Замечательные кривые в математике

• Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра (оси OY в данном случае) равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки.
• Касательные в двойной точке составляют с отрезком F₁F₂ углы .
• Лемнискату описывает окружность радиуса , поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.
• Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит лемнискату Бернулли в равнобочную гиперболу.
• Для представления в полярных координатах , верно следующее
• Площадь полярного сектора , при :

• В частности, площадь каждой петли  .
• Радиус кривизны лемнискаты есть

                                              

 

4.8.

Локон Аньези

Верзье́ра (верзие́ра) Анье́зи (иногда ло́кон Анье́зи) — плоская кривая, геометрическое место точек M, для которых выполняется соотношение , где OA — диаметр окружности, BC — полухорда этой окружности, перпендикулярная OA. Своё название верзьера Аньези получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези, исследовавшей эту кривую.

Уравнения

O = (0,0), A = (0,a)

• В прямоугольной системе координат:

Вывод  [показать]

• Параметрическое уравнение:

, где  — угол между OA и OC

Вывод  [показать]

• В полярной системе уравнение верзьеры достаточно сложное: чтобы найти его необходимо решить кубическое уравнение:

Однако полученная формула будет слишком сложной  и громоздкой, чтобы иметь какое-либо практическое значение.

Свойства

• Верзьера — кривая третьего порядка.
• Диаметр OA единственная ось симметрии кривой.
• Кривая имеет один максимум — A(0;a) и две точки перегиба —
• В окрестности вершины A верзьера приближается к окружности диаметра OA. В точке A происходит касание, и кривая совпадает с окружностью. Это показывает величина радиуса кривизны в точке A: .
• Площадь под графиком S = πa². Она вычисляется интегрированием уравнения по всему .
• Объём тела вращения верзьеры вокруг своей асимптоты (оси OX) .

4.9.  Улитка Паскаля

 

Три улитки паскаля, конхоиды чёрной окружности: зелёная  , красная (кардиоида) и синяя

Улитка Паскаля ― плоская алгебраическая кривая 4-го порядка; подера окружности, конхоида окружности относительно точки на окружности, частный случай Декартова овала, она также является эпитрохоидой. Названа по имени Этьена Паскаля (отца Блеза Паскаля), впервые рассмотревшего её.

 Уравнения

Уравнение в прямоугольных координатах:

в полярных координатах:

Свойства

• Начало координат ―
• узловая при .
• точка возврата при (в этом случае Улитка Паскаля называется кардиоидой).
• двойная точка, изолированная при .
• Длина дуги выражается эллиптическим интегралом 2-го рода.
• Площадь, ограниченная улиткой Паскаля: 
       ; 
  при площадь внутренней петли при вычислении по этой формуле считается дважды.
• В случае , улитка Паскаля также называется трисектри́са.

4.10. Декартов лист

Декартов лист — плоская кривая третьего порядка, удовлетворяющая уравнению в прямоугольной системе x³ + y³ = 3axy. Параметр 3a определяется как диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде петли.

Уравнения

• В прямоугольной системе по определению:

• В полярной системе:

.

• Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:

, где  .

Повёрнутый декартов лист

Уравнения

• В прямоугольной системе:

, где 

• Параметрическое:

• В полярных координатах:

 

Свойства

• Прямая OA — ось симметрии, её уравнение: y = x.
• Точка A называется вершиной, её координаты .
• Для обеих ветвей существует асимптота UV, её уравнение: x + y + a = 0.
• Площадь области между дугами ACO и ABO

• Площадь области между асимптотой и кривой равна площади петли  .
• Объём тела, образованного при вращении дуги ACO вокруг оси абсцисс

4.11.  Архимедова спираль

Архимедова спираль — спираль, плоская кривая, траектория точки M (см Рис. 1), которая равномерно движется вдоль луча OV с началом в O, в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O. Другими словами, расстояние ρ = OM пропорционально углу поворота φ луча OV. Повороту луча OV на один и тот же угол соответствует одно и то же приращение ρ.

Уравнение Архимедовой  спирали в полярной системе координат записывается так:

(1)  

где k — смещение точки M по лучу r, при повороте на угол равный одному радиану.

 

Повороту  прямой на 2π соответствует смещение a = |BM| = |MA| = 2kπ. Число a — называется шагом спирали.

Уравнение Архимедовой спирали можно переписать так:

4.12.  Логарифмическая спираль

Логарифми́ческая  спира́ль или изогональная спираль — особый вид спирали, часто встречающийся в природе. Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли, который называл её Spira mirabilis, «удивительная спираль».

Уравнения

В полярных координатах кривая может быть записана как

либо

что объясняет  название «логарифмическая».

В параметрической  форме может быть записана как

где a, b — действительные числа.

Свойства

 

• Угол, составляемый касательной в произвольной точке логарифмической спирали с радиус-вектором точки касания, постоянный и зависит лишь от параметра b.
• В терминах дифференциальной геометрии это может быть записано как

• Производная функции пропорциональна параметру b. Другими словами, он определяет, насколько плотно и в каком направлении закручивается спираль. В предельном случае, когда спираль вырождается в окружность радиуса a. Наоборот, когда b стремится к бесконечности спираль стремится к прямой линии. Угол, дополняющий до 90°, называется наклоном спирали.
• Размер витков логарифмической спирали постепенно увеличивается, но их форма остаётся неизменной. Возможно, в результате этого свойства, логарифмическая спираль появляется в определённых растущих формах, подобных раковинам моллюсков и шляпкам подсолнечников.

 

4.13. Гиперболическая спираль

Гиперболическая спираль — плоская трансцендентная кривая.

Уравнение гиперболической спирали в полярной системе координат является обратным для уравнения Архимедовой спирали и записывается так:

ρφ = a

Уравнение гиперболической  спирали в декартовых координатах:

Параметрическая запись уравнения:

Спираль имеет асимптоту y = a: при t стремящемся к нулю ордината стремится к a, а абсцисса уходит в бесконечность:

4.14. Конхоида Никомеда

 

Три конхоиды прямой с общим  центром, красная  , зелёная и синяя

Конхоида Никомеда ― конхоида прямой, плоская алгебраическая кривая 4-го порядка. Конхоида имеет две ветви, сама прямая конхоиды является асимптотой обеих ветвей.

Название  происходит от греческого слова konchoeidēs — «похожий на раковину».

Уравнения

Декартовы координаты

Если центр  конхоиды помещён в начале координат, а прямая задана уравнением y + a = 0 в декартовых прямоугольных координатах то уравнение конхоиды имеет вид

Начало координат  является двойной точкой, характер которой зависит от величин a и :

• при ― изолированная точка
• при ― узловая точка
• при ― точка возврата

Полярные  координаты

В полярных координатах, если начало координат находится на расстоянии a от прямой, уравнение конхоиды имеет вид

.

4.15.  Кардиоида

Построение кардиоиды

Кардио́ида (греч. καρδία — сердце, греч. εἶδος — вид) — плоская линия, которая описывается фиксированной точкой окружности, катящейся по неподвижной окружности с таким же радиусом. Получила своё название из-за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца.

Кардиоида является частным случаем улитки Паскаля, эпициклоиды и синусоидальной спирали.

Уравнения

• В прямоугольных координатах:

• В прямоугольных координатах (параметрическая запись):

x = 2rcost(1 + cost)

y = 2rsint(1 + cost)

• В полярных координатах:

 Свойства

• Кардиоида — алгебраическая кривая четвёртого порядка.
• Кардиоида имеет один касп.
• Длина дуги одного витка кардиоиды, заданной формулой:

равна:

s = 8a.

• Площадь фигуры, ограниченной кардиоидой, заданной формулой:

равна:

.

 

 

 

 

 

 

 

 

СЛОВАРЬ:

1.Окружность-геометрическое  место  точек, удаленных от  точки О на расстояние R. 

2. Эллипс – геометрическое  место точек плоскости, сумма  расстояний от которых до двух  заданных точек F1 и F2 есть величина постоянная. Точки F1 иF2  называются фокусами эллипса. Эллипс есть сплюснутая окружность.

3.Гипербола – кривая, для которой геометрическое место  точек М, для которых модуль  разности расстояний от М до  точек F1 и F2, называемых фокусами, постоянно. Термин «гипербола» (от греч.-«избыток») был введен Аполлонием Пекарским.

4.Парабола – кривая, для  которой множество  всех точек  плоскости, для каждой из которых  расстояние до фиксированной  точки F плоскости равно расстоянию до фиксированной прямой d этой же плоскости.

5.Циклоида - плоская трансдентная  кривая. Циклоида определяется кинематически  как траектория фиксированной  точкой  производящей окружности  радиуса r, катящийся без скольжения по прямой.

6. Эпициклоида – плоская  кривая, образуемая фиксированной  точкой окружности, катящийся по другой окружности (от греч. : «эпи»- над, внутри; «циклоида» - круг, окружность).

7. Кардиоида-кривая, которая  получается как траектория движения  точки, закрепленной на окружности, катящейся с внешней стороны  по другой окружности того  же радиуса . Получила свое  название из-за схожести своих  очертаний с изображением сердца. Кардиоида – частный случай  эпициклоиды при R=r.

8. Нефроида – кривая, которую  описывает фиксированная точка  окружности, катящейся снаружи по  большей в два раза окружности. Нефроида – частный случай  эпициклоиды при r=R/2.

9. Гипоциклоида – плоская  кривая, образуемая точкой окружности  катящейся по внутренней стороне  другой окружности без скольжения (от греч.: «гипо» - под, внизу; «циклоида»-круг, окружность).

10. Астроида-кривая, уравнение которой имеет вид r=±l

11. Кривая Штейнера

12. Конхоида – кривая, уравнение которой имеет вид   r=a/+ l (в полярных координатах)

13. Улитка Паскаля- кривая, заданная уравнением r=2acos±2b

14. Спираль Архимеда - кривая, задаваемая уравнением r=a

15.Логарифмическая спираль  – кривая, уравнение которой имеет  вид r=