Математикалық модельдеу

Математика мен бізді қоршаған нақты өмірді байланыстырушы арнайы звеноның түрі - модель болады. Сонымен, модель бір жағынан зерттелетін объектіге тиісті бай информацияны қамтыса, екінші жағынан математикалық стандартты формула таңбаларынан тұрады. Сөйтіп, математикалық аппаратты қолдануға мүмкіндік береді. Бұл дегеніміз - зерттелінетін құбылыстың Математикалық моделі. Ол нақты ғылыми заңдылықтардың негізінде математикалық тілге аударып қызмет істейді, танымның дамуына жол ашады. Жалпы математикалық модель принціпті түрде әртүрлі екі дүниені қосатын ұлы көпір. Біреуі - қоршаған объективтік шындық. Ол біздің сана-сезімізге әсер етеді. Екіншісі - жеке адамзаттың идеясына сүйенген, құдіретті математика заңына бағынған абстрактік дүние.

Біздің мақсатымыз- әртүрлі  процесске қолданылатын 
математикалық модельдерді бағалау және зерттеу 
методтарымен таныстыру, яғни дүние танымына қажетті 
математикалық көпір құруды үйрету.

Әдебиетте және мәдениетте кейбір шығарманы талдау үшін оның мазмұнын әрі формасын бағалаймыз. Шығарманың мазмұны туралы сөз болса, жазушы қандай сюжетті мақсат қылғанын, ойын оқырман қауымға қалай жеткізгенін анықтау керек. Форма - автордың айтайын деген ойын жеткізу құралы. Сөйтіп, мазмұн  зерттелінетін құбылыс немесе зат жөнінде объективтік ақпараттан тұрады. Форма - авторға тән жеке басының көзқарасы, сондықтан субъективтік шама.

Мақсат, идея, ой-форманың табиғи құралы десек, зерттеушінің субъективтік көзқарасы қарастырылатын құбылыстьң табиғи бейнесін бүркемеуге тиісті. Көркемөнерде және әдебиетте шығарманың формасы мазмұнына адекватты болса, онда қолданған құралымыз қойған мақсатымызға жеткізгені.

Осыған байланысты Опоста Роденнің сөзін келтірейік: «Шындықты дәл бейнелеуге тырысқан суретші болымсыз 
детальдардың көшірмесін бұлжытпай беріп, үлкен шебер иесі 
бола алмайды». Мысалы: жазушы уоқиғаны құжаттық 
дәлдікпен берсе, шығарманың тартымдылығы азаяды; үлкен 
қалам иесінің жазбасы соттағы эксперттік дәл жазбаға 
қарағанда көп әсер етеді. Жүздеген, миллиондаған адамдар 
библиядағы немесе құрандағы логикаға қарсы бола тұра, 
атеист атағына ілінбейді... 

Енді ғылыми зерттеуде  мазмұн мен форманың байланысы туралы, оның ішінде математикалық модельдеудің мәні қандай? Кез-келген модельдің мақсаты-қарастырылатын объект туралы ақпаратты жеткізу болғандықтан, мазмұнын модельдеу, формаға қарағанда басым болады. Ал, математикалық модель бейнелейтін нақтылы дүниеге адекватты болады, сондықтан формаға және мазмұнға қойылатын талап бірдей. Математикалық таным процесінің алдындағы кейбір қадамдарды қарастырайық. Зерттелетін құбылысқа қойылған модельмен зерттеуші кандай проблеманы шешпек, қандай математикалық аппаратты, әдісті және техниканы қолданбақ, жетілген құрал жабдықтарға, білімге байланысты нақтылы шындыққа барынша жақындап, нақты ақпарат алуға болады десек артық бола ма? Әрине, бұдан математикалық апараттың негізінде абсолютті дәл немесе ықтималдылығы басым эталондық модель аламыз деген ой тумайды.

Айтар ойымызды жеңілдету  үшін кейбір қарапайым мысалдарға жүгінейік. Кеңістікте дененің қозғалу процесіне байланысты есепте, кез-келген уақыт моментінде дененің тұрған орнын және жылдамдығын анықтау. Электрондық қабаттағы таңбаланған электронның уақытқа тәуелді орнын және импульсін табу. Арнайы салыстырмалы теория негізінде, қай санау жүйесінде қарастырылғаны көрсетілмесе, бірінші сұрақ, корректі қойылған есепке жатпайды[13]. Ал, кванттық теорияның негізінде, екінші сұраққа толық және нақты жауап ала алмаймыз. Келесі мысал, сұйықтың ағыны қарастырылсын. Осы ағындағы бірлік молекуланың қозғалу троекториясын анықтаудың мағанасы бар ма? Түзуден сырт жатқан нүктені басып өтетін параллель түзулердің санын жүйелер аксиомасына тәуелді қарастырмай, жауабын табуға бола ма? Контордың континум-гипотезасы қате ма әлде дұрыс па?

Енді кейбір ұлы ғалымдардың  сөздеріне тоқталайық. Гедельдің аңыз болған теоремасы бойынша, мағынасы толық жетілген қайшылық тудырмайтын математикалық теория құру, түпкілікті шешілмейді. Тарскийдің теоремасы бойынша, ақиқат ұғымы қандай да болмасын бір нақты, дәл формаланған теориямен берілсе де болмыстың ақиқаттық сипаттамасын осы теорияның құралымен жеткізе алмайды. Левенгейм-Сколеманың қызық теоремасы бойынша, өрістің ішіндегі жинақталған ұғымның сипаттамасын беретін кез-келген теория, осы өрістің сыртындағы объектінің де сипаттамасын бере алады.

Осы келтірілген мысалдарға қарап кез-келген құбылыстың, процесстің, уоқиғаның математикалық моделін құру үшін қойылатын негізгі талаптарды байқауға болады.

Математикалық модельдеуде  қолданылатын математикалық модель түсінігінің нақты бір ресми  анықтамасы жоқ. Сонда да бұл түсінікті математиканың инженерлік практикадағы қолданысының мазмұнымен түсіндіреді. Сондай- ақ, механика, физика және тағы басқа ғылыми пәндер математикалық модельдің реттелген жиыны болып келеді және олардың құрылымы қарастырылатын процестер мен құбылыстар қасиеттерінің модельдерінің бірдей бейнелерінің теориялық дәлелдеулерімен сипатталады. Математикалық модель арқылы ғылыми пәндер математикамен бірлесіп әрекет жасайды. Осы жерде Карл Маркстың ескертпесін айта кеткен орынды болады: «Кез келген ғылым өз шыңына математиканы қолданатын болса ғана жетеді».

Техниканы жетілдірудегі  және табиғат заңын танып білудегі көптеген жаратылыс және ғылыми бағыттардың  даму қадамдары- бұл қарастырылатын құбылыстар мен процесстердің нақты  және толық математикалық моделінің  тізбегін құру. Бірақ, ғылым тарихында математикалық модельдердің тізбектеп дәлелдеулерімен қатар кейбір математикалық модельден болжанатын нәтижелерді шынайы өмірдегі нәтижелерден айырмашылығының болуына байланысты бастартулар да кездеседі.

Шынайылыққа жауап беретін математикалық модельдер өте үлкен ғылыми жетістік болып табылады. Ол қарастырылатын объектіні толық зерттеуге мүмкіндік береді және әртүрлі шарттарда оның өзгерісін тура болжауға көмектеседі. Бірақ, адекватты математикалық модельдер көбінесе күрделі болып келеді, ал ол болса оны қолдану кезінде қиындықтарға әкеліп соғады. Бұл жағдайда математикаға қазіргі кездегі есептеуіш техника көмекке келеді.

Кейде бірдей математикалық  модельдер әртүрлі қосымшаларға ие болады. Мысалы, Ньютонның екі  материалдық нүктенің тартылысының заңы мен екі нүктелік электрлік зарядтардың әрекеттестіктерінің заңын физикалық шамаларының өлшем бірліктерін сәйкестендіріп таңдаған кезде бірдей бір формуламен өрнектеуге болады[15]. Пуассон теңдеуінен тұратын бір математикалық модель көмегімен:

    (1)

Мұндағы, Ѳ- Лапластың дифференциалдық операторы                  u(M), f(M)- кез-келген облыстағы М нүктесінің орынының ізделетін және берілген функциясы, сұйықтық қозғалысының және жылу алмасудың орнатылған процесстерін, электрлік потенциалдың таралуын, мембрана деформациясын, бөренені айналдырғандағы механикалық кернеуді, мұнайлы қабаттағы мұнайды немесе егіндегі ылғалды сүзу, ауадағы кейбір қосапалардың немесе белгілі бір регионда эпидемияның таралуын қарастыруға болады. Жоғарыда атлған есептерде  u(M), f(M) функцияларыөзіндік мәнге ие болады, бірақ олардың байланысын осы есептерге ортақ бір (1)-теңдеу сипаттайды[12].

Аталған мысалдар математикалық  модельдердің әмбебаптық қасиетін сипаттайды. Осы қасиеттер арқылы әртүрлі білім салаларының арасында өзіндік байланыс орнатылады, ол олардың бірігіп дамуын жылдамдатады. Математикалық модельдердің мұндай әмбебаптығы мен ортақтық қасиетін математикада мазмұны жағынан кең, бірақ сан жағынан аз, негіз болатын абстарктілі ұғымдар қолданылатындылығымен түсіндіруге болады. Бұл білімнің әртүрлі саласындағы нақты фактілерді бұл түсініктердің көрінуі және олардың арасындағы қатынас ретінде қарастыруға мүмкіндік береді.

Математикалық символдар  мен белгілеулер жүйелерінің  көмегімен өрнектелген және қарастырылатын объектінің кейбір қасиеттерін қамтып көрсететін осындай ұғымдар мен қатынастар жиынтығы қарастырылатын объектінің математикалық моделі  деп аталады[21]. Бұл жағдайда математика ғылымның әмбебап тілі рөлінде болады. Оның әмбебаптығын француз математигі Анри Пуанкаре (1854-1912) бірақ сөзбен анықтап берді: «Математика- бұл әртүрлі заттардың барлығын бір атаумен атау өнері».

Қарастырылатын техникалық объектіні ортақ жағдайда сандық жағынан сәйкесінше ішкі, сыртқы және шығыс параметрлердің, векторларының көмегімен сипаттауға болады. Әртүрлі дәрежедегі және мазмұндағы модельдердегі техникалық объектінің физикалық, математикалық немесе ақпараттық сипаттамалары ішкі немесе сыртқы параметрлерді ғана емес, сондай- ақ шығыс параметрлер рөлін атқара алады.

Мысалы, электрлік күшейткіштерде шығыс параметрлеріне күшею коэффициенті, өтетін сигналдар жиілігінің аралығы  кіру кедергісі таралатын қуат жатады, сыртқы параметрлерге күштің кедергісі  мен сыйымдылығы, қоректену көзінің кернеуі, қоршаған ортаның температурасы жатады, ал ішкі параметрлерге резистрлер кедергісін, конденстаторлар сыйымдылығын, транзистрлер сипаттамаларын жатқызуға болады. Бірақ, егер, техникалық объект ретінде жеке алынған транзистрлер қарастырылатын болса, онда ашылатын кедергі және коллеторлы(коллетор- айнымалы тоқты тұрақтандыратын динамикалық машинаның бір бөлігі) ток сияқты сипаттамаларын шығыс параметрлерге жатқызуға болады, ал сыртқы параметрлер ретінде электрлі күшейткіште солармен бірге бағытын өзгертетін токтар және кернеу қарастырылады.

Техникалық объектіні  құру кезінде бос параметрлердің мәні немесе олардың мүмкін өзгеру диапазоны техникалық тапсырмаларда  техникалық объектіні өңдеуді ескертеді, ал сыртқы параметрлер оның жұмыс  істеу шарттарын сипаттайды.

Қарапайым салыстырмалы жағдайда техникалық объектінің математикалық  моделі келесі қатынастар түрінде болады:

     (2)

Мұндағы: f- векторлы аргументтің векторлы функциясы. (2) түрдегі моделі ішкі және сыртқы параметрлердің берілген мәндері бойынша шығыс параметрлерді оңай есептеуге көмектеседі, яғни, тура есепті шешу. Инженерлік практикада тура есепті шешу көбінесе сынау есебі деп аталады. Техникалық объектіні құру кезінде кері есеп деп аталатын күрделі есептерді шешу керек болады:техникалық объектіні жобалаудағы келісілген техникалық тапсырмадағы сыртқы және шығыс параметрлердің мәнімен оның ішкі параметрлерін табады. Инженерлік практикада кері есепті шешуге оптималдықтың кейбір критериі бойынша ішкі парамтерлерді оптимизациялау мақсатындағы жобалау есебі сәйкес келеді. Бірақ техникалық объектінің математикалық моделін құру кезінде (2) теңдеудегі f-функциясы алдын ала белгілі болмайды және оны орнату керек. Бұл күрделі математикалық модельдің идентификация есебі (латынның identifico сөзі- теңестіру деген мағынаны білдіреді, ал бұл жағдайда «таңыймын» деген мағынада қолданылады).

Идентификация есебі техникалық объект күйінің қатары туралы ақпаратты  математикалық өңдеу жолы арқылы шешіледі, олардың әрқайсында шығыс, ішкі, сыртқы параметрлер белгілі[3].

Мұндай әдістердің бірі регрессиялық талдауды кірістірумен байланысты. Егер, ішкі параметрлер туралы ақпарат  жоқ болса немесе техникалық объектінің ішкі құрылғысы тым күрделі болса, онда мұндай техникалық объектінің математикалық  моделін қара қорап принціпі бойынша құрылады, техникалық объектінің сыртқы әсерлерге реакциясын зерттеу арқылы сыртқы және шығыс параметрлер арасында қатынас орнатады.

Математикалық модельдерді құрудың  теориялық жолы y, x,g арасындағы байланысты операторлық теңдеу түрінде орнату болып табылады:

           (3)

Мұндағы: L- оператор (жалпы  жағдайда сызықты емес); О- оператор әрекет ететін кеңістіктің нөлдік элементі; z- тәуелсіз айнымалылар векторы, жалпы  жағдайда уақыт және кеңістік координаталарынан тұрады, ал u- фазалық айнымалылар векторы, техникалық объектінің күйін сипаттайтын параметрден тұрады. Егерде (3) теңдеуінің шешімін табу және u(z)-тің z-ке тәуелділігін табу мүмкін болса, онда техникалық объектінің математикалық модельін (2) түріндегі у векторына біршама жақын елестету қиын. Сондықтан (2.3) теңдеу жалпы жағдайда техникалық объектінің математикалық моделінің құрылымын анықтайды, ал (2) мұндай модельдің қарапайым дербес жағдайы болып табылады.

Жоғарыда айтылғандардан көретініміз: нақты бар немесе мүмкін техникалық объектіні қарастырған кезде математикалық әдістер олардың математикалық модельдеріне қолданылатындығы. Бұл қолданыс эффектілі болады, егер математикалық модель қасиеттері белгілі шарттарды қанағаттандырса. Осы қасиеттердің негізгілерін қарастырайық.

Математикалық модельдің  толықтылығы техникалық объектінің, есептеуіш тәжірибені жүргізудің мақсаты жағынан бізді қызықтыратын маңызды сипаттамалары мен ерекшеліктерін керекті мөлшерде бейнелейді[2]. Мысалы, модель объектіде өтіп жатқан процесстерді толық баяндайды, бірақ оның габариттік, салмақтық немесе құндылық көрсеткіштерін бейнелемейді. Ом заңының U=IR формуласымен белгілі резистордың математикалық моделі резистордағы электрлік кернеудің құлауы мен оның кедергісі R мен ол арқылы өтетін тоқ күші I-дің арасындағы байланысты орнату кезінде толықтылық қасиетіне ие болады, бірақ өлшем, салмақ, жылуға төзімділік, құн туралы ақпараттар және резистордың тағыда басқа сипаттамалары жағынан ол толық болмайды. Және тағы бір айта кететін жағдай қарастырылып отырған математикалық модельде резистор кедергісі ішкі параметр болып табылады және егер u белгілі болса, онда I-шығу параметрі, ал U- сыртқы параметр және керісінше болады.

Математикалық модельдердің нақтылығы техникалық объектінің шығу параметрлерінің математикалық моделінің көмегімен табылған және нақты мәндердің тиімді үйлесімдерімен қамтамасыз етеді және төмендегі вектордың құраушысы болып табылады[2]:

 және  - математикалық модель көмегімен табылған және і-шығыс параметрдің нақты мәні болсын. Сонда осы параметрге қатысты математикалық модельдің қателігі келесі мәнге тең болады: