Применение информационных технологий при изучении случайных процессов

Глава 3. Примеры использования математических пакетов при исследовании случайных процессов

Задача моделирования случайного процесса включает в себя задачу моделирования случайной величины.

При моделировании дискретных случайных величин наиболее часто используются два метода:

• метод последовательных сравнений
• метод интерпретации.

При моделировании непрерывных случайных величин с заданным законом распределения могут использоваться три метода:

• метод нелинейных преобразований
• метод композиций;
• табличный метод.

Все эти методы, кроме метода нелинейных преобразований могут быть практически без труда реализованы во многих математических пакетах и языках программирования. Задача же определения характеристик случайного процесса более сложна и предъявляет большие требования к используемому пакету.

Наибольший интерес при изучении характеристик процесса представляет пакет Matlab и его приложение Statistics Toolbox. В нем реализовано большое число функций для различных задач статистики.

Оценка параметров закона распределения по экспериментальным данным в Matlab:

• betafit - Оценка параметров бета распределения
• binofit - Оценка параметров биномиального распределения
• nbinfit - Оценка параметров отрицательного биномиального распределения
• expfit - Оценка параметров экспоненциального распределения
• gamfit - Оценка параметров гамма распределения
• normfit - Оценка параметров нормального распределения
• poissfit - Оценка параметров распределения Пуассона
• raylfit - Оценка параметров распределения Релея
• unifit - Оценка параметров равномерного распределения
• weibfit - Оценка параметров распределения Вейбулла
• mle - Расчет функции максимального правдоподобия

Законы распределения случайных величин в Matlab:

• betacdf - Бета распределение
• binocdf - Биномиальное распределение
• cdf - Параметризованная функция распределения
• chi2cdf - Функция распределения хи-квадрат
• expcdf - Экспоненциальное распределение
• ecdf - Эмпирическая функция распределения (на основе оценки Каплана-Мейера)
• fcdf - Распределение Фишера
• gamcdf - Гамма распределение
• geocdf - Геометрическое распределение
• hygecdf - Гипергеометрическое распределение
• logncdf - Логнормальное распределение
• nbincdf - Отрицательное биномиальное распределение
• ncfcdf - Смещенное распределение Фишера
• nctcdf - Смещенное распределение Стьюдента
• ncx2cdf - Cмещенное хи-квадрат распределение
• normcdf - Нормальное распределение
• poisscdf - Распределение Пуассона
• raylcdf - Распределение Релея
• tcdf - Распределение Стьюдента
• unidcdf - Дискретное равномерное распределение
• unifcdf - Непрерывное равномерное распределение
• weibcdf - Распределение Вейбулла 

Обратные функции распределения случайных величин в Matlab:

• betainv - Бета распределение
• binoinv - Биномиальное распределение
• chi2inv - Функция распределения хи-квадрат
• expinv - Экспоненциальное распределение
• finv - Распределение Фишера
• gaminv - Гамма распределение
• geoinv - Геометрическое распределение
• hygeinv - Гипергеометрическое распределение
• icdf - Параметризованная обратная функция распределения
• logninv - Логнормальное распределение
• nbininv - Отрицательное биномиальное распределение
• ncfinv - Смещенное распределение Фишера
• nctinv - Смещенное распределение Стьюдента
• ncx2inv - Cмещенное хи-квадрат распределение
• norminv - Нормальное распределение
• poissinv - Распределение Пуассона
• raylinv - Распределение Релея
• tinv - Распределение Стьюдента
• unidinv - Дискретное равномерное распределение
• unifinv - Непрерывное равномерное распределение
• weibinv - Распределение Вейбулла

Генерация псевдослучайных чисел по заданному закону распределения в Matlab:

• betarnd - Бета распределение
• binornd - Биномиальное распределение
• chi2rnd - Функция распределения хи-квадрат
• exprnd - Экспоненциальное распределение
• frnd - Распределение Фишера
• gamrnd - Гамма распределение
• geornd - Геометрическое распределение
• hygernd - Гипергеометрическое распределение
• iwishrnd - Обратная матрица случайных чисел распределения Уишарта
• lognrnd - Логнормальное распределение
• mvnrnd - Многомерное нормальное распределение
• mvtrnd - Многомерное распределение Стьюдента
• nbinrnd - Отрицательное биномиальное распределение
• ncfrnd - Смещенное распределение Фишера
• nctrnd - Смещенное распределение Стьюдента
• ncx2rnd - Cмещенное хи-квадрат распределение
• normrnd - Нормальное распределение
• poissrnd - Распределение Пуассона
• random - Параметризованная функция генерации псевдослучайных чисел
• raylrnd - Распределение Релея
• trnd - Распределение Стьюдента
• unidrnd - Дискретное равномерное распределение
• unifrnd - Непрерывное равномерное распределение
• weibrnd - Распределение Вейбулла
• wishrnd - Матрица случайных чисел распределения Уишарта

Функции анализа многомерных случайных величин в Matlab:

• barttest - Тест Бартлета
• canoncorr - Канонический корреляционный анализ
• cmdscale - Классическое многомерное шкалирование
• classify - Линейный дискриминантый анализ
• mahal - Функция определяет расстояния Махаланобиса между строками двух матриц, являющихся входными параметрами.
• manova1 - Однофакторный многомерный дисперсионный анализ
• procrustes - Ортогональное вращение, позволяющее поставить в прямое соответствие одно множество точек другому 

Раздел, который заслуживает особого внимания для начинающего пользователя этого приложения, это раздел демонстрационных примеров.

• aoctool - Интерактивное средство ковариационного анализа
• disttool - Интерактивное средство для исследования функций распределения случайных величин
• glmdemo - Пример использования обобщенной линейной модели
• randtool - Интерактивное средство для генерации псевдослучайных чисел
• polytool - Интерактивное определение параметров полиномиальной модели
• rsmdemo - Интерактивное моделирование химическое реакции и нелинейный регрессионный анализ
• robustdemo - Интерактивное средство для сравнения методов МНК и робастной регрессии 

Mathcad также имеет развитый аппарат работы с задачами математической статистики и обработки эксперимента.

Во-первых, имеется большое количество встроенных специальных функций, позволяющих рассчитывать плотности вероятности и другие основные характеристики основных законов распределения случайных величин. Наряду с этим, в Mathcad запрограммировано соответствующее количество генераторов псевдослучайных чисел для каждого закона распределения, что позволяет эффективно проводить моделирование.

Во-вторых, предусмотрена возможность построения гистограмм и расчета статистических характеристик выборок случайных чисел и случайных процессов, таких как средние, дисперсии, корреляции и т. п. При этом случайные последовательности могут как создаваться генераторами случайных чисел, так и вводиться пользователем из файлов.

В-третьих, имеется целый арсенал средств, направленных на интерполяцию-экстраполяцию данных, построение регрессии по методу наименьших квадратов, фильтрацию сигналов. Наконец, реализован ряд численных алгоритмов, осуществляющих расчет различных интегральных преобразований, что позволяет организовать спектральный анализ различного типа.

В Mathcad имеется ряд встроенных функций, задающих используемые в математической статистике законы распределения. Они вычисляют как значение плотности вероятности различных распределений по значению случайной величины х, так и некоторые сопутствующие функции. Все они, по сути, являются либо встроенными аналитическими зависимостями, либо специальными функциями.

В Mathcad заложена информация о большом количестве разнообразных статистических распределений, включающая возможность генерации последовательности случайных чисел с соответствующим законом распределения. Для реализации этих возможностей имеются четыре основных категории встроенных функций. Их названия являются составными и устроены одинаковым образом: первая буква идентифицирует определенный закон распределения, а оставшаяся часть (ниже в списке функций она условно обозначена звездочкой) задает смысловую часть встроенной функции:

• d* (x,par) — плотность вероятности;
• р*(х,раг) — функция распределения;
• q*(P,par) — квантиль распределения;
• r* (M,раr) — вектор м независимых случайных чисел, каждое из которых имеет соответствующее распределение:

• х — значение случайной величины (аргумент функции);

• Р — значение вероятности;
• par — список параметров распределения.

Чтобы получить функции, относящиеся, например, к равномерному распределению, вместо * надо поставить unif и ввести соответствующий список параметров par. Он будет состоять в данном случае из двух границ интервала распределения случайной величины.

Перечислим все типы распределения, реализованные в Mathcad, вместе с их параметрами, на этот раз обозначив звездочкой * недостающую первую букву встроенных функций.  

• *beta (x, s1, s2) — бета-распределение (s1, s2>0 — параметры, 0<x<1).  
• *binom(k,n,p) — биномиальное распределение (n — целый параметр, 0<k<n и 0<р<1 — параметр, равный вероятности успеха единичного испытания).  
• *cauchy(x,l,s) — распределение Коши.  
• *chisq(x,d) — χ2 ("хи-квадрат") распределение (d>0 — число степеней свободы).  
• *ехр(х,r) — экспоненциальное распределение (r>0 — показатель экспоненты).  
• *F(x,d1,d2) — распределение Фишера (d1,d2>0 — числа степеней свободы).  
• *gamma(x,s) — гамма-распределение (s>0 — параметр формы).  
• *geom(k,p) — геометрическое распределение (0<р<1 — параметр, равный вероятности успеха единичного испытания).  
• *hypergeom(k,a,b,n) — гипергеометрическое распределение (а,b,n — целые параметры).  
• *lnorm(х,µ, σ) — логарифмически нормальное распределение (µ— натуральный логарифм математического ожидания, σ>0 — натуральный логарифм среднеквадратичного отклонения).  
• *logis (х,l,s) — логистическое распределение (1 — математическое ожидание, s>0 — параметр масштаба).  
• *nbinom(k,n,p) — отрицательное биномиальное распределение (n>0 — целый параметр, 0<р<1).  
• *norm(х,µ, σ) — нормальное распределение (µ— среднее значение, σ>0 — среднеквадратичное отклонение).  
• *pois (k,λ) — распределение Пуассона (λ>0 — параметр).  
• *t (x,d) — распределение Стьюдента (d>0 — число степеней свободы).  
• *unif (х,а,b) — равномерное распределение (а<b — фаницы интервала).  
• *weibuii (x, s) — распределение Вейбулла (s>0 — параметр).

В Mathcad применяются типичные алгоритмы генерации последовательностей псевдослучайных чисел, которые используют в качестве "отправной точки" некоторое начальное значение (seed value). Это начальное значение используется для того, чтобы совершить над ним определенные математические действия (к примеру, взять остаток от деления на некоторое другое число) и получить в итоге первое псевдослучайное число последовательности. Затем те же математические операции совершаются с первым числом для получения второго, и т. д.

Несложно догадаться, что если использовать все время одно и то же начальное значение генератора псевдослучайных чисел, то, открывая всякий раз новый документ со встроенной функцией получения тех или иных псевдослучайных чисел, будет выдаваться в точности одна и та же их последовательность. Сами числа внутри последовательности будут "почти" случайными (значимость этого "почти" будет зависеть только от качества алгоритма генерации), но вот сама последовательность при каждом открытии документа будет одной и той же.

Встроенные функции для генерации случайных чисел создают выборку из случайных данных Ai. Часто требуется создать непрерывную или дискретную случайную функцию A(t) одной или нескольких переменных (случайный процесс или случайное поле), значения которой будут упорядочены относительно своих переменных. В Mathcad, например, создать псевдослучайный процесс можно следующим достаточно простым

способом:

 

 

 

 

 

 

 

 

В результате получается случайный процесс A(t), радиус корреляции которого определяется расстоянием между точками, для которых строится интерполяция. Случайное поле можно создать несколько более сложным способом с помощью многомерной интерполяции.

В ядре системы Mathematica практически нет статистических функций. Зато пакет расширения Statistics дает сотни функций, охватывающих практически все разделы теоретической и прикладной статистики.

Пакет расширения Statistics содержит следующие подпакеты:

• Confidencelntervals — функции доверительных интервалов;
• ContinuousDistributions — функции непрерывных распределений;
• DataManipulation — манипуляции с данными;
• DataSmoothing — сглаживание данных;
• DescriptiveStatistics — статистика распределений;
• DiscreteDistributions — функции дискретных распределений;
• HypothesisTests — проверка статистических гипотез;
• LinearRegression — линейная регрессия;
• MultiDescriptiveStatistics — статистика многомерных распределений;
• MultinormalDistribution — функции многомерных нормальных распределений;
• NonlinearFit — нелинейная регрессия;
• NormalDistribution — функции нормального распределения;
• Common — данные общего характера.