Моделирование и прогнозирование экономических процессов

 

 

 

Задача №1. Постройте схему межотраслевого баланса, если задана матрица прямых затрат А и матрица конечного продукта Y:

 

 0,2 0,4 0,1   250

 

А =  0,3 0,3 0,2 ,   Y =  300

 

0,4 0,1 0,2   200

 

Составьте схему межотраслевого баланса. Определите межотраслевые поставки.

 

Решение:

 

Так как 0,2+0,3+0,4=0,9,   0,4+0,3+0,1=0,8, 0,1+0,2+0,2=0,5, то матрица А продуктивна.

Найдем матрицу Е-А. Имеем:

0,8 -0,4 -0,1

 

Е-А=  -0,3 0,5 -0,2

 

-0,4 -0,1 0,9

 

Составим матрицу обратную для Е-А.

 

А11 А21 А31

 

(Е-А)-1=       1             А12 А22 А32

det(Е-А) 

А13 А23 А33

 

Найдем все алгебраические дополнения элементов. Получим:

 

0,8 -0,4 -0,1

 

det(А-Е)= -0,3 0,5 -0,2 = 0,181

 

-0,4 -0,1 0,9 

 

 0,5 -0,2

А11 =  -0,1 0,9 = 0,43

 

 

 -0,4 -0,1

А21 =  -0,1 0,9 = -0,37

 

 

 -0,4 -0,1

А31 =  0,5 -0,2 = 0,13

 

 

 -0,3 -0,2

А12 = - -0,4 0,9 = 0,19

 

 0,8 -0,1

А22 =  -0,4 0,9 = 0,68

 

 

  0,8 -0,1

А32 = - -0,3 -0,2 = 0,19

 

 

 -0,3 0,5

А13 =  -0,4 -0,1 = 0,23

 

 

  0,8 -0,4

А23 = -  -0,4 0,1 = 0,24

 

 

 

 0,8 -0,4

А33 =  -0,3 0,5 = 0,28

 

Значит:

 

0,43 -0,37 0,13

 

(Е-А)-1=       1             0,19 0,68 0,19

    0,181

0,23 0,24 0,28

 

 

Найдем вектор валового выпуска каждой отрасли:

 

 

0,43 -0,37 0,13     250   22,5        124,3

 

Х = (Е-А)-1 х Y =          1         0,19 0,68 0,19     300    =        1        289,5  =   1599,4

            0,181              0,181

0,23 0,24 0,28     200   185,5        1024,9

 

 

Рассчитаем межотраслевые поставки:

 

х11= а11*х1 = 24,86  х21= а21*х1 = 37,29  х31= а31*х1 = 49,72

 

х12= а12*х2 = 639,76  х22= а22*х2 = 479,82  х32= а32*х2 = 159,94

 

х13= а13*х3 = 102,49  х23= а23*х3 = 204,98  х33= а33*х3 = 204,98

Схема межотраслевого баланса задается следующей таблицей:

Производящие отрасли	Потребление			Конечный продукт	Валовый выпуск
	I	II	III
I	24,86	639,76	102,49	250	124,3
II	37,29	479,82	204,98	300	1599,4
III	49,72	159,94	204,98	200	1024,9

Задача №2. Дана схема межотраслевого баланса

 

Производящие отрасли	Потребление			Конечный продукт	Валовый выпуск
	I	II	III
I	70	90	50	150	360
II	30	80	100	200	410
III	75	105	80	250	510

 

Найдите: а) матрицу прямых затрат А; б) матрицу полных затрат В; в) поставки каждой отрасли потребителям для получения конечного продукта каждой отрасли в отдельности.

 

Решение:

 

а11= х11 : х1 = 0,2  а21= х21 : х1 = 0,08  а31= х31 : х1 = 0,2

 

а12= х12 : х2 = 0,2  а22= х22 : х2 = 0,2  а32= х32 : х2 = 0,3

 

а13= х13 : х3 = 0,1  а23= х23 : х3 = 0,2  а33= х33 : х3 = 0,5

 

  Матрица прямых затрат А:

0,2 0,2 0,1

 

А =  0,08 0,2 0,2

 

0,2 0,3 0,5

 

Матрица В = (Е – А)-1, так как 0,2+0.2+0,3=0,48,  0,2+0,2+0,3=0,7, 0,1+0,2+0,5=0,8, то матрица А – продуктивна.

 

Найдем матрицу Е-А

 

 

 

0,8 -0,2 -0,1

 

  Е-А =  -0,08 0,7 -0,2 

 

-0,2 -0,3 0,48

 

 

 

 

 

А11 А21 А31

 

В = (Е-А)-1=          1             А12 А22 А32

            det(Е-А) 

А13 А23 А33

 

Найдем все алгебраические дополнения элементов. Получим:

 

 

 

 

 

0,8 -0,2 -0,1

 

det(Е-А) =  -0,08 0,7 -0,2 = 0,189

 

-0,2 -0,3 0,48

 

 

 

 0,7 -0,2

А11 =  -0,3 0,48 = 0,276

 

 

 -0,2 -0,1

А21 =  -0,3 0,48 = 0,126

 

 

 -0,2 -0,1

А31 =  0,7 -0,2 = 0,11

 

 

 -0,08 -0,2

А12 = - -0,2 0,48 = 0,078

 

 0,8 -0,1

А22 =  -0,2 0,48 = 0,364

 

 

  0,8 -0,1

А32 = - -0,08 -0,2 = 0,168

 

 

 -0,08 0,7

А13 =  -0,4 -0,3 = 0,116

 

 

  0,8 -0,2

А23 = -  -0,2 -0,3 = 0,28

 

 

 

 0,8 -0,2

А33 =  -0,08 0,7 = 0,4

 

Значит:

 

 

0,276 0.126 0,11  1,46 0,02 0,58

 

В = (Е-А)-1=          1             0,078 0,364 0,168   =  0,46 2,01 0,89 

            0.189 

0.116 0,28 0,4  0,61 1,48 2,11

Задача №3. Два цеха предприятия выпускают продукцию двух видов:

• первый цех – продукцию 1-го вида

• второй – 2-го вида.

Часть выпускаемой продукции идет на внутреннее потребление, остальная часть является конечным продуктом. Требуется выявить распределение продукции между цехами, идущей на внутреннее потребление и общие объемы выпускаемой продукции, если матрицы прямых затрат A и ко-нечного продукта Y имеют ви

 

0,2 0,1   130

А =     Y =  

0,25 0,2   190

 

 

Решение:

Так как 0,2 + 0,25 = 0,45, 0,1 + 0,2 = 0,3, то матрица А продуктивна.

Найдем матрице Е – А.  Имеем

 

      0,3        -0,1

Е – А =   

     -0,25    0,45

 

Составим матрицу обратную для Е – А.

 

          1                А11    А21

(Е –  А)-1 =     

       det (Е-А)      А12       А22 

 

 

0,3 -0,1

det (Е-А) =   = 0,11

-0,25 0,45

 

Значит:

          1                0,3    -0,1

(Е –  А)-1 =     

       0,11      -0,25  0,45 

 

Найдем вектор валового выпуска каждой отрасли:

 

 

                  1                0,3    -0,1       130           1              20  181,82

Х = (Е – А)-1 =          =   0,11     =

                 0,11      -0,25  0,45       190      59,5  540,91

 

 

Рассчитаем межотраслевые поставки:

 

 

х11 = а11 * х1 =36,364  х12 = а12 * х2 = 135,23

х21 = а21 * х1 = 18,182 х22 = а22 * х2 = 108,182

Задача №4. Приведите примеры функции Кобба-Дугласа и найдите для нее объем выпускаемой продукции.

 

Решение: пусть функция Кобба-Дугласа имеет вид  y = e2t(3t+1)

Воспользовавшись интегрированием по частям, найдем, что объем выпуска продукции имеет вид:

                2          2

        2   u=3t+1  du=3dt   e2t     3    2

Q = ʃ е2t (3t+1)dt =          = (3t+1) ------ - ---- ʃ  e2t dt = 7/2 e4 – ½ - ¾ e2t

       0    v=e2t  v=1/2*e2t  2     2   0

 

        0          0

= 7/2 e4 – ½ - ¾ e4 + ¾ = 11e4+1/4 ≈ 150 (усл. ед.)

 

 

Задача №5. Функция спроса q предложения s от цены p выражаются соответственно равенствами q = 5 – p,  s = p + 2.

Найдите а) равновесную цену;

     б) эластичность спроса  и предложения для этой цены.

 

Решение:

а) равновесную цену найдем, решив уравнение:

 

5 – p = p + 2,  p = 1

 

б) найдем эластичность спроса. Получим

 

Ер (q) = (p / 5 – p) * (-1) = p / p – 5

тогда, если р = 1, то

 

Е1 (q) = 1/ -4 = -1/4

 

Найдем эластичность предложения. Получим

 

Е1 (s) = 1/(1+2) = 1/3.

 

Задача №6. Определить дисконтированный доход за 2 года, если процентная ставка 6%, первоначальное вложение составляет 10 млн. руб. и предположительное увеличение капиталов на 3 млн. руб.

 

Решение: Исходя из условия ƒ (t) = 5 + 2t. Тогда дисконтированный доход будет равен:

       2   u = 3t+10 du=3dt    2 2

К = ʃ (3t+10) e-0,1 t dt           = (3t+10) (-6e0,1t)      + 20 ʃ e0,1tdt = 250 – 350e-0,5≈

       0   dv=e-0,1t+dt v= -6e0,1t   0 0

 

37,7 млн. руб.

 

Задача №7.

Издержки на изготовление продукции определяются по формуле y = aq +b, где q – объем выпущенной продукции, причем для двух технологических процессов изготовления продукции это разные функции, для первого – у =1,5q + 20, для второго – у = 1,475q+ 10.

Определите, какой из технологических процессов выгоднее от q. Найдите себестоимость продукции для обоих вариантов при q= 200 усл. ед.

Решение:

для первого процесса издержки производства -  у = 1,5 * 200 + 20 = 320

для второго процесса издержки производства -  у = 1,475 * 200 + 10 = 305.

Выгоднее второй технологический процесс, так как издержки производства меньше.

 

Задача №8

1. Решите симплекс-методом задачи:

z=8х1-6х2-5х3+2х4 → max;

Решим прямую задачу линейного программирования   симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 8x1 - 6x2 - 5x3 + 2x4 при следующих условиях-ограничений.

x1 + 4x2 - x3 + x4=16

4x1 - 6x2 + 3x3 - 7x4=20

Введем искусственные переменные x: в 1-м равенстве вводим переменную x5; в 2-м равенстве вводим переменную x6;

1x1 + 4x2-1x3 + 1x4 + 1x5 + 0x6 = 16

4x1-6x2 + 3x3-7x4 + 0x5 + 1x6 = 20

Для постановки задачи на максимум целевую функцию запишем так:

F(X) = 8x1-6x2-5x3+2x4 - Mx5 - Mx6 → max

Из уравнений выражаем искусственные переменные:

x5 = 16-x1-4x2+x3-x4

x6 = 20-4x1+6x2-3x3+7x4

которые подставим в целевую функцию:

F(X) = (8+5M)x1+(-6-2M)x2+(-5+2M)x3+(2-6M)x4+(-36M) → max

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

 

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

x5, x6,

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,0,0,16,20)

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x5	16	1	4	-1	1	1	0
x6	20	4	-6	3	-7	0	1
F(X0)	-36M	-8-5M	6+2M	5-2M	-2+6M	0	0

 

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Итерация №0.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1

и из них выберем наименьшее:

...........................

Следовательно, 2-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (4) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	min
x5	16	1	4	-1	1	1	0	16
x6	20	4	-6	3	-7	0	1	5
F(X1)	-36M	-8-5M	6+2M	5-2M	-2+6M	0	0	0

 

 

Получаем новую симплекс-таблицу:

.........................

Итерация №1.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2

и из них выберем наименьшее:

...........................

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (51/2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	min
x5	11	0	51/2	-13/4	23/4	1	-1/4	2
x1	5	1	-11/2	3/4	-13/4	0	1/4	-
F(X2)	40-11M	0	-6-51/2M	11+13/4M	-16-23/4M	0	2+11/4M	0