Лекции по "Моделированию в агроинженерии"

 

        Таблица 2.1          Шкала кодирования предпочтения Заде

Численность оценки	Оценка	Пояснения
1	Отсутствие предпочтений	Два объекта дают равный вклад в цель
3	Слабое предпочтение	Оценка слегка в пользу одного из объектов
5	Сильное предпочтение	Оценка существенно  в пользу одного из объектов
7	Очень сильное предпочтение	Один объект сильно доминирует над другим
9	Абсолютное предпочтение	Очевидна высшая степень предпочтения
2,4,6,8	Промежуточные оценки	Необходим компромисс

 

 

                       Таблица 2.2    Шкала желательности Харрингтона

Желательность	Отметки на шкале
Очень хорошо	1,00...0,80
Хорошо	0,80...0,63
Удовлетворительно	0,63...0,37
Плохо	0,37...0,20

 

 

 

2.5  Математические модели эволюции состояний,

         их классификация, свойства, области применения

 

Решение системы уравнений (ММ), помеченной вторым номером, позволяет тем или иным способом  получить вектор состояния Х(t), зависящий от времени. Его значения, отнесённые к прошлому, будут историей переходов, а к будущему – предсказанием его поведения. По существу он выражает эволюцию развития состояний.

В задаче, решённой таким  образом, обязательно все процессы, явления настолько детерминированы, что функционирование объекта никоим образом внезапными изменениями не может быть  нарушено.

Однако не всегда наблюдаются именно такие объекты. Некоторые объекты в некоторых прошлых промежутках времени были определены, получен набор состояний по времени, но физические (функциональные) отношения перехода состояний не установлены, проще сказать закономерности такого перехода неизвестны.

В этом случае задача прогнозирования  поведения объекта не может быть решена с большой надёжностью  осуществления.

Общим способом решения  математического моделирования  таких объектов является идентификация прошлых состояний – экспериментальное установление вида интегральной зависимости вектора состояний от вектора входных воздействий по известному прошлому с последующей экстраполяцией (распространением на будущее) этой функции.

 Задача идентификации  записывается э таком виде:

где F - неизвестный оператор (функция), описывающий объект во времени; F' - аппроксимация оператора F.

На самом деле идентификацию по приведенному выражению провести нельзя (F – не известен), поэтому идентичность ему аппроксимации F' оценивается идентичностью выходов модели F' и действительного объекта:

                                  

Проще всего идентификация осуществляется для объектов, для которых вид аналитической функции F' известен (например, сила тока в цепи переменного тока описывается законом косинусов, поэтому определить при идентификации надо только его амплитуду). Такой вид идентификации носит название параметрической. Определение характеристик функции в этом случае осуществляется методами линейной аппроксимации, наименьших квадратов. Раздел науки, который занимается этим, называется адаптацией и обучением в автоматических системах или адекватной идентификацией.

Системы и задачи, в  которых это можно сделать, называются системами с устранимой информативной неопределенностью (за счет увеличения опытных данных). Обычно они характеризуются большим набором переменных, влияющих друг на друга, но подчиняющихся некоторым усредненным закономерностям. Иногда, правда, это достигается за счет структурной адаптации, состоящей в подборе аппроксимационной функции в виде разложения по некоторой системе известных функций:

     (2.3)

где вектор β=(β₁, β₂,…β_n) определяется в ходе параметрической адаптации.

Соотношение (2.3) может быть еще и функцией параметра α, поэтому идентификация осуществляется по α и β.

В более сложных системах обязательно возникают случаи неустранимой информационной неопределенности в свойствах и характеристиках состояния объекта.. Никакое увеличение объема экспериментальной информации не устраняет информативной неопределенности, и всякая составленная для таких объектов математическая модель не будет соответствовать ему в ближайшее время.

Управление такими сложными системами можно производитьтолько с помощью алгоритмов самоорганизации, обеспечивающих возможность перехода одного класса модели к другому по структуре и функционированию.

Способы создания алгоритмов самоорганизации – это предмет

 изучения науки, которая называется кибернетикой. Кибернетика сформулировала свойства алгоритмов самоорганизации. Их четыре:

• постоянное взаимодействие с объектом для непрерывного получения информации;
• обязательное наличие стохастической (вероятностной) части;
• значительная структурная и функциональная избыточность;
• иерархия (многоуровневая связь) организации и многообразие задач, решаемых на различных уровнях.

В таких условиях в  качестве цели бессмысленно ставить  вопрос достижения выработки оптимальных управляющих воздействий, а можно говорить лишь об удовлетворительных решениях. Сама идея такой рационализации носит все-таки название принципа оптимальности Беллмана, который гласит: оптимальная стратегия характеризуется той особенностью, что, какими бы ни были начальное состояние системы и последствия ранее принятых относительно нее решений, все дальнейшие действия должны составлять оптимальную стратегию, исходящую из состояния системы, явившегося результатом прежних решений.

Самоорганизующиеся алгоритмы  необычайно сложны в реализации. Не случайно распространение получили пока алгоритмы самонастройки, являющиеся подклассом самоорганизующихся алгоритмов. При самонастройке изменяются лишь некоторые параметры алгоритма, цель которого поддержать на заданном уровне определенные характеристики объекта.

При этом сложные модели приходится  разделять на более  простые элементы (т.е. использовать принцип декомпозиции) и рассматривать их как структурные модели с определенными характеристиками: функциональными (набором операторов) и структурными (графом взаимосвязи).

Набор операторов – это  некие заготовки, а структура – каркас модели, соединяющий каким- либо входы и выходы модели. Этим самым моделирование объекта заменяется моделированием его эволюции (смены каркасов). Принцип такого моделирования называется принципом искусственной эволюции Л. Фогеля. Демонстрируется он элементами самых простых предсказывающих и распознающих алгоритмов. В этих алгоритмах и возникает необходимость иерархии программируемых действий:  нижний уровень в режиме реального времени используется для предсказания «поведения» объекта при постоянном наборе структурных моделей, а верхний – за счет «мутаций» (внезапных изменений) структур каркасов путем случайного поиска как самоорганизуюшийся алгоритм готовит новые структуры. При «сбоях» модели во время счета эти вновь формирующиеся структуры должны обеспечить замену старых связей в алгоритме новыми.

 

 

 

 

 

 

3 МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИХ  МОДЕЛЕЙ

 

3.1 Основные этапы математического моделирования

 

Использование результатов  математического моделирования как средства решения сложных прикладных задач и проблем имеет в каждом конкретном случае специфические особенности. Однако общие черты всего процесса исследования позволяют выделить в этой работе пять этапов.

1. Построение физической модели. Поскольку физическая модель строится (формулируется) как некоторое приближение к исходному объекту, то она оказывается всегда проще самого объекта.

Физическая модель формулируется  на языке той науки, к которой относится реальный объект исследования, с помощью абстрактных представлений, мысленного отвлечения от многих свойств и связей оригинала и выделения тех сторон и признаков, которые отражают сущность его и представляют важность для исследователя..

Порядок выполнения операций при построении физической модели следующий:

• Исследование всех действующих факторов (переменных), определяющих поведение исследуемого объекта; разделение их на значащие (главные, определяющие), и незначащие (второстепен-ные). Констатация (формулировка) допущений по особенностям использования действующих в объекте связей (в том числе о линейности и нелинейности этих связей, статичности и динамичности его характеристик – постоянных и параметров);
• Выбор способа математического описания связей элементов объекта, обоснование применимости его к изучаемым процессам;
• Запись связей элементов объекта, сохраненных в физической модели, в математических символах, в виде блок схемы получения ответа по исходным данным, в виде программы для ЭВМ или в виде состояния памяти ЭВМ (особенно по отношению к кибернетическим задачам).

На этом фактически заканчивается  математическое моделирование. В выше приведенных процедурах основная работа ложиться на специалистов, владеющих предметом исследования.

Использование математической модели возможно только после исследования полученной физической модели и системы уравнений или алгоритмов на корректность формулировки ее по отношению к объекту, физическим и другим законам природы, на существование и единственность решения, на устойчивость и другие косвенные характеристики.

На этом этапе необходима совместная работа составителей и математиков, способных выбрать математический аппарат (или скорректировать его) и оценить возможность решения на базе сформулированной задачи. Возможность решения задач без предварительного математического исследования возникает при выполнении основного требования ко всем операциям на этапе моделирования, определяющим адекватность (соответствие) ММ реальному объекту относительно выбранной системы характеристик.

Под этим обычно понимается:

• правильное качественное описание объекта по выбранным характеристикам, способное воспроизвести все изменения его под действием определенных вынуждающих факторов (входных переменных);
• правильное количественное описание объекта по выбранным характеристикам с разумной степенью точности.

Адекватность модели определяется не только исследуемым  объектом и его моделью, но и видом рассмотренных в модели воздействий, выбранных классом откликов, а также принятым уровнем точности.

Даже в технике, где  математика давно завоевала исследовательские  позиции, ММ может оказаться из-за сложности какого-либо объекта неадекватной. Выявление с помощью таких моделей качественных характеристик изменения состояний реальных объектов помогает исследователю ориентироваться в сложных системах и изыскивать пути их совершенствования. Абсолютной адекватности не существует, так как невозможно полное тождество ММ и моделируемого объекта.

Оценка адекватности ММ обычно производится точностью совпадения значения выходных величин модели и реального объекта, в качестве которой выступают относительные погрешности модели по каждой переменной , где y_im - выходная переменная, рассчитанная на модели; y_i – та же переменная объекта.

Точность модели по всему  набору переменных (m) представляется среднеквадратичной величиной их точностей или областью адекватности с указанием предельных значений точности по каждой из них.

Устанавливаемые предельные значения точностей по выходным данным определяют степень сложности математической модели по количеству значимых факторов уравнений, по длине алгоритмов счета, затратам машинного времени, требованиям к объему памяти ЭВМ. С другой стороны, соответствие модели реальному объекту зависит от степени изученности связей элементов, их составляющих. Успешное использование результатов анализа математической модели или синтеза сложного объекта будет зависеть от надежности описания этих связей.

При составлении математических моделей исследователь должен компромиссно разрешать противоречия между требуемой точностью и ограниченной сложностью модели.

В зависимости от задач  исследования реальная система, являющаяся объектом, разными исследователями может быть описана различными математическими моделями, ни одну из которых нельзя отвергать, но можно все их ранжировать (расположить) по степени адекватности описания реального объекта в области эксплуатации, представляющей интерес в исследуемой задаче.