Математикалық модельдеу

Сапалық сипаттағы теориялық түсініктемелердің  қарастырылатын техникалық объект қасиеттерінің  сыртқы көріністерін бақылау нәтижелерімен өңдеуді үйлестіру жартылай эмприкалық деп алатын математикалық модельдердің аралас типіне алып келеді. Мұндай математикалық модельдерді құру үшін өлшемдік теориясының негізгі орнын қолданып, сонын ішінде Π- теоремасын (Пи- теорема): егер қарастырылатын объектіні сипаттайтын n параметрлерінің арасында физикалық мағынадағы тәуелділік болса, онда бұл тәуелділікті -ның өлшемсіз комбинацияларының арасындағы тәуелділік түрінде ұсынуға болады, мұндағы k- параметрлердің өлшемділігін өрнектеуге болатын тәуелсіз өлшеу бірлігінің саны. Сондай- ақ тәуелсіз (бір-бірімен өрнектелмесе) өлшемсіз комбинациялар санын анықтайды, әдетте ұқсастық критериі деп аталады.

Сәйкес ұқсатық критериінің  мәндері тең болатын объектілерді ұқсас деп санайды. Мысалы, кез-келген үшбұрыштың жақтары а,b және c ұзындықтарымен анықталады, яғни n=3, k=1. Сондықтан Π- теоремасына сәйкес ұқсас үшбұрыштар жиынын ұқсастық критериінің мәнімен беруге болады. Мұндай критерилер ретінде b/a және c/a жақтарының ұзындықтарының өлшемсіз қатынастарын немесе кез келген екі тәуелсіз қатынастарды алуға болады. Себебі үшбұрыштың бұрыштары жақтарының қатынастары бір мәнді байланысқан және өлшемсіз шама болғандықтан,онда ұқсас үшбұрыштар жиынының екі сәйкес бұрыштарының теңдігімен немесе бұрыштар теңдігі және оған жанасып тұрған жақтарының  ұзындықтарынын қатынасымен анықтауға болады. Барлық аталынған нұсқалар үшбұрыштар ұқсатығының белгілі белгілеріне сәйкес келеді.

Техникалық объектінің моделін  құруда Π- теоремасын тиімді пайдалану үшін қарастырылатын объектіні сипаттайтын параметрлердің толық жиынының бар болуы міндетті және бұл параметрлерді таңдау берілген нақты жағдайда әсері маңызды болатын техникалық объектінің ерекшеліктері мен қасиеттері дәлелді сапалы талдауға негізделуі керек. Бір айта кететін жағдай, ол мұндай талдау математикалық модель құрудың кез-келген әдісінде қажет және бұл жағдайды мысал ретінде келтірейік.

2.1. Мысал

Математикалық маятниктің (2- сурет) бәріне жақсы белгілі есептеуіш сұлбасын массасы m болатын, О нүктесі арқылы өтетін көлденең оське қатысты еркін айналатын жеңіл стерженда ілінген материалдық нүкте ретінде қарастырамыз.

2-сурет

 

Тепе- теңдік күйдің вертикалды орнынан маятниктің ϕ₀ бұрышқа ауытқуы материалдық нүктенің потенциалдық энергиясының шамасына артуына әкеледі[19], мұндағы g- еркін түсу үдеуі.

Егер ауытқудан кейін маятник  қозғалатын болса, онда кедергі болмаған жағдайда ол энергияның сақталу заңына сәйкес тепе- теңдік орнына қатысты  өшпейтін тербеліс жасайтын болады (2-суреттегі  А нүктесінің орны). Тепе- теңдік орнынан өткен кезде материалдық нүктенің v жылдамдығы абсолюттік шама жағынан үлкен болып саналады, өйткені осы орында осы нүктенің кинетикалық энергиясы -ге тең[19], сондықтан

Маятник тербелісінің Т  периодының (яғни, тепе- теңдік орнымен сәйкес келмейтін кейбір анықталған орынға маятник қайтып келетін уақыттың ең кіші аралығы) m,l,ϕ₀ және g (v қарастырудан алып тастау керек, себебі оны жоғарыда аталған параметрлер арқылы өрнектеуге болады) параметрлерге тәуелділігін орнату керек болсын. Аталынған 4 параметрдің және тербеліс Т периодының өлшемділігін [.] k=3 тәуелсіз стандартты өлшеу бірліктері арқылы өрнектеуге болады: [T]=c, [m]=кг, [l]=м, [ϕ₀] және [g]=м/с². Сондықтан n=5 параметрлердің Π- теоремасын өлшемсіз комбинациясын құруға болады және өлшемсіз ϕ₀ бұрышы солардың бірі болып табылады. Екінші өлшемсіз комбинацияға материалдық нүктенің m массасын қосуға болмайды, себебі салмақтың өлшем бірлігі (кг) салмақтың(массаның) өлшемділігіне жатады. Осыған сәйкес m шамасы ізделінді тәуелділіктің аргументі болып табылмайды, оны қарастырылатын маятниктің теориялық математикалық моделін құру кезінде де байқауға болады. m параметрін алып тастағаннан кейін n=4 және k=2 болады, яғни тағыда болады, сондықтан ϕ₀ өлшемсіз параметрімен қатар қалған параметрлер бір тәуелсіз өлшемсіз комбинацияны құрайды, оны түрінде ұсынуға болады.

Осылайша, Π- теоремаға сәйкес, ізделінді тәуелділікті келесі түрде іздеуге болады:

       (4)

Мұндағы - бұрышының кейбір функциясы. Бұл функцияның түрін өлшемділік теориясы шекарасында орнатуға болмайды. Ол үшін не тәжірибе жүргізу керек және өлшемсіз комбинациясының -ға функционалдық тәуелділігін айқындап, бірінші теңдікке (4)- теңдеуіне сәйкес оның нәтижелерін өңдеу керек, не f функциясын бірінші ретті толық эллиптикалық интеграл түрінде ұсынуға болатын теориялық математикалық модельін қолдануға болады. Бірақ f(немесе F) белгісіз функциясы кезінде де (4) теңдеуінің көмегімен тиімді нәтижелерді алуға болады. Мысалы, егер g және -дің белгіленген мәндері кезінде l ұзындықты кейбір маятник үшін тербеліс периодының Т мәні белгілі болса, онда l₁ ұзындықтағы маятник үшін тербеліс периоды болады.

Симметрия түсініктерінен (2- сурет) тербеліс периодының мәні маятниктің бастапқы ауытқуының бұрышының таңбасына тәуелді болмайтындығы шығады. Сондықтан функциясы жұп болу керек. Оны нүктесі маңында екі рет үздіксіз дифференциалданады деп жорамалдап және Лагранж формасындағы қалдық мүшесі бар Тейлор формуласын қолданып,

, мұндағы QÎ(0,1), түрінде жазуға болады. Егер болғанда осы теңдіктің оң жағындағы бірінші қосылғышпен шектелетін болсақ, онда (2.4) теңдеуден -ді аламыз.

Осылайша, өлшемдік теориясы f(0) тұрақты көбейткішке дейінгі дәлдікпен математикалық маятниктің шексіз кішкене тербелісінің периоды үшін тәуелділікті орнатуға көмектеседі. Осы жағдайға сәйкес келетін жақсы белгілі теориялық математикалық модель мәніне әкеледі.

2.2- Мысал

Жартылай эмприкалыққа, белгілі, қанат құлашының ұзындығының  бірлігіне келетін дыбыстық ауа  ағынында қанатты көтеруі үшін            (5) формуласынан тұратын математикалық модельді жатқызуға болады( мұндағы ρ және ν- қуалаушы ағынның тығыздығы және жылдамдығы, b- қанат пішінінің хордасы (3-сурет), С_у(α)- қанат пішінінің формасына тәуелді және қуалаушы ағынның бағытындағы шабуыл бұрышымен сипатталатын өлшеусіз коэффициент).

 

3-сурет

Қанат пішінінің формасын анықтайтын шабуыл бұрышы мен параметрлері өлшемсіз[17]. Сондықтан өлшемділіктерін k=3 тәуелсіз стандартты өлшем бірліктерімен өрнектеуге болатын P,ρ,v және b n=4 өлшемдік параметрлер әсерін қарастыруға болады:

