Лекции по "Начертательной геометрии"

Лекция12

Лекции: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

 

5. Взаимное пересечение  поверхностей вращения.

Линией пересечения поверхностей вращения является пространственная кривая, иногда распадающаяся на плоские  кривые или прямые.

В более общих случаях  проекции линии пересечения строятся по точкам, определяемым с помощью  поверхностей-посредников.

Идею способа можно  кратко записать так:

( A)(A_i l)[A_i=( _i ) ( _i )]

Любая i-я точка линии  пересечения поверхностей   и   определяется как общая точка пересечения линий пересечения i-й поверхности-посредника ( _i) с поверхностями   и  .

В качестве поверхностей-посредников  выбирают такие, которые дают простые  линии пересечения - прямые или окружности. Поэтому в качестве поверхностей-посредников  выбирают либо сферы, либо плоскости.

Линии пересечения имеют  характерные точки:

• точки, принадлежащие фронтальному и горизонтальному очерку поверхностей;
• высшие и низшие точки относительно плоскости, перпендикулярной к оси вращения.

Характерные точки позволяют  определять границы изменения положений  поверхностей-посредников.

Определение линий  пересечения поверхностей вращения с помощью секущих плоскостей.

Вспомогательные плоскости  частного положения применяются  в тех случаях, если соответствующие  оси поверхностей либо параллельны, либо перпендикулярны к тем или  иным плоскостям проекций.

Пример 1. Дано: 2 цилиндра вращения, у которых оси скрещиваются в пространстве. Ось большого цилиндра перпендикулярна к W, малого - к H.

Нужно: Построить линию пересечения.

Отметим точки, не требующие  специального построения. Введём плоскости-посредники P₁, P₂, P₃, P₄   V (так, чтобы оба цилиндра пересекались с ними по своим образующим).

На профильной плоскости  проекций мы видим, что точки:

• 1 - низшая точка видимой части линии пересечения
• 2 - низшая точка невидимой части линии пересечения
• 3, 4 - высшие точки линии пересечения
• 5, 6 - точки, определяющие границу видимости на плоскости V.
• Вводя плоскости-посредники S H, найдём дополнительные точки сечения, например, 7 и 8.

Рис.1

Рис.2

Если цилиндры разных диаметров, но оси пересекаются, то получим совпадение видимой и невидимой частей линии пересечения. d < D.

Рис.3

Рис.4

Если d=D, то фронтальная проекция линии пересечения представляет собой две пересекающиеся прямые, которые являются фронтальными проекциями плоских кривых - эллипсов.

Рис.5

Рис.6

Пример 2. Дано: Прямой круговой усечённый конус, расположенный вертикально (на H) и цилиндр, расположенный горизонтально (на W). Оси цилиндра и конуса пересекаются в точке O.

Нужно: Построить их линию пересечения.

Как и в предыдущем примере, определяем сначала характерные  точки линии пересечения:

• A и B - высшая и низшая точки
• C и D - точки, определяющие видимость линии пересечения на плоскости проекций H.
• Если взять в качестве вспомогательных плоскостей фронтальные или профильные плоскости, то они пересекут конус по гиперболам, а не по простым линиям, как требуется для построения. Следовательно, такие плоскости неудобны. Вспомогательные горизонтальные плоскости T пересекают конус по окружностям, а цилиндр - по образующим. Та и другая линия - простые. Искомые точки (E, F, K, L) находим на пересечении образующих с окружностями.

Рис.7

Рис.8

Определение линии  пересечения поверхностей с помощью  вспомогательных сферических поверхностей.

Вспомогательные сферические  поверхности применяются, когда оси поверхностей вращения пересекаются друг с другом и параллельны какой-либо плоскости проекций.

Метод основывается на известном  свойстве: 
"Две любые соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, проходящим через точки пересечения меридианов поверхностей".

Плоскости окружностей сечения  перпендикулярны оси поверхности  вращения, а центры окружностей принадлежат  этой оси. Поэтому, если оси поверхностей вращения параллельны плоскости  проекции, то на эту плоскость окружности сечения проецируются в отрезки  прямых, перпендикулярных проекциям  оси вращения.

В качестве вспомогательной  секущей поверхности вращения используют сферу, т.к. её просто вычертить.

Рис.9

Рис.10

Пример. Дано: 2 поверхности вращения - цилиндр и конус, оси которых пересекаются и параллельны плоскости проекций V.

Нужно: Найти (построить) линию пересечения этих поверхностей вращения с помощью вспомогательных концентрических сфер.

Точки, наиболее удалённые  от оснований малого конуса, найдём, вписав сферу в большой конус.

Проекции линии пересечения  представляют собой кривые 2-го порядка. Это следует из теоремы: 
"Если пересекающиеся поверхности 2-го порядка имеют общую плоскость симметрии, то линии их пересечения проецируются на эту плоскость (или параллельную ей) в кривую 2-го порядка."

Рис.11