Математикалық модельдеу

 

2.3. Функционалдық  модельдердің ерекшеліктері

 

Функционалдық математикалық  модельдердің  өзіндік ерекшеліктерінің бірі оның параметрлерінің арасында кездейсоқ шамалардың болуы немесе болмауы болып табылады. Мұндай шамалар  болатын математикалық модельді стохастикалық (гректің στοχαστιϰοζ сөзің аударғанда- болжап таба алатын деген мағынаны білдіреді), ал олар болмаған жағдайда- детерминацияланған (латынның determine сөзін аударғанда анықтаймын деген мағынаны білдіреді) деп аталады[2].

Нақты техникалық объектілердің  барлық параметрлері анықталған мәндерімен сипаттала берілмейді. Сондықтан мұндай техникалық объектілерді стохастикалыққа жатқызу керек. Мысалы, егер қарастырылатын техникалық объект өндірістің өнімі болса және оны ішкі параметрлері номиналды мәндерге сәйкес орнатылған шектеулер шегінде кездейсоқ мәнді қабылдаса, онда техникалық объект шығыс параметрлері кездейсоқ шама болады. Техникалық объектіге желдің екпіні, турбулутті пульсация, шу фонындағы сигнал және тағы басқа сияқты факторлардың әсерінен сыртқы параметрлердің мәні де кездейсоқ болуы мүмкін.

Стохастикалық математикалық  модельді талдау үшін ықтималдықтар  теориясының кездейсоқ процесстердің  және матемтикалық статистиканың әдістерін  қолдану қажет. Бірақ олардың  қоладнысының негізгі қиындықтары  кездейсоқ шамалардың ықтималдық сипаттамалары (математикалық күтім, дисперсия, үлестіру заңы) көп жағдайда белгісіз немесе аз дәлдікпен белгілі, яғни математикалық модель математикалық модельдің өнімділік шарттарын қанағатаныдруымен байланысты. Бұл жағдайда қатаң, бірақ бастапқы мәліметтердің күмәнділігіне қарағанда берік, яғни робостылық шартын қанағаттандыратын математикалық модельді қолдану тиімді болады.

 

2.4-мысал.

Көлемі біркелкі, бірақ t уақытында өзгеретін S дене бетінде T(t) температурамен T_c тұрақты температурасына ие болатын қоршаған орта арасында жылу алмасу процесі болады. Бірінші жуықтауда қоршаған ортадан денеге берілетін жылу ағымының q тығыздығы температуралар айырымына пропорционал деп болжайды (2.3- мысал), яғни

q=α(T_c-T),            (11).

Мұндағы α-жылу беру коэффициенті. (11)-теңдеуге сәйкес қоршаған ортадан денеге берілетін жылу ағыны мынаған тең[20]:

Q=qS=α(T_c-T)S         (12).

Ол дененің ішкі энергиясын өзгеріске әкеледі, ол жылу өзгерісінің  жылдамдығына dT(t)/dt пропорционалды, ал пропорционалдық коэффициентіне Дж/К арқылы өлшенетін және дене температурасын 1К-ға көтеру үшін қажет жылулық энергиясының санына тең С_т дененің толық жылу сиымдылығы қызмет етеді.

Сайып келгенде, энергияның сақталу заңына (термодинамиканың бірінші  заңы) [20]:

,

немесе (12)-теңдеуді ескере отырып, t уақытында дененің T(t) температурасының өзгерісін сипаттайтын математикалық модель бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеуді қосады

,                  (13)

Оның α=const болғандағы шешімі келесі түрде болады:

    (14)

Мұндағы Т₀ бастапқы ретінде қарастырылатын Т=0 уақыт мезетіндегі дене температурасы. α-ның толықтай анықталған мәніндегі мұндай математикалық модельді детерминацияланған деп санауға болады.

Бірақ жылу алмасудың нақты процесі күрделі болып табылады, ал оның қарқындылығы факторлардың көп санына тәуелді. Осы факторлардың кей бір кездейсоқ сипатқа ие (қоршаған ортаның біртексіздігі, дене бетіндегі кедір- бұдырлық және тағы басқалары). Сондықтан жылу беру коэффициентін уақыт аралығында тұрақты және нақты анықталған деп санауға болмайды. Оны t уақытының және ω айнымалысының α=f(t,ω) кездейсоқ функциясы ретінде қарастыру керек, ол ықтималдықтар теориясындағы кездейсоқ оқиғаның қарапайым нәтижесі болып табылады. Егер бұл функцияны (13) қарапайым дифференциалдық теңдеуге енгізетін болсақ, онда детерминацияланған математикалық моделінен стохастикалық математикалық модельге келеміз. Бірақ мұндай математикалық модельді f(t,ω) кездейсоқ функциясының барлық қажетті сипаттамаларын орналастыратын жағдайда ғана қолдануға болады, ал бұл шарт көбінесе орындалмайды. Алайда, бұл функцияның мүмкін өзгеру шекарасын α₁<f(t,ω)<α₂ екі теңсіздік түрінде орнатуға болады, мұндағы α₁, α₂ =const. Сонда (13) қарапайым дифференциалдық теңдеу түрінде математикалық модельді екі рет қолдануға болады және (14)-теңдікке қатысты

теңсіздігіне сәйкес 5- суретте штрихталған дененің T(t) температурасының уақыт аралығында мүмкін өзгеру облысының кепіл етілген бағасын алуға болады.

5-сурет

Бұл бағалаудан мысалы, жылу алмасу процесінің  кездейсоқ сипатына қарамастан  t->¥ болғанда T(t)->T_c, яғни «дене- қоршаған орта» жүйесі термодинамикалық тепе- теңдік күйіне ұмтылады.

Математикалық модельді классификациялаудың белгілері  болып- олардың техникалық объектінің параметрлерінің уақыт аралығында өзгерісін сипаттау табылады. 2.4- мысалда қарастырылатын дененің қоршаған ортамен жылу алмасуының математикалық моделі осындай өзгерісті ескереді және де оны стационар емес (немесе эволюциялық) математикалық модельге жатқызады. Егер, математикалық модельде техникалық объектінің инерциялық қасиеттерінің әсері бейнеленсе, онда оны әдетте динамикалық деп атайды. Осыған кері техникалық объектінің                                                                                                                        параметрлерінің уақыт арасында өзгермейтін моделін статикалық деп атайды. (3) және (2) мысалдарында қарастырылған модель статикалық болып табылады. Қанат пішінін айналып ағатын және қыздырылатын дене мен ауа ағымына қарамастан, сәйкесінше осы процессті сипаттайтын параметрлер уақыт аралығында тұрақты болып қалады.

Егер техникалық объектіде  параметрлер өзгерісі ақырын өтетін болса және бекітілген уақыт мезетінде  қарастырылатын бұл өзгерісті елемесек, онда оны квазистатикалық математикалық модель деп атайды[2]. Мысалы, баяу қозғалатын механикалық процессте инерциялық күшті елемеуге болады, температура өзгерісінің аз жылдамдығында дененің жылулық инерциясын елемеуге болады, ал электр тізбегінде ток күшінің баяу өзгерісінде бұл тізбек элементтерінің индуктивтілігін ескермеуге болады. Стационарлы математикалық модельдер орнатылған деп аталатын процесстер ағатын процесін сипаттайды, яғни бізді қызықтыратын уақыт аралығында тұрақты болатын шығыс параметрлері бар процесстер. Орнатылғандарға периодикалық процесстерді де жатқызады, оларда кейбір шығыс параметрлері өзгеріссіз қалады, ал кейбіреулері тербеліске төзіп қалады. Мысалы, математикалық маятниктің математикалық моделі (2.1- мысал) тербелістің жартылай тербеліс шегіне және уақыт периодына тәуелсіздігіне қатысты стационарлы болып табылады, бірақ материалдық нүкте уақыт аралығында тепе- теңдік орнына сәйкес ауысады.

Егер бізді қызықтыратын объектінің шығыс параметрлері баяу өзгерсе және қарастырылатын уақыт мезетінде мұндай өзгерістерді елемеуге болса , онда бұларды квазистоционарлы математикалық модель деп атайды. Кейбір процесстерді сипаттаған кезде квазистоционарлы математикалық модель координаттар жүйесіне сәйкес таңдауларда квазистоционарлыққа түрлендіруге болады. Мысалы, доғалы электрлік балқытып жапсыру кезінде қозғалыссыз координаталар жүйесіндегі тұрақты жылдамдықпен қозғалатын электрод төңірегінде балқытылып жапсырылатын болат беттердегі температура өрісі стационарлы емес математикалық модельдерде сипатталады, ал электродпен байланысқан қозғалысты координаталар жүйесінде квазистационарлық математикалық модельде сипатталады. Туынды талдау жағынан математикалық модельдердің негізі болып, оның сызықтығы табылады. Техникалық объектінің сызықты математикалық моделінің параметрлері сызықты қатынастармен байланысқан, бұл техникалық объектінің қандай да бір ішкі параметрінің өзгерісінде сызықты математикалық модель оған тәуелді болатын шығыс параметрлерінің сызықтық өзгерісін болжайды, ал екі немесе одан да көп параметрлері кезінде олардың әсері күрделі, яғни мұндай математикалық модель суперпозиция (латынның superpositio-«қондыру» деген мағынаны білдіреді) қасиетіне ие. Егер математикалық модель суперпозиция қасиетіне ие болмаса, онда оны сызықты емес деп атайды[2].

Сызықты математикалық  модельдерді сандық талдау үшін, математикалық  әдістердің көп саны өңделген. Ал сызықты  емес математикалық модельдерді  таңдау мүмкіндігі негізінен есептеуіш  математика әдістерімен байланысқан. Техникалық объектінің сызықты емес математикалық моделін зерттеу үшін аналитикалық әдістерді қолдануға болады, әдетте оны сызықтайды, яғни параметрлер арасындағы сызықты емес қатынасты жуықталған сызықты қатынастармен алмастырады және қарастырылатын техникалық объектінің сызықталған деп аталатын математикалық моделін алады.Сызықтау қосымша қателерді енгізумен байланысты болғандықтан, онда сызықталған модельдерді талдау нәтижелеріне сақтықпен қарау керек. Математикалық модельдерді сызықтау техникалық объектінің нақты қасиеттерін жоғалтуға немес бұрмалануына әкелуі мүмкін. Математикалық модельдерде сызықты емес элементтерді есепке алу, мысалы, қозғалыс формаларын сипатттауда және техникалық объектінің тепе- теңдік орнын сипаттауда өте маңызды. Және шығыс параметрлерінің аз өзгерісі оның күйінде сапалық өзгерістерді әкелуі мүмкін.

Техникалық объектінің әрбір параметрі екі типте  болуы мүмкін- өз мәнінің кейбір аралықытарында үздіксіз өзгеретін  немесе кейбір дискретті мәндерді қабылдайтын, сондай- ақ бір облыста параметр барлық мүмкін мәндерді қабылдайтын, ал екінші жағдайда тек қана дискретті мәндерді қабылдайтын аралық жағдай болуы мүмкін[3]. Осыған байланысты үздіксіз, дискретті және аралас математикалық модельдерді ерекшелейді. Талдау процесінде математикалық модельдің бұл типі бір бірлеріне түрленуі мүмкін, бірақ мұндай түрлендіру кезінде қарастырылатын техникалық объектінің математикалық моделінің адекваттылық шартының орындалуын бақылау керек.

 

2.4. Математикалық  модельдердің иерархиясы және  олардың түрлері.

Күрделі техникалық объектінің математикалық моделін анықтау кезінде оның қозғалысын бір математикалық модельмен сипаттау мүмкін емес. Егер осындай математикалық модель құрылған болса, онда ол сандық талдау үшін күрделі болуы мүмкін. Сондықтан мұндай техникалық объектіге декомпозиция принціпін қолданады. Ол техникалық объектіні шартты түрде қарапайым блоктар мен элементтерге бөлуден тұрады және блоктар мен элементтердің бір-біріне өзара әсерін есепке алуды тәуелсіз қарастыруы болады. Декомпозиция принціпін сондай- ақ қарапайым элементтер деңгейіне қолдануға болады. Бұл жағдайда өзара байланысқан блоктар мен элементтердің математикалық иерархиясы туындайды.

Иерархиялық деңгейді математикалық  модельдің жеке типтері үшін де ерекшелеуге  болады, мысалы, техникалық объектінің құрылымдық математикалық моделінің арасында иерархияның жоғары деңгейіне топологиялық математикалық модельдерді жатқызады, ал төменгі деңгейіне- техникалық объектінің көп бөлшектелуімен сипатталатын геометриялық математикалық модельдерді жатқызады. Функционалдық математикалық модельдер арасында иерархиялық деңгейлер техникалық объектіде оның блоктар мен элементтерде өтетін процесстерді сипатталуының бөлшектелу деңгейін сипаттайды. Осыған байланысты үш негізгі деңгейді ерекшелеуге болады: микро-, макро- және методеңгей.

Микродеңгейдегі математикалық модельдер таралған параметрлері бар жүйелердегі (континуалды жүйелерде) процесстерді сипаттайды, ал макродеңгейдегі математикалық модельдер шоғырланған параметрлері бар жүйелердегі (дискретті жүйелерде) процесстерді сипаттайды[4]. Біріншіден, олардағы фазалық айнымалылар уақытқа да, кеңістік координаталарына тәуелді болуы мүмкін, екіншіден тек қана уақыттан. Егер макродеңгейдегі математикалық модельдерде фазалық айнымалылар саны 10⁴-10⁵ ретте болса, онда мұндай математикалық модельдердің сандық тәуелділіктері қолайсыз болып және есептеуіш ресурстар шығынын талап етеді. Сондай- ақ фазалық элементтердің көп санында техникалық объектінің негізгі қасиеттерін, соның ішінде тәртібін ерекшелеуде қиындықтар туады. Бұндай жағдайда күрделі техникалық объектінің элементтерін біріктіру және ірілету жолы арқылы, іріленген элементтер арасындағы өзара сипаттаумен шектеліп, қарастырудан элементтердің ішкі параметрлерін алып тастау арқылы фазалық айнымалылар санын азайтуға ұмытылады. Бұл методеңгейдегі математикалық модельдерге тән. Методеңгейдегі математикалық модельдерді әдетте жоғарғы иерархияға жатқызады, ал макродеңгейдегі математикалық модельдерді орташаға, микродеңгейдегі математикалық модельдерді  төменгі иерархияға жатқызады.

Микродеңгейдегі динамикалық (эволюциялық) математикалық модельдерді ұсынудың кең таралған формасы болып, математикалық физиканың дифференциалдық теңдеулері үшін шектік есептерін қалыптастыру табылады. Бұндай жеке туындылары бар дифференциалдық теңдеулер шарттардан тұрады. Өз қатарында шектік шарттар бастапқы шарттардан тұрады: конфигурациясы қарастырылатын техникалық объект немесе оның элементіне сәйкес келетін облысындағы бастапқы ретінде қарастырылатын уақыттың кейбір мезетіндегі ізделінді фазалық айнымалыларды тарату және осы облыс шекарасындағы шек аралық шарттар. Математикалық модельдерді ұсыну кезінде қарастырылатын техникалық объектіні сипаттайтын параметрлер санын қарастырып, теңдеулердің коэффициенттерін және өлшемсіз айнымалыларын (тәуелсіз және ізделінді) қолдану тиімді. Микродеңгейдегі математикалық модельдерді, егер ізделінді фазалық айнымалылар 1,2,3 кеңістік координаталарына тәуелді болса, онда оларды сәйкесінше бір өлшемді, екі өлшемді, үш өлшемді деп атайды. Математикалық модельдердің екі типін көпөлшемді микродеңгейдегі математикалық модельдерге біріктіреді. Фазалық айнымалылары уақытқа тәуелді емес микродеңгейдегі бірөлшемді математикалық модель, шекаралық шарттары берілген қарапайым дифференциалдық теңдеулер жүйесінде болады (бір фазалық айнымалы жататындай мұндай математикалық модель өзіне бір ғана қарапайым дифференциалдық теңдеулерді қосады және шектік шарттарды қамтиды).

Жеке туындысы және шектік шарттары бар дифференциалдық теңдеуден  тұратын шектік есептерге сәйкесінше интегралдық тұжырымдарды қоюға  болғандықтан, онда микродеңгейдегі математикалық модельдерді интегралдық формада ұсынуы мүмкін. Белгілі бір анықталған шарттарда шекаралық есептердің интегралдық формасын ізделінді функциядан тұратын функциялардың кейбір жиындарында қарастыруға болатын функционал түріндегі варияциалық тұжырымдауға алып келуге болады. Бұл жағдайда микродеңгейдің вариациалық формадағы моделі қарастырылады. Ізделінді функция функционал варияциасын нөлге айналдырады, яғни оның стационарлы нүктесі болып табылады.

Функционалды және оған сәйкес микродеңгейдегі модельдің вариациалық формасын құру әдетте жалпы ортаның электродинамикасы және механикасының мазмұнды вариациалық принціпіне негізделеді. Бұл жағдайда функционалдың стационар нүктесі фунциялардың мүмкін жиындарында оның экстремалды (көбінесе минималды) мәніне сәйкес келеді. Мұндай микродеңгейдегі экстрималды вариациалы деп аталатын модель формасы мүмкін жиындар ішінен кез келген екі функцияның функционал мәндерін салыстыра отырып бұл функциялардың ізделіндіге интегралдық мағынадағы жақындығын бақылауға көмектеседі. Модельдің экстрималды вариациалық формасының бұл қасиеті математикалық модельді сапалық талдау кезінде және шектік есепке сәйкес әртүрлі жуықтау есептерін салыстыру кезінде маңызды.