[P]=Н/м=кг/с², [ρ]=кг/м³ , [v]=м/с, [b]=м, мұндағы (ньютон)- күштің туынды өлшем бірлігі. Π- теоремаға сәйкес, осы өлшемдік параметрлерінен бір ( ) тәуелсіз өлшемсіз комбинациясын құруға болады, оны түрінде жазамыз. Онда қанат пішінінің нақты формасы үшін аламыз. Мұндағы функциясын аэродинамикалық құбырдағы қанаттың геометриялық ұқсас моделінің әртүрлі шабуыл бұрыштарынан үрлеу жолы арқылы тәжірибе жүзінде алынады. Егер αбекітілген мәні үшін бұл функцияның өлшемсіз мәнін арқылы белгілесек, онда (5)-теңдеуге көшеміз. Осылайша, (5)-теңдеу құрылымы Π- теоремасына қайшы келмейді. кешенін кейде қуалаушы ағынның динамикалық қысымы деп те атайды, ол ағынның толық тежелуі кезіндегі қысымның өсуіне тең, немесе осы ағынның көлем бірлігінің кинетикалық энергиясына тең. Қысым механикалық кернеу сияқты паскальмен (Б. Паскаль (1623-1662)- француз математигі және физигі) өлшенеді (Па=Н/м²). (5) теңдеумен қатар теориялық жолмен орнатылған Жуковскийдің [X] белгілі формуласы бар:

     (6)

Мұндағы Г- қанат пішінің  қамтитын контур бойынша жылдамдық векторының айналуы. (6) теңдеуден тұратын теориялық математикалық модель жартылай эмприкалық математикалық модельге қарағанда жетілген, өйткені (5)- теңдеуге қарағанда С_у(α) эмприкалық коэффициентінен тұрмайды. Бірақ Г мәнін теориялық жағдай ғана практикалық қызығушылық танытпайтын жолмен табуға болады, ал бұл мәнді С_у(α) мәніне қарағанда эксперименталдық өлшеу көмегімен тапқан қиынырақ. Сондықтан жартылай эмприкалық математикалық модель бұл жағдайда өнімділік шартын қанағаттандыру жағынан теориялық математикалық модель белгілі бір артықшылыққа ие.

2.3-Мысал

Айталық, l сипаттамалық өлшемге және Т₀ тұрақты температураға ие болатын сығылмайтын сұйықтық берілген форманың қатты денесін айналып ақсын(4-сурет). v жылдамдығы және Т_ж>T₀ температуралы сұйықтық денеге дейінгі ең үлкен аралықта тұрақты мәнді (l –ға қарағанда)сақтап қалады. векторының бағытына байланысты дененің қандай да бір бекітілген күйі кезінде, уақыт бірлігінде сұйықтықтан денеге берілетін және жылулық ағымы деп аталатын Q-жылулық санын табу керек.

4-сурет.

Жылу беру процесі  дененің бетінде таралған және де айтылған параметрлерге ғана емес, сонымен қатар с-көлемді жылу сиымдылығына және λ- сұйықтықтың жылу өткізгіштік коэффициентіне тәуелді, себебі бұл параметрлер сұйықтыққа жылу энергиясын беру және оны дене бетіне беру мүкіндігіне ие. Жылу энергиясының денеге берілуі де дене бетіндегі сұйықтықтың таралу жылдамдығына байланысты болады[20]. Идеалды тұтқыр емес сұйықтық жағдайында ол v векторына сәйкес дененің бекітілген орнымен біркелкі анықталады, ал тұтқыр сұйықтық үшін кинематикалық деп аталатын және м²/с-пен өлшенетін, ν тұтқырлық коэффициентімен сипатталатын тұтқырлық және инерция күштерінің қатынасына тәуелді.

Т_ж және T₀ салыстырмалы жақын мәндерінде жылу ағымы осы температуралардың әрбіреуіне емес, олардың айырымдарына тәуелді деп болжаймыз. Сонда идеалды сұйықтық жағдайында n=6 өлшемді параметрлеріне ие боламыз, олардың өлшемділігін k=4 тәуелсіз стандартты өлшем бірліктері арқылы шығаруға болады:

[l]=м,  [v]=м/с,  [ϑ]=К, мұндағы Дж(Джоуль) және Вт(ватт)- сәйкесінше энергия (жұмыс) және қуттың өлшем бірліктері, ал К(кельвин)- абсолют шкаладағы температураның өлшем бірлігі. Бұл параметрлердің ішінен Π- теоремасына тәуелсіз өлшемсіз комбинацияларды жатқызуға болады, мысалы Q/lλϑ және vlc/λ. Нәтижесінде 1915 жылы Дж.У. Стретт(1842-1919 жылдар аралығында өмір сүрген ағылшын физигі,  лорд титулын алғаннан кейін лорд Рэлей деген атпен белгілі) орнатқан функционалды тәуелділікке келеміз.

.                (27)

 қатынасын дене бетінің  S ауданы бойынша жылуағымының  тығыздығы орташаланған деп атайды  және Вт/м²-пен өлшенеді. Геометриялық ұқсас денелер үшін l²/S=c=const, онда (7) теңдеуді келесі түрде ұсынуға болады:

.           (8)

Мұндағы K_i – Кирпичевтың жылулық критериі және Ре- Пекле критерийі. Дене бетіндегі жылу алмасу интенсивтілігін көбінесе жылу қайтарудың орташа коэффиценттерімен сипаттайды, ол Вт/м²×К –мен өлшенеді[20]. Онда (8) теңдеу үшін мынаны аламыз:

.             (9)

Мұндағы Nu- Нусельт критериі. (7)-(9) теңдеулеріндегі f функциясының түрін өлшемділік теориясында орнатуға болмайды және оны тәжірибені өңдеу нәтижесінде анықтауға келеді, бірақ кейбір қарапайым жағдайларды жылу алмасу процесінің теориялық математикалық модельін құруға болады.

Тұтқыр сұйықтық жағдайында n=7 өлшемдік параметрлерін аламыз және олардың өлшемділігін k=4 тәуелсіз өлшем  бірлігі арқылы өрнектеуге болады, яғни тәуелсіз өлшемсіз комбинациялар саны -ке тең. Жоғарыда қарастырылғандарға v жаңа параметрлерін қосатын кез келген өлшемсіз комбинацияны қосуға болады. Бұл комбинацияны, мысалы, vl/ν және сν/λ түрінде таңдауға болады. Бірінші жағдайда Рейнольдс критериі деп аталады және , ал екіншісінде Прандтля критериі деп аталады және Pr=cν/λ деп белгілейді. Прандетеля критериі сұйықтықтың қасиетін ғана сипаттайды, ал Рейнольдс критериі тұтқыр үйкеліс күшімен инерциялық күш арасындағы қатынасты сипаттайды. Нәтижесінде (9) теңдіктің орнына келесіні аламыз:

           (10)

Pe=RePr болғандықтан, онда тұтқыр сұйықтық жағдайында Нуссельт критериі Pe, Re,Pr үш аргументтерінің кез-келген екеуінің функциясы түрінде ұсынылуы мүмкін.

 

Параметрдің үш немесе одан да көп өлшемсіз комбинациялары болған кезде жартылай эмприкалық математикалық  модельді құру күрделене түсетіні анық. Бұл жағдайда анықталатын критериі көбіне ерекшеленеді (2.3- мысалдағы Ki немесе Nu), ал қалған критерийлерді анықтайтынға жатқызады және ізделінді функцияның аргументі ретінде қарастырылатын, екі немесе одан да көп анықтайтындардан анықталатын критерилер арасындағы функционалдық тәуелділікті орнату үшін, тәжірибелік өлшеулердің бірнеше сериясын жүргізеді. Өлшеудің әрбір сериясында өлшемдік параметрлерді анықтайтын критерийлердің біреуінің мәні ғана өзгеретіндей етіп өзгертеді. Сонда мұндай өлшеу сериясының нәтижесі анықтайтын критерийдің  қалғандарының бекітілген мәндеріндегі бір аргументке функционалдық тәуелділігін айқындауға мүмкіндік береді. Нәтижесінде анықтайтын критерийдің мәндерінің облысында ізделінді функцияны жуық мәнде құруға болады. Яғни жартылай эмприкалық математикалық модельдің идентификация (теңестіру) есебін шешу.

Аналитикалық математикалық модель теңдеу түрінде ұсынылған Π-теоремасын қолдану, оны өлшемсіз формаға әкелуге және қарастырылатын техникалық объектіні сипаттайтын параметрлер санын қысқартуға мүмкіндік беретінін атап өтуге болады. Бұл математикалық модельдің сапалық талдауын жеңілдетеді және сандық талдау жүргізуге дейін жеке факторлардың әсерін бағалауға болады. Сондай- ақ математикалық модельдердің өлшемсіз формасын оның сандық талдауының нәтижесін ықшамды түрде ұсынуға мүмкіндік береді.