была отображена, как и в папирусах  числовая система и то, как формировалось понятие числа, с помощью каких чисел (или какого исчисления) они вели счет, а кроме того, там были и различные формулы, правила, решались задачи. Таким образом, две эти цивилизации внесли свой вклад.

Египет в основном подарил математике хорошо сформировавшееся понятие фигуры, ее площади, и даже ее объема. А в Вавилонии уклон был больше в алгебру. Др.Е. очень долго была десятеричная непозиционная система счисления. А это значит, что они каким то одним символом обозначали 10-ки, единицы, сотни, вплоть до 1000. Что касается Вавилонской сист. счисления – она позиционная, кроме того их сразу 2-е. С 20в. д.н.э. сразу на табличках остались следы, что они пользовались 10-ной и 60-ричной позиционной сист. счисления.

Но особенностью этого периода является то, что это донаучный период в математике. Вся математика этого периода  - это рецептурная математика. Особенность – это период рецептурной математики.  Период алгоритмов котор. диктовались но не обосновывались.

В этом периоде сформир-сь понятия числа и фигуры, кр. того были указаны методы решения каких-то уравнений, в Ег 1-ой степени, в Вав. вплоть до 2-ой. В геометрии были формулы. Формулы у египтян  могли быть записаны через иероглифы или в словесном виде, но как правило это были рецепты, по котор. можно было вычислять то или другое. Основной числовой материал и в Ег и в Вав. этого периода – это положительн. рациональные числа.

Проблема влияния египетской и вавилонской мат-ки на мат-ку Др.Греции. – греческая математика хоть она и носила совершенно другой характер – доказательный, индуктивный характер – но питалась она достижениями египетской и вавилонской математики. Т.е. результаты в области математики греки не переоткрывали их, а пользовались этими знаниями. И основная их заслуга в том, что они сделали обоснование – из догматического характера математику превратили в научную, придали ей доказательный характер.

5 вопрос: Математика Древнего Вавилона

Если условно всю историю математики поделить на 4 периода(периодизация по Колмогорову): подготовительный (накопительный) период(30в. до н.э. – до 7 в. до н.э.), период математики постоянных величин (условно 7,6 в. до н.э. – 16-нач.17вв. н.э.), период  математики переменных величин (17-18в.), современная математика (19в. – 20в.), то математика Древнего Вавилона относится к подготовительному периоду.

Подготовительный (накопительный) период - Здесь человечество довольно медленно двигалось к какому-то определенному культурному развитию, как и математика. Математика появилась не без того, что у людей появилась потребность в математике (когда без счета, распределения, каких-то правил, невозможным становится жить в человеческом обществе). На самом деле понятие «число» появилось одним из самых первых в истории математики. И формировалось оно вначале из чисто житейских потребностей в этом числе.

Откуда мы знаем, что происходило в это время? Знаем из того, что найдено археологами. Цивилизации, на основании их истории, документы что пришли из них, в них есть

В Древнем Вавилоне основной материал, по которому мы выясняем, что было – это глиняные таблички, на которых нанесены зарубки, с их помощью был изложен какой-то материал. Примерно до 3 в. н.э. с символикой было очень туго, - приходилось очень много писать(писалось все на риторическом языке). В табличках была отображена числовая система и то, как формировалось понятие числа, с помощью каких чисел (или какого исчисления) они вели счет, а кроме того, там были и различные формулы, правила, решались задачи.

В Вавилонии уклон был в алгебру. Вавилонской сист. счисления – она позиционная, кроме того их сразу 2-е.: 10-най и 60-ричнай позиционной сист. счисления. Почему у вавилонян такая сложная сист. исчисления? Предполагается, что на этой территории жили различные шумерские племена, - и били денежные единицы, которые легко можно было вложить в 10-ную сист.счисления. А также были, единицы, которые можно было бы делить на 2,3,6, 12. Поэтому решили сделать такую систему счисления, в которой учувствовали делители– из одной системы 2-ка и 5-ка, из другой 3-ка. Оптимальная - 60-ричная система. Но, есть другая т.зр.: это период, когда народы селились у берегов рек Евфрат и Тигр – довольно полноводны, богаты илом, котор. удобряет землю. Но в опредл. периоды между реками было пространство с засушливой землей. И первая проблема, которая была – нужно было  обводнять – строить каналы, чтоб туда попадала вода, в засушливое время. Но еще обе эти реки меняли свое русло. Вавилоняне заметили, как эти реки, примерно, меняют русла, когда они более-менее полноводны. Плюс еще обращали внимание на то, когда дождливая погода для орошения земли – таким образом было замечено, что все это связано с космическими явлениями, котор. связаны с планетами и звездами. Т.к. появилась необходимость заниматься астрономическими вещами, заметили, что более удобным будет воспользоваться делением часа на 60 минут, минуты на 60 сек.

Вавилоняне, в большей степени были алгебраистами. Они умели решать уравнения второй степени. Они знали т. Пифагора, хотя это было задолго до его рождения. Был нарисован треугольник и внизу подписано, что если взять одну прямую и повторить ее саму на себя, то это будет сама формула. На многих табличках и при решении многих задач особенно связанных с задачами построения дамб, оросительных каналов – встречается именно это соотношение. В глиняных табличках были таблицы кубов некоторых чисел.

Вся математика носила рецептурный характер. Т.е. все, что там записано - записано в виде рецепта, который не обсуждается, он просто предлагается.

В Вав. положительные рациональные  числа были как мат-кие объекты,  нуля не было, поэтому была большая трудность у 60-ричной системы позиционной( т.к. не было понятно –одним символом обозначается и 6, и 60). С этим справлялись – ставили или точки, или запитые, и по смыслу задачи догадывались какая там позиция этого объекта. А отрицат.числа не считали решением таких-то уравнений, как мат. объект. Просто говорили – есть прибыль, есть долг.

Кто творил эту математику? В какой-то период  у того или иного народа (племени), появлялись излишки, помимо того необходимого для проживания, – появление этих излишков создавало возможность для некотор. части общества, которая имела эти излишки, могла их использовать, заниматься не обязательно конкретным производством, а могла просто заниматься исследованием того, что они видят.

5 вопрос: Математика Древнего Египта

Если условно всю историю математики поделить на 4 периода(периодизация по Колмогорову): подготовительный (накопительный) период(30в. до н.э. – до 7 в. до н.э.), период математики постоянных величин (условно 7,6 в. до н.э. – 16-нач.17вв. н.э.), период  математики переменных величин (17-18в.), современная математика (19в. – 20в.), то математика Древнего Египта относится к подготовительному периоду.

Подготовительный (накопительный) период - Здесь человечество довольно медленно двигалось к какому-то определенному культурному развитию, как и математика. Математика появилась не без того, что у людей появилась потребность в математике (когда без счета, распределения, каких-то правил, невозможным становится жить в человеческом обществе). На самом деле понятие «число» появилось одним из самых первых в истории математики. И формировалось оно вначале из чисто житейских потребностей в этом числе.

Откуда мы знаем, что происходило в это время? Знаем из того, что найдено археологами. Цивилизации, на основании их истории, документы что пришли из них, в них есть какая-то история, это: Древний Египет и Вавилония.

Из Др. Египта к нам пришли материалы, которые сохранились на папирусах. В них была отображена  числовая система и то, как формировалось понятие числа, с помощью каких чисел (или какого исчисления) они вели счет, а кроме того, там были и различные формулы, правила, решались задачи.

Египет в основном подарил математике хорошо сформировавшееся понятие фигуры, ее площади, и даже ее объема. Др.Е. очень долго была десятеричная непозиционная система счисления. А это значит, что они каким то одним символом обозначали 10-ки, единицы, сотни, вплоить до 1000

Нил – это такая полноводная река, которая разливается 2 раза в год, 2 раза в год, земледельцы могут получать с удобренной илом земли урожай. Люди получали земельные наделы. Их нужно было разметить. Потом река разливалась и смывала все границы. Поэтому нужно было очень хорошо мерить и перемерять эти территории. Кроме того, с др Ег. связаны пирамиды, и чтобы обсчитывать ее объем и площадь поверхности в др. ег. была известно формула объема и площади поверхности усеченной пирамиды. Поэтому из папирусов Др. ег. пришло очень много