Лекции по "Моделированию в агроинженерии"

2. Программные модели. Ими является совокупность программ для диффузного объекта, написанных для ЭВМ, имитирующих (воспроизводящих опять-таки не натурно, а опосредованно) деятельность человека при решении определенного класса интеллектуальных задач.

Составлены программы  для игры в шахматы, шашки, программы для доказательства теорем математической логики планиметрии, программы для различных игр, интегрирования функций и т.д. Они ни в коей мере не опираются на перебор всех возможных комбинаций. С такой задачей не могут справиться даже самые современные ЭВМ. Все перечисленные программы строятся как эвристические, т.е. программы перебора с наложением некоторых ограничений.

Эвристичность их заключается как  раз в названных ограничениях. Ограничения накладываются, исходя только из интуитивных соображений, подражая деятельности человеческого интеллекта, без строгого обоснования.

Основное отличие ЭВМ от человека состоит в возможности человека решать плохо сформулированные задачи: машине нужен однозначный математический язык, тогда, как человек использует естественный (полиморфный, почти многозначный, а вернее размытый, с нечеткими границами между понятиями) язык. Если бы удалось создать машинный язык с такими качествами, человечество значительно бы преуспело в создании искусственного интеллекта.

3. Комбинированные модели, представляемые дифференциальными уравнениями (и другими строго понимаемыми зависимостями).

Первые два типа ММ имеют познавательный характер. Создаются  они для лучшего изучения структуры  системы при проведении последующего осмысливания ее поведения.

Чаще всего ММ используются в чисто практических целях: для  предсказания развития объекта в изменяющихся условиях с целью разработки управляющих воздействий. Вот эти модели и относятся к рассматриваемой группе. В экологии они используются при выборе стратегии борьбы с насекомыми-вредителями, при создании модели разумного ограничения лова ценных пород рыб, животных. Модели строятся на основании всестороннего анализа поведения сложной системы (конечно, по своей сути диффузной). Используются при этом результаты проведенных уже статистических исследований, ММ отдельных составляющих систему явлений, описывающих на базе известных закономерностей их развитие. В зависимости от назначения комбинированной модели в ней могут учитываться и экстраординарные ситуации (эпидемии, пожары, вырубка леса и т.д.). Построение таких моделей требует высокой адекватности ММ изучаемой системе, доказательство которой усложняется неполнотой знания, описывающего объект изучения.

4. Локально-интегральные (полиномиальные) модели. Такие ММ описывают сложные объекты, поведение которых определяется множеством факторов, их взаимодействием неизвестной природы, как некий «черный ящик», выходные параметры которого статистически связаны с выходными. Оценка этой статистической связи производится полиномом некоторой степени от входных факторов (регрессионным уравнением).

С познавательных позиций  полиномиальные модели мало  информативны: они не отражают закономерностей поведения объекта, поэтому они не могут способствовать совершенствованию внутренней структуры объекта. В практическом отношении полиномиальные модели оказываются полезными при решении экстремальных задач.

Математические модели разделяются и по глубине проработки связей элементов модели: на функциональные и структурные.

1. Функциональные ММ отражают закономерности процессов функционирования объектов и являются обычно системой уравнений, описывающей либо электрические, тепловые, механические процессы, либо процессы преобразования информации.
2. Структурные ММ характеризуют только структурные свойства, учитывающие геометрическую форму, размеры, взаимное расположение элементов в пространстве, наличие связей, порядок выполнения работ и т.д.

Функциональные ММ, как  правило, сложнее. При исследовании мало изученных систем, синтезировании сложных объектов начинают с создания структурных математических моделей, которые могут быть представлены в схемной форме.

По природе входных  и выходных параметров ММ можно разделить  на детерминистские и статистические (вероятностные, стохастические). Детерминистские ММ составляются на базе жестких причинно-следственных связей. При наличии достаточной информации о прошлом такой системы математические модели позволяют предсказать все ее будущее. Законы механики Ньютона имеют детерминистскую природу. Статистические ММ описывают преобразования входных величин вероятностной природы. Независимо от количества имеющейся информации о прошлом в таких задачах результаты преобразования ее математической моделью могут предсказать только вероятности изменения изучаемых явлений в будущем.

В зависимости от цели исследования объекта производится классификация математических моделей по уровню абстракции, который определяет вид используемого математического аппарата.

Математические модели на микроуровне описывают физическое состояние и процессы в сплошных средах с помощью аппарата математической физики, например дифференциальных уравнений в частных производных электродинамики, теплопроводности, упругости, газовой динамики. Непременными элементами таких ММ являются краевые условия. В качестве переменных в микроуровневых моделях выступают электрические потенциалы, давления, температуры, плотности среды, токов, механические напряжения и деформации. Математические модели на макроуровне используются при дискретизации пространств на отдельные элементы, участки (детали механических систем, дискретные электро- и радиоэлементы, участки кристаллов). Функциональные свойства объектов записываются алгебраическими или обыкновенными дифференциальными уравнениями. В качестве переменных в них фигурируют электронапряжения, механические силы, температуры, скорости, токи, расходы и т. д.

Математические модели на мегауровне абстрагируются от характера физических процессов и описывают приемлемые с практической точки зрения информационные процессы в реальном или синтезируемом объекте с помощью математического аппарата систем автоматического управления (аналоговые машины), математической логики, теории конечных автоматов, теории массового обслуживания.

Математические модели на мегауровне - это модели, относящиеся по классификации Налимова В.В. к эскизным и программным моделям. Они во многих случаях представляются в алгоритмической форме имитационного плана. Сложность формулирования таких задач при математическом моделировании заставляет привлекать к этому делу специалистов разного профиля и, конечно, в первую очередь математиков, занимающихся вопросами планирования операций.

Сложным классом систем с точки зрения теории математического  моделирования являются, так называемые, системы массового обслуживания. К ним относятся любые системы, в которых существует один или несколько потоков материальных или информационных объектов, которые обрабатываются определенным способом. Реальными системами массового обслуживания являются, например: телефонные станции, билетные кассы, информационно-вычислительные системы, автозаправочные станции и им подобные. К системам массового обслуживания космических средств относятся центры и пункты управления космическими аппаратами, системы сбора и передачи данных, стартовые комплексы и много других технических и организационных систем. При исследовании и моделировании систем массового обслуживания в качестве основных параметров, характеризующих функционирование этих систем, обычно рассматривают временные показатели: время наступления некоторого события, интервалы времени между событиями, интенсивность событий и соответствующие этим величинам распределения вероятностей.

 

2.4 Математические модели состояния объектов. Операнды.

Отношения.

Основные типы пространств, области их применения

 

Ключевым словом в  этом разделе является слово «состояние».

Состояние объекта - это качественная его характеристика в заданный момент времени, оцениваемая определенными количествен-ными значениями набора некоторых его свойств.

 В общем случае оценки  характеристик, определяющих состояние  объекта, являются какими-либо выходными переменными факторами, под которыми понимаются его «потребительские» свойства.

Примеров известных нам всем математических моделей можно привести много. Вот некоторые из них: математическая запись второго закона механики, закон Кирхгофа, закон Ома, закон, описывающий состояние идеального газа – характеристическое уравнение Клайперона                                                   

pv=RT,

где R тоже характеристика газа (газовая постоянная), и многие другие.

Свойства объекта в  целом «измеряются» уровнем входящих в подобные ММ отдельных характеристик, изменение которых и свидетельствует  об изменении состояния.

В наиболее знакомой нам  области науки (теплотехнике) такими характеристиками  для объекта, каковым являются идеальный газ, будут давление р и удельный объем газа v, а также абсолютная температура газа T. Изменение хотя бы одной из них изменяет свойства объекта: сжатый газ способен совершать работу, нагретый в свободном состоянии – высушивать какое-нибудь сырье.

Все названные характеристики объекта – газа (и любого другого),

способные изменить его состояние, называются переменными (величинами). Категория переменных является составной частью операндов ММ. В них входят также параметры и константы, к которым относятся величины, учитывающие природные свойства объекта. В нашем примере к константам относится универсальная газовая постоянная, R . Внутренние природные свойства объекта не всегда остаются постоянными: они могут меняться с изменением условий существования объекта и даже быть какой-то их функцией. Такие свойства называются параметрами.

Переход из одного состояния  в другое определяется условиями, в  которых находится объект.

В общем случае объект может характеризоваться любым  числом переменных. В зависимости от поставленных составителем математической модели целей используются или учитываются те из них, которые являются значащими.

В природе почти все  процессы инерционны, т.е. происходят во времени, поэтому переход объекта из одного состояния в другое может быть  описан системой обыкновенных дифференциальных уравнений вида:

    (2.1)

где х₁,…,x_n – переменные величины, характеризующие состояние объекта; Р - характеристики самого объекта (параметры и константы); F - характеристики условий, в которых производится изменение состояний.

Функциональные зависимости ψ₁,ψ₂,...,ψ_n представляют собой закономерности, связывающие отдельные состояния объекта между собой. В такой записи они выражают скорости изменения переменных при переходе объекта из одного состояния в другое. В общем случае эти зависимости являются частными видами отношений, которые могут устанавливаться между элементами математического множества (состояний).

По своему функциональному назначению переменные могут быть разделены на группы на основании общей (комплексной) управляемой системы (рисунок 2.1):

Переменные, характеризующие  состояние объекта, несут функциональную нагрузку, и с этой точки зрения они подразделяются:

• на выходные переменные x₁(t), x₂(t), …x_n(t), отражающие основные стороны поведения системы [вектор Х (t)];
• переменные управления r₁(t), r₂(t), …r_ℓ(t), отражающие воздействия со стороны управляющей части (например, регулятора двигателя внутреннего сгорания - вектор R (t));
• возмущающие воздействия f₁(t), f₂(t), …f_к(t), действующие со стороны внешней среды (вектор F (t));
• переменные воздействия на управляющее устройство n₁(t), n₂(t),... n_р(t), являющиеся помехами в регулирующем устройстве или какой-то дополнительной информацией о возмущениях F, попадающей непосредственно в управляющее устройство (вектор N (t));
• наблюдаемые переменные y₁(t), y₂(t),...y_m(t) - некоторые характеристики выходных переменных, определяемые целью регулирования (вектор У(t)).

Общий вид ММ управляемой  системы включает три группы дифференциальных уравнений:

       1) связи вектора переменных, включающих, кроме самих переменных, воздействия и их производные, Х₀ (t),и таких же векторов управления и возмущающих воздействий ( R₀ (t) ,  F₀ (t);

       2) связи  вектора управления R₀ (t) с векторами переменных воздействия N₀ (t) и наблюдаемых переменных У₀(t) при действующем законе управления g;

       3) связи вектора наблюдаемых переменных У₀(t) c выходными переменными (с результатом действия регулятора).

        Математическая модель в самом общем случае представляется системой дифференциальных уравнений

 

                                Х(Х₀)=Φ (R₀,F₀),

                                R(R₀)=P(y₀,N₀,g),                                         (2.2)

                                       У₀=cХ₀.

 

Каждой ММ свойственна  область существования. Она может  быть непрерывной и дискретной. Непрерывная область характеризуется бесконечно малым изменением свойств объекта в бесконечно малой окрестности рассматриваемой точки. Дискретная – резким изменением в некоторых переходных точках (примеры: переход воды из твердого состояния в жидкое, а потом в парообразное; взрыв урановых материалов при достижении критической массы).

Качественные характеристики иногда плохо описываются количественно. Для перевода  качественных характеристик (это обычно нечеткие оценки свойств объекта) в фиксированные количественные показатели используется кодирование их натуральными числами. Примеры таких шкал кодирования – шкала предпочтения Заде (таблица 2.1) и шкала Харрингтона (таблица 2.2).