Лекции по "Начертательной геометрии"

Лекция2

Лекции: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

 

3. Проецирование прямой. Точка на прямой. Следы прямой.

При ортогональном проецировании  на плоскость прямая проецируется в  прямую (2-е инвариантное свойство параллельного  проецирования). Поэтому для определения проекции прямой достаточно знать проекции двух нетождественных точек, принадлежащих прямой.

Если отрезок [AB], определяющий прямую l занимает произвольное положение по отношению к плоскостям проекций (угла наклона прямой l к плоскостям проекций отличаются от 0° и 90°), то такая прямая называется прямой общего положения.

Рис.1

A1B1 - горизонтальная проекция отрезка прямой [AB]  A2B2 - фронтальная проекция отрезка прямой [AB]

Рис.2

|A1B1| < |AB|  |A2B2| < |AB|  |A3B3| < |AB|

На эпюре проекции прямой общего положения занимают также  произвольные положения относительно осей координат.

Прямую можно задать на эпюре не только проекциями её отрезка, но и проекциями некоторой произвольной части прямой без фиксации её концов. В этом случае прямые обозначаются строчными латинскими буквами.

Точка на прямой.

Рис.3

Если в пространстве точка принадлежит  прямой, то проекции этой точки будут  лежать на проекциях прямой.  A l; B l.

Пример. Задача. 
Дано: Прямая AB общего положения задана на эпюре своими проекциями. 
Найти: На этой прямой точки, равноудалённые от плоскостей проекций V и H.

Рис.4

Метод средней линии.  A1A0 = A0A2  B1B0 = B0B2

Рис.5

Метод наложения.  A1Ax = AxA0  B1Bx = BxB0

Следы прямой.

Точка пересечения прямой с плоскостью проекций называется следом прямой.

Прямая общего положения  пересекает все три плоскости  проекция, следовательно, она имеет  три следа: 
M - горизонтальный след 
N - фронтальный след 
P - профильный след

(M l)   (M H)   M M₁

M₁ - горизонтальная проекция горизонтального следа 
M₂ - фронтальная проекция горизонтального следа 
N₁ - горизонтальная проекция фронтального следа 
N₂ - фронтальная проекция фронтального следа

Для нахождения горизонтального  следа прямой необходимо:

• На эпюре продолжить фронтальную проекцию прямой до пересечения её с осью х.
• Из точки пересечения M₂ - фронтальной проекции горизонтального следа, провести перпендикуляр до пересечения с горизонтальной проекцией прямой.
• Точка пересечения M₁ - горизонтальная проекция горизонтального следа, которая совпадает с самим горизонтальным следом M.

Алгоритм определения  горизонтального следа выглядит так: 
M = (l₂ x=M₂); (a x, M₂ a); a l₁=M₁

Для нахождения фронтального следа прямой необходимо:

• На эпюре продолжить горизонтальную проекцию прямой до пересечения её с осью х.
• Из точки пересечения N₁ - горизонтальной проекции фронтального следа, провести перпендикуляр до пересечения с фронтальной проекцией прямой.
• Точка пересечения N₂ - фронтальная проекция фронтального следа, которая совпадает с самим фронтальным следом N.

Алгоритм определения  фронтального следа выглядит так: 
N = (l₁ x=N₁); (b x, N₁ b); b l₂=N₂

Аналогично определяется профильный след прямой:

• l₂ продолжить до пересечения с осью z.
• Из точки пересечения P₂ - фронтальной проекции профильного следа, провести перпендикуляр до пересечения с профильной проекцией прямой.

P = (l₂ z=P₂); (c z, P₂ c); c l₃=P₃ или P = (l₁ z=P₁); (d y, P₁ d); d l₃=P₃

4. Натуральная величина  отрезка прямой. Углы наклона прямой к плоскостям проекций.

Ортогональная проекция отрезка [AB] прямой на плоскость проекций будет  конгруэнтна оригиналу лишь в  том случае, когда отрезок параллелен этой плоскости (свойство 6), т.е.

([AB] H)   [A₁B₁] [AB]

([CD] V)   [C₂D₂] [CD]

([EF] W)   [E₃F₃] [EF]

Во всех остальных случаях  отрезок проецируется на плоскость  проекции с искажениями. При этом ортогональные проекции отрезка  всегда меньше его действительной величины:

|A₁B₁| < |AB|

|A₂B₂| < |AB|

|A₃B₃| < |AB|

Пусть задана система плоскостей V/H и отрезок [AB], заданный своими проекциями. Требуется на эпюре определить его  натуральную величину |AB| и углы наклона   к плоскости H и   к плоскости V.

Угол наклона прямой к  плоскости - есть угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Рис.6

[BD] [A2B2]  [AC] [A1B1]  [B1B0] [BC]  [A2A0] [AD]  A1B1B0 ABC  A2B2A0 ABD

Для графического определения  на эпюре Монжа действительной (натуральной) величины отрезка достаточно построить  прямоугольный треугольник, взяв за один его катет горизонтальную (фронтальную, профильную) проекцию отрезка, а за другой катет - разность удаления концов отрезка от горизонтальной (фронтальной, профильной) плоскости проекций. Тогда  гипотенуза треугольника будет равна  натуральной величине отрезка, а  угол между гипотенузой и проекцией  будет равен углу наклона прямой к этой плоскости.

Рис.7

Для определения угла наклона  прямой к горизонтальной плоскости (угла  ), построения выполняют на базе горизонтальной проекции.

Для определения угла наклона  прямой к фронтальной плоскости (угла  ), построения выполняют на базе фронтальной проекции.

5. Прямые общего и частного  положения.

Прямые частного положения - это прямые, параллельные одной  или двум плоскостям проекций.

В первом случае прямые называются прямыми уровня.

Во втором случае - проецирующими прямыми, т.к. перпендикулярны какой-нибудь плоскости проекций.

Прямые уровня.

Рис.8

Горизонталь - h, прямая параллельная плоскости H  Фронталь - f, прямая параллельная плоскости V  Профильная прямая - p, прямая параллельная плоскости W

Рис.9

h H  h2 x; h3 y  [AB] h  |A1B1|=|AB|

Рис.10

f V  f1 x; f3 z  [AB] f  |A2B2|=|AB|

Рис.11

p W  p1 y; p2 z  [AB] p  |A3B3|=|AB|

Проецирующие прямые.

Рис.12

Горизонтально проецирующие прямые  a V; a W; a H;  a2 z; a3 z; a1 - точка.

Рис.13

Фронтально проецирующие прямые  b H; b W; b V;  b1 y; b3 y; b2 - точка.

Рис.14

Профильно проецирующие прямые  c H; c V; c W;  c1 x; c2 x; c3 - точка.

Прямые, принадлежащие  плоскости проекции.

Рис.15

l H

Рис.16

m V

Рис.17

n W