Лекции по "Начертательной геометрии"

Лекция13

Лекции: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

 

6. Пересечение прямой с поверхностью.

Для нахождения точек встречи  прямой с поверхностью любого типа, т.н. точек входа и выхода, поступают  точно так же, как и при нахождении точек встречи прямой с плоскостью:

• Прямую заключают в плоскость-посредник S: m S
• Определяют линию пересечения l плоскости S с поверхностью  : l=S
• Искомые точки входа и выхода прямой m определяют как результат пересечения её с линией пересечения l: t_1,2=l m

Чтобы получить рациональное решение, следует использовать наиболее простой способ получения линии  пересечения l. В качестве линии пересечения стремятся получить либо прямую, либо окружность. Этого можно достичь:

• путём выбора положения вспомогательной секущей плоскости;
• переводом прямой в частное положение.

В качестве вспомогательной  может быть выбрана как плоскость  частного, так и плоскость общего положения.

Пример 1. Дано: Наклонная трёхгранная призма, стоящая на плоскости H.

Нужно: Найти точки пересечения её поверхности c прямой m общего положения.

Рис.1

Пример 2. Дано: Прямой круговой конус.

Нужно: Построить точки пересечения поверхности конуса и прямой m общего положения.

Заключим прямую n в плоскость, проходящую через вершину S конуса. Для этого возмём точку 1 на n (S T) (m T). Через S₂ проводим фронтальную проекцию горизонтали. Находим след прямой n. Через него проводим T_H h.

Рис.2

VII АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

1. Сущность аксонометрического  проецирования. Виды проекций.

Рассмотренные в предыдущих лекциях ортогональные проекции широко применяются в технике  при составлении чертежей. Это  объясняется простотой построения ортогональных проекций с сохранением  на них метрических характеристик  оригинала.

С помощью чертежей, построенных  в ортогональных проекциях, если их дополнить вспомогательными видами, разрезами и сечениями, можно  получить представление о форме  изображаемого предмета (как внешнего вида, так и внутреннего строения).

Наряду с отмеченными  достоинствами метод ортогонального проецирования имеет существенный недостаток. Для того, чтобы получить представление о пространственном геометрическом образе, заданном его ортогональными проекциями, приходится одновременно рассматривать две, три, а иногда и больше проекций, что значительно затрудняет мысленное воспроизведение геометрической фигуры по её проекциям.

В ряде случаев необходимо, наряду с чертежом объекта, выполненном  в ортогональных проекциях, иметь  его наглядное изображение, состоящее  только из одной проекции.

Способ проецирования, при  котором заданная геометрическая фигура вместе с декартовой системой координат, к которой она отнесена в пространстве, параллельно проецируется на одну плоскость  проекций так, что ни одна ось не проецируется в точку (а значит, сам  предмет спроецируется в трёх измерениях), называетсяаксонометрическим, а полученное с его помощью изображение - аксонометрической проекцией илиаксонометрией. Плоскость, на которую производится проецирование, называется аксонометрической иликартинной.

Аксонометрическая проекция называется прямоугольной, если при параллельном проецировании проецирующие лучи перпендикулярны картинной плоскости ( =90 ) и косоугольной, если лучи составляют с картинной плоскостью угол 0< <90

Возьмём в пространстве координатные оси с единичными отрезками на них и спроецируем на картинную  плоскость Q параллельно и в направлении  проецирования S (т.е. с заданным углом  проецирования  ).

Т.к. ни одна из координатных осей не параллельна картинной плоскости, то единичные отрезки на плоскости Q будут меньше единичных отрезков на декартовых осях.

Рис.3

2. Прямоугольные аксонометрические  проекции - изометрия и диметрия. Коэффициент искажения (вывод) и углы между осями.

Отношение единичных отрезков на аксонометрических осях к единичным  отрезкам на координатных осях называется коэффициентом искажения по аксонометрическим осям.

Очевидно, принимая различное  взаимное расположение декартовой системы  координат и картинной плоскости  и задавая разные направления  проецирования, можно получить множество  аксонометрических проекций, отличающихся друг от друга как направлением аксонометрических осей, так и величиной коэффициента искажения вдоль этих осей.

Справедливость этого  утверждения была доказана немецким геометром Карлом Польке. Теорема  Польке утверждает:

"Три отрезка произвольной  длины, лежащие в одной плоскости  и выходящие из одной точки  под произвольными углами друг  к другу, представляют параллельную  проекцию трёх равных отрезков, отложенных на прямоугольных  осях координат от начала."

На основании этой теоремы  аксонометрические оси и коэффициенты искажения по ним могут выбираться произвольно. Если коэффициенты искажения  приняты различными по всем трём осям, т.е. p q r, то эта аксонометрическая проекция называется триметрической. Если коэффициенты искажения одинаковы по двум осям, т.е. p=r q, - диметрической. Если коэффициенты искажения равны между собой, т.е. p=q=r, -изометрической.

Стандартные аксонометрические  проекции.

В машиностроении наибольшее распространение получили (см. ГОСТ 2317-69):

• Прямоугольная изометрия: p=r=q,  =90 .
• Прямоугольная диметрия: p=r, q=0.5p,  =90 .
• Косоугольная фронтальная диметрия: p=r, q=0.5p,  <90 .

Прямоугольные аксонометрические  проекции.

Для получения наглядного изображения необходимо, чтобы картинная  плоскость Q не была параллельна ни одной из ортогональных осей проекций, поэтому плоскость Q пересекает ортогональные  оси в точках X,Y,Z. Полученный  XYZ называется треугольником следов.

[OO₀] Q; [O₀X], [O₀Y], [O₀Z] - отрезки на аксонометрических осях.

Рис.4

₁,  ₁ и  ₁ - дополнительные углы

По теореме косинусов:

• cos² ₁+cos² ₁+cos² ₁=1 или
• sin² +sin² +sin² =1
• sin² =1-cos²
• 1-cos² +1-cos² +1-cos² =1, т.е.
• cos² +cos² +cos² =2

Таким образом, из соотношения 1 видно, что: p²+q²+r²=2

Для прямоугольной  аксонометрии сумма квадратов коэффициентов  искажения равна 2.

Установим численные значения коэффициентов искажения для  прямоугольных изометрии и диметрии.

Для прямоугольной изометрии: p=q=r; 3p²=2; p=q=r==0.82

Для прямоугольной диметрии: p=r; q=0.5p; 2p²+p²/4=2; p==0.94; q=0.47

Определение величин  углов между осями стандартных  аксонометрических проекций.

Изометрия:

Рассмотрим  XO₀O:

• |O₀O|=|OX|sin =|OZ|sin =|OY|sin ;  = =
• P=|O₀X|/|OX|; p=q=r; |O₀X|=|O₀Y|=|O₀Z|

Следовательно, для прямоугольной  изометрии треугольник следов равносторонний.

Докажем, что аксонометрические  оси являются высотами в треугольнике следов.

Введём плоскость S: ([OO₀] S) (S Q); S H; [KO]=S_H; S_H Q_H; [ZK] [XY]

Угол между высотами в  равностороннем треугольнике равен 120 . Ось z принято располагать вертикально.

Рис.5

Прямоугольная диметрия:

p=r=2q; [XY] [YZ], следовательно, треугольник следов равнобедренный.

|OZ|=|OX|=1; |XZ|=1.41; |XM|=0.71; |XO₀|=p=0.94

sin( /2)=0.75;   =97  10";

tg 7 10"=1/8; tg 41 25"=7/8

Рис.6

3. Прямоугольная аксонометрическая  проекция окружности, лежащей в  плоскости проекций (вывод).

Прямоугольной аксонометрической  проекцией окружности, лежащей в  некоторой плоскости общего положения, составляющей  , не равный 0 и 90 , с картинной плоскостью Q, будет эллипс.

Большая ось этого эллипса  есть проекция того диаметра окружности, который параллелен прямой пересечения  плоскости P, в которой лежит окружность, и плоскости Q. Малая ось эллипса  расположена перпендикулярно [MN].

[MN]=Q P; Б.О.Э. [MN]; М.О.Э. [MN].

В практике построения аксонометрических  проекций деталей машин особенно часто встречаются проекции окружности, лежащей в плоскостях проекций H, V, W или им параллельных.

Аксонометрической проекцией  окружности является эллипс. Для его  построения необходимо найти оси, т.е. найти их размер и направление.

Рис.7

[AB] [CD]; S Q; [A0B0] h; [C0D0] h; [A0B0]=d; [C0D0]=dcos

Задача свелась к определению  cos  через соответствующий коэффициент искажения.

Рассмотрим эту же картинку, заданную двумя пересекающимися  прямыми (z z₀)

Рис.8

М.О.Э.=|C0D0|=CDsin 0; cos 0=r

Правило: 
"Окружности, расположенные в плоскостях проекций или им параллельных, проецируются на картинную плоскость в виде эллипса, большая ось которого перпендикулярна к той аксонометрической оси, которая является проекцией ортогональной оси, перпендикулярной плоскости проецируемой окружности, а малая ось эллипса параллельна этой аксонометрической оси."

Построение аксонометрических  проекций геометрических фигур. Прямоугольная  изометрия. Построение аксонометрического куба.

Для наглядности при определении  направлений осей эллипсов и их размеров впишем окружности в грани куба со стороной |d|, параллельные плоскостям проекций.

Рис.9

Т.к. плоскости проекций H, V и W в прямоугольной изометрии  одинаково наклонны к картинной  плоскости, коэффициенты искажения  по осям одинаковы и эллипсы (аксонометрические  проекции окружностей, расположенных  в плоскостях проекций и им параллельным) будут конгруэнтны.

p = r = q = 0.82 (1)

Для простоты построений ГОСТ 2317-69 предлагает пользоваться приведёнными коэффициентами искажения:

p = r = q = 1 (2)

В этом случае получается не натуральная аксонометрическая  проекция, а проекция, увеличенная  в 1.22 раза.

В 1 случае Б.О.Э.=d; М.О.Э.=d =0.58d

Во 2 случае Б.О.Э.=1.22d; М.О.Э.=0.58*1.22d=0.7d

М.О.Э. по направлению совпадает  со свободной аксонометрической  осью, а Б.О.Э. ей перпендикулярна. Следовательно, направление осей эллипсов совпадает с направлением диагоналей граней куба.

Кроме точек на осях, отметим  ещё 4 точки, принадлежащие эллипсу. Это точки, где вписанная окружность касается рёбер куба. Т.к. касание  является инвариантом параллельного  проецирования, эллипсы будут касаться куба в этих же точках.

Пример. Дано: Шестигранная пустотелая призма.

Нужно: Построить эту призму с разрезом в прямоугольной изометрии, применив приведённый коэффициент искажения.

Для перевода истинного размера  в приведённый (увеличенный) пользуются угловым масштабом.

Рис.10

Прямоугольная диметрия.

В 1 случае p = r = 0.94; q = 0.5p = 0.47

Во 2 случае p = r = 1; q = 0.5 (в соответствии с ГОСТом).

Во втором случае аксонометрическая  проекция получается увеличенной по сравнению с натуральной величиной  в 1.06 раза.

Тогда: 
Для 1 случая Б.О.Э.=d; М.О.Э.=0.33d для плоскостей H и W; М.О.Э.=0.88d для плоскости V.

Для 2 случая Б.О.Э.=1.06d; М.О.Э.=0.35d для плоскостей H и W; М.О.Э.=0.95d для  плоскости V.

Рис.11

Т.к. p = r, в плоскостях H и W окружности конгруэнтны.

В прямоугольной диметрии грань, параллельная плоскости V, проецируется в виде ромба; грани, параллельные H и W, - в виде параллелограммов.

4. Косоугольная фронтальная  диметрия.

p = r = 1; q = 0.5;  =45

Б.О.Э.=1.06d; М.О.Э.=0.35d в плоскостях H и W; в плоскости V - окружность. Эллипсы  в плоскостях H и W конгруэнтны.

Наряду с прямоугольными аксонометрическими системами на практике применяют некоторые косоугольные системы. Распространено применение аксонометрических  проекций, когда аксонометрическая  плоскость параллельна какой-либо ортогональной плоскости проекций. В машиностроительном черчении широкое  применение получили косоугольные аксонометрии, полученные путём проецирования  деталей на аксонометрическую плоскость, параллельную фронтальной плоскости  проекций. Такая аксонометрическая  система называется косоугольной фронтальной аксонометрией.

Рис.12

=90 ; p=r=1.0; q=O0A/OA;  O0AO=90 ,  OO0A - прямоугольный.

Если вращать  OO₀A вокруг оси OA, то точка O₀ будет перемещаться по дуге окружности радиусом O₀A.

• При повороте треугольника OO₀A вокруг OA коэффициенты искажения не изменяются, а изменяются величины углов   и  , следовательно, можно подобрать угол, удобный для проецирования.

= =135

• Перемещая положение точки O₀ в направлении O₀y₀, можно добиться того, что коэффициент искажения q будет равен 1.0 или 0.5. При этом изменяется угол  , но углы   и   остаются постоянными.