Контрольная работа по "Маркетингу"

 

Расчет  коэффициента корреляции:

 

 

Вычислим ошибку коэффициента корреляции:

Рассчитаем величину t - критерия:

Табличное значение t -  критерия (при восьми степенях свободы и 95% доверительной вероятности): t_{табл .}= 2,306.

Таким образом, t_r<t_табл и, значит, коэффициент корреляции не является значимо отличным от 0.

 

Расчет уравнения регрессии

Для расчета коэффициента регрессии  будем пользоваться методом квадратов, суть которого состоит в том, чтобы подобрать такое аналитическое выражение зависимости между исследуемыми показателями, для которого сумма квадратов отклонений значений зависимой переменной y, вычисленной по этому выражению, от значений, определяемых по данным наблюдений, была бы минимальной, т.е.

àmin,

где  y_i^факт  - значение переменной в i-ом наблюдении;

y_i^расч   - значение переменной, определенное расчетом при i-ом значении переменной х

n – число наблюдений.

При использовании метода наименьших квадратов вид уравнения связи  задается, исходя из экономических соображений.

Если предполагается, что связь  линейная, т.е.

то задача отыскания уравнения связи состоит в расчете таких значений коэффициента а₀ и а₁, при которых сумма квадратов отклонений расчетных значений y от фактических была бы минимальной.

Проведем расчет:

Величина а₁ называется коэффициентом регрессии. Так же как и коэффициент корреляции, коэффициент регрессии является случайной величиной, в связи с чем возникает необходимость проверки значимости его отличия от нуля. Эта проверка, так же как и в случае с коэффициентом корреляции, осуществляется с помощью t - критерия.

Проверим значимость коэффициента а₁.

Вычислим ошибку коэффициента регрессии:

Данные для расчетов удобно свести в табл. 4. Значения y_расч определяем из уравнения

Y_расч=0.0039 х + 8.72

Таблица 4

x	189	139	149	168	189	127	135	159	159	131
yрасч	9,4571	9,2621	9,3011	9,3752	9,4571	9,2153	9,2465	9,3401	9,3401	9,2309
yфакт	9,3	9,2	9,5	9,6	9,1	9,0	9,2	9,5	9,8	9,0
уф-ур	-0,1571	-0,0621	0,1989	0,2248	-0,3571	-0,2153	-0,0465	0,1599	0,4599	-0,2309
(уф-ур)2	0,0247	0,0039	0,0396	0,0505	0,1275	0,0464	0,0022	0,0256	0,2115	0,0533

 

Вычислим остаточную сумму квадратов:

Σ(у_факт-у_расч)²=0.5851,

отсюда

 

В остальном методика проверки коэффициента регрессии от нуля аналогична проверке значимости коэффициента корреляции. Коэффициент регрессии показывает, насколько изменяется зависимая переменная при изменении независимой переменной на единицу.

Для данного случая табличное значение t - критерия при восьми степенях свободы и 95% доверительной вероятности равно 2,306. Таким образом, t_a1<t_табл и, следовательно, коэффициент регрессии не является значимо отличным от 0.

Рассчитываем коэффициент  эластичности , для нашего случая

Коэффициент эластичности показывает, на сколько % увеличивается y при увеличении х на 1%.

ОТВЕТ: таким образом, проведенный анализ показывает, что величина рентабельности предприятия не связана с производительностью труда (коэффициент корреляции 0.296). Из полученного уравнения регрессии                          y=8.72 + 0.0039 х  следует, что увеличение производительности труда на 1 тыс. руб. приводит к повышению рентабельности на 0.0039 тыс. руб. Однако, коэффициент функции регрессии, на основе которого сделан данный вывод, нельзя считать значимо отличным от 0, так что в генеральной совокупности, вполне вероятно, изменение производительности труда вообще не является фактором изменения рентабельности. Изменение производительности труда на 1% приводит к увеличению рентабельности на 0.065%, но опять-таки расчет коэффициента эластичности сделан на основе коэффициента регрессии, который, возможно, нулевой в генеральной совокупности.

 

 

Использование MS Excel для корреляционно-регрессионного анализа                 данных

Для проведения корреляционно-регрессионного анализа в Excel встроена специальная  экономическая программа Пакет  Анализа. Воспользуемся ее возможностями.

1.Данные для корреляционно-регрессионного анализа  - таблицу значений производительности труда (Х) и уровня рентабельности (Y) необходимо расположить в смежных диапазонах ячеек (например А2:В13)

 

 

 

2.Выбрать команду Сервис>Анализ данных.

3.В диалоговом окне Анализ данных выбрать инструмент Корреляция.

Рис.4

 

4.В диалоговом окне Корреляция в поле “Входной интервал” необходимо ввести диапазон ячеек, содержащих исходные данные А3:В12. Поскольку выделены и заголовки столбцов, то установить флажок “Метки в первой строке”

 

Рис.5

5.Установить переключатель новый рабочий лист или выходной интервал.

6.ОК

Полученная матрица  коэффициентов парной корреляции представлена ниже. Из таблицы 5 видно, что зависимая переменная Y имеет достаточно тесную связь с фактором Х (r_yx1 =0,329017613)

 

Таблица 5

	Y	x
Y	1
x	0,329017612	1

 

Проведем регрессионный  анализ. Для этого необходимо выполнить  следующее:

1. Выбрать команду Сервис>Анализ данных.

2. В диалоговом окне Анализ данных выбрать инструмент Регрессия.

3.  В диалоговом окне Регрессия в поле “Входной интервал Y” необходимо ввести диапазон ячеек, характеризующих уровень рентабельности (А3:А13). В поле «Входной интервал Х» необходимо ввести диапазон ячеек, характеризующих производительность труда (В3:В13).

4.Установить переключатель новый рабочий лист.

5.ОК.

Рис.6

В результате Excel сформирует новый лист ВЫВОД ИТОГОВ, в котором будут представлены:

В Таблице 1:

• коэффициент корреляции R=0,329017612
• коэффициент детерминированности R²=0,108252589

В Таблице 2:

• критерий Фишера F=0,97115024
• остаточная и регрессионная суммы квадратов – столбец SS

В Таблице 3:

• коэффициенты уравнения регрессии (столбец Коэффициенты);
• Стандартные ошибки по х и по Y;
• t-статистика.

Лист ВЫВОД ИТОГОВ представлен на стр. 17

 

Кроме Пакета Анализа  можно воспользоваться стандартными функциями Excel из категории «статистические» (ЛИНЕЙН, ЛГРФПРИБЛ, НАКЛОН, ОТРЕЗОК, ТЕНДЕНЦИЯ, ПРЕДСКАЗ, РОСТ и др.).

Поскольку предполагается линейная модель, приведем функцию           ЛИНЕЙН для расчета уравнения регрессии и дополнительной статистики по регрессии для исходного набора данных (см. стр. 15, 16)

«=ЛИНЕЙН(А4:А13;В4:В13;1;1)»

В результате получим  таблицу вида:

0,003945205	8,710465753
0,004003376	0,624404796
0,108252589	0,27041318
0,971150244	8
0,071013699	0,584986301

 

где в первой строке (жирным шрифтом) выделены коэффициенты уравнения регрессии (m=0,003945205, b=8,710465753), ниже (жирным шрифтом) - коэффициент детерминированности R²=0,108252589 и критерий Фишера F=0,971150244.

Таким образом, уравнение  регрессии, связывающее уровень  рентабельности с производительностью труда, имеет вид:

Y = 0,003945205 * x + 8,710465753

Следует отметить, что  данные, полученные при расчете как  вручную, так и средствами ЭТ Excel, почти полностью совпали. Предложенная методика может использоваться для расчета корреляционно-регрессионных зависимостей простой и множественной регрессии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3.

Определение оптимального ассортимента трикотажной фабрики.

Трикотажная фабрика  предполагает предложить потребителям полотна 150 и 90 артикулов. Требуется определить ассортимент указанных тканей, позволяющий фабрике получить максимальную прибыль на имеющемся оборудовании (машины Текстима и Кокетт). При этом следует определить также, какие артикулы трикотажного полотна и в каких объемах нужно выпускать на каждой из машин. Исходные данные представлены в таблицах 6 и 7.

 

Таблица 6

Артикулы полотна	Величина прибыли в  т.р. при выработке 1 т. полотна на машине		Фактическая производительность в кг./час машины
	текстима	кокетт	текстима	кокетт
150	13,40	13,46	2,42	3,76
90	7,06	7,17	4,08	7,66

 

Таблица 7

Машины	Фонд машинного времени (маш/час)
Текстима	7850
Кокетт	5500

 

РЕШЕНИЕ

1.Составление экономико-математической  модели задачи.

Введем следующие обозначения:

х₁ – планируемый выпуск трикотажного полотна артикула 150 на машине Текстима (т);

х₂ – планируемый выпуск трикотажного полотна артикула 90 на машине Текстима (т);

х₃ – планируемый выпуск трикотажного полотна артