Лекции по "Моделированию в агроинженерии"

Адекватность модели часто нельзя строго оценить, и поэтому выбор для использования конкретной модели в значительной мере субъективен. Более простая модель может оказаться более точной в каком-либо диапазоне изменения входных переменных.

2. Разработка  математического алгоритма, т.е. системы правил, задающей строгую последовательность математических операций, приводящих к искомому результату. Фактически этот алгоритм - совокупность цепочек алгебраических формул и логических правил, позволяющих установить нужную последовательность использования этих формул.

Расчетные формулы группируются по многократно повторяющимся циклам. Циклы образуют сложную структуру, включающую внутренние циклы, внешние и промежуточные. Структура в зависимости от полученных результатов может перестраиваться.

Для одной и той же задачи можно составить несколько алгоритмов, из которых надо выбрать по каким-либо критериям наиболее подходящий. Вопрос оценки алгоритма является предметом теории численных методов расчета, обязанной своим возникновением появлению на вооружении ученых ЭВМ. Цель теории численных методов - построение эффективных способов вычисления, которые позволяют получить решение задачи с заданной точностью при минимальном количестве действий с минимальной затратой машинного времени.

Коротко требования к математическому алгоритму могут быть сформулированы следующим образом:

• Удобство для машинного счета;
• Универсальность алгоритмов, пригодность для широкого класса типичных задач;
• Выделение задач, которые являются составной частью многих математических моделей, с разработкой для них эффективных алгоритмов в виде стандартных (прикладных) программ для ЭВМ.

3. Создание программы для реализации вычислительного алгоритма на ЭВМ (машинного алгоритма). В настоящее время программирование (перевод вычислительных алгоритмов в машинные) осуществляется с помощью машинных языков, облегчающих общение с машиной. Машинный язык выбирается исходя из класса задач, которые предстоит решить.

4. Проведение расчетов на машине. На этом этапе проявляется сходство расчетов с натурным экспериментом, поэтому часто он называется вычислительным экспериментом. В лаборатории ученый ставит вопросы природному явлению, промышленной установке, специально созданной экспериментальной установке, а при работе на ЭВМ - математической модели. Как в натурном эксперименте, так и в вычислительном результат получается в виде цифрового материала, подлежащего обработке. Достоверность полученной машинным счетом информации определяется адекватностью модели объекту, поэтому вычислительный эксперимент в полном объеме не проводится сразу после написания программы. Сначала программа проверяется тестовыми расчетами по известным экспериментальным данным. Проводится отладка программы. Только после этой кропотливой работы начинается исследовательская работа по модели.

5. Обработка результатов, всесторонний их анализ и формулирование выводов. Если не требуется уточнения модели, то результаты обрабатываются в виде, нужном заказчику или постановщику задачи. При появлении в результатах счета необычных форм протекания процесса, неожиданных режимов работы исследуемой на модели установки проводится уточнение деталей процесса. Как правило, при этом модель усложняется, а исследование повторяется с первого этапа полностью.

Полученные данные (после  окончательной отладки модели) представляют собой числовой массив, который должен быть каким-либо способом сгруппирован для проведения сущностного или поведенческого анализа исследуемого объекта (об этом частично будет сказано ниже). Способ объединения или классификации расчетных данных определяется задачей исследования, но во многих случаях он опирается на возможность получения ответа на следующие вопросы:

• общая апробация приемлемости исследования в целом;
• отыскание ответов на неожиданные аспекты исследования, которые, может быть, не связаны с поставленными ранее задачами в исследовании;
• представительное и экономное формулирование результатов, нацеленное на непосредственное практическое использование (оптимизация объекта, изменение структуры его на основании осмысливания ММ).

С первым пунктом связана верификация ММ на основе имеющихся опытных данных, со вторым – возможность формулировки новых направлений научных изысканий в отрасли, а с третьим - решение повседневных задач хозяйственной жизни предприятий, отрасли, всей страны или даже общечеловеческих задач.

 

3.2  Пример составления математической модели состояния объекта.

 

3.2.1. Описание  объекта моделирования. Идеализация  объекта. Построение ММ. Исследование пространства состояний.

 

Рассмотрим в качестве объекта исследования машинно-тракторный агрегат (МТА) при составлении математической модели формирования средней крюковой нагрузки трактора.

Задача, которая должна быть решена с помощью составления  математической модели, требует найти способ снижения динамической составляющей средней крюковой нагрузки трактора в составе МTA.

Описание объекта. Объект состоит из трактора (любого - колесного  или гусеничного) и рабочей сельскохозяйственной машины, взаимодействующей с объектом обработки, например, с почвой.  При наличии неоднородностей в почве и попадании на них рабочих органов возникнут динамические составляющие крюкового нагружения, которые приведут к росту среднего значения крюковой нагрузки. Динамичность нагружения можно оценить величиной импульсов увеличения нагрузки. При более или менее равномерном расположении неоднородностей горизонтальное сопротивление передвижению МТА со стороны рабочих органов машины можно представить в виде закона нагружения, показанного на рис.3.1.

Рис.3.1. Закон нагружения МТА на поле с равномерно

расположенными неоднородностями

 

Величина Р_н - нижний уровень сопротивления обрабатываемого материала, определяемый состоянием его основной массы; Р∆τ - импульс воздействия неоднородностей; Т=2π/λ - период между неоднородностями (λ - угловая частота появления импульсов).

В результате взаимодействия обрабатываемого материала с динамической системой МТА на крюке формируется нагрузка трактора в виде плавно изменяющейся силы (рис.3.2).

Рис. 3.2. Крюковая нагрузка трактора

 

В составе среднего крюкового  усилия имеется и динамическая составляющая ∆р, величина которой определяет снижение производительности МТА, увеличение затрат топлива на выполнение работы. Для нахождения путей снижения величины ∆р надо установить зависимость ∆р от характера нагружения, основных параметров и констант рассматриваемой системы. Величина Р∆τ будет определяться:

1. величиной массы МТА;
2. скоростью движения МТА;
3. жесткостью конструкции сочленения сельскохозяйственной машины и трактора;
4. упругими свойствами валопровода, соединяющего коленвал двигателя с ведущим элементом движителя;
5. характеристикой двигателя (ее свойствами, обеспечивающими возможность преодоления временного сопротивления);
6. жесткостью самой ходовой системы.

Перечисленные параметры  свидетельствуют о сложности  задачи оценки динамического прироста среднего крюкового усилия. Решение ее осложняется и информативной неопределенностью, связанной с неизвестностью закона расположения неоднородностей в почве и характеристик этих неоднородностей. Короче говоря, нам неизвестен сам импульс и закон его формирования. Изображение его в виде постоянной силы Р в промежутке времени ∆τ условно. Реальное его протекание трудно установить, даже если будет известна разница физико-химических свойств основного материала и неоднородностей.

Учитывая сказанное  по поводу информативной неопределенности импульса силы сопротивления, а также самого нижнего уровня его Р_н , мы вряд ли сможем точно описать совмещение параметров машины по нагружению с характеристикой двигателя и получить решение о величине Р_кр(ср). Вернее, наша задача в этом случае разбивается на ряд задач с конкретными уровнями Р_н и значений Р.

Как и во всякой задаче, необходимо обойти эту неопределенность и решить задачу не количественными мерами, а качественными: обосновать критерий минимизации динамической составляющей, не рассматривая с количественной стороны величину снижения ∆р.

 В этом случае мы сможем сделать достаточно большое количество допущений, существенно упрощающих объект, приняв его абсолютно жестким с точки зрения параметров системы (пункты 3...6), определяющих величину импульса. Тогда объект исследования превратится в одномассовую систему, движущуюся со скоростью v и обладающую массой m_мта=m_тр+m, где m_тр - приведенная масса трактора; m – масса машины. Принципиальная схема нагружения агрегата представлена на рис3.3.

 

 

 

Рис.3.3. Принципиальная схема преобразования нагружения машины машинно-тракторным агрегатом

В качестве входной переменной в этой задаче рассматривается сопротивление обрабатываемого материала при принятых ранее допущениях, а выходной переменной не само среднее крюковое усилие, а его динамическая составляющая ∆р.

Пространство состояний объекта  непрерывно при принятых допущениях и детерминировано. Состояние объекта может быть описано в этом случае дифференциальным уравнением движения при переменном внешнем воздействии (R-var). Однако, как уже было сказано, в них отразится неопределенность информации о силе сопротивления материала обработке. Значит, требуется новое допущение, которое позволит математически описать состояние объекта.

Рассмотрим состояние объекта на одном периоде, учитывая допущение об одинаковости последующих импульсов и абсолютной жесткости системы, исключающей появление резонансных явлений. Процесс взаимодействия неоднородностей обрабатываемого материала и рабочих органов как элементов абсолютно жесткой системы МТА можно рассматривать как явление удара.

Составление математической модели. Результат этого взаимодействия можно оценить по снижению кинетической энергии движущегося тела (МТА) при попадании на препятствие:

,

где А - энергия, вызывающая возрастание импульса силы при ударе; ∆- знак дифференциала. Тогда можно записать: А=m_мтаv∆v, где ∆v – снижение скорости МТА при встрече с препятствием.

Откуда                                                                       (3.1)

Последнее выражение и будет математической моделью состояния объекта, характеризующей снижение скорости в промежутке времени Т при наличии импульса силы А.

Возвратившись к принципиальной схеме, обратим внимание на то, что в качестве выходной переменной в ней использована динамическая составляющая среднего крюкового усилия ∆р. Если усреднить импульс силы в промежутке времени между соударениями, то энергию удара можно будет подсчитать через искомую величину ∆р:

    (3.1)

Подставив это выражение  в зависимость (3.1), получим

     (3.2)

В этой форме ММ состояния  констатирует связь динамической составляющей крюкового усилия с уменьшением скорости МТА, которое может быть зафиксировано.

 

3.2.2. Закономерности, действующие в области применения  модели.

Математическая  формулировка этих закономерностей

 

Выражение (3.2) характеризует  изменение состояния объекта (МТА) в худшую сторону с появлением импульса Р∆τ при ранее принятой закономерности. Наша цель состоит в определении условий взаимодействия орудия с обрабатываемым материалом, при которых возможно снижение динамической составляющей ∆р. Введение упругого элемента в сочленение трактора и машины позволяет при воздействии силой ∆р со стороны препятствия получить ускорение, замедляющее наезд рабочего органа на препятствие, а значит, аккумулировать энергию удара для последующего ее использования. При принятых допущениях замедление наезда на препятствие можно оценить выражением , где а - ускорение (замедление) сельскохозяйственной машины при наезде на препятствие в результате сжатия упругого элемента; m -масса сельскохозяйственной машины.

Деформация упругого элемента х при условии равноускоренного замедления машины составит

где С_r – горизонтальная жесткость упругого элемента в сочленении трактора и сельскохозяйственного орудия, Н/м; t – время действия импульса, ∆р – динамическая составляющая крюкового усилия.

Отсюда  , а поэтому максимальное снижение скорости соударения   

где - частота собственных колебаний сельскохозяйственной машины.

Устранения (максимально  возможного снижения) динамической составляющей при взаимодействии сельскохозяйственной машины с препятствием следует ожидать при условии

Из последнего выражения  следует зависимость: которая может быть представлена в следующем виде:

         (3.3)

где δ - коэффициент учета вращающихся масс трактора.

Подсчитанное значение υ дает возможность определить жесткость упругого элемента, снижающего динамическую составляющую от соударений с препятствиями, которые соответствуют колебаниям с частотой λ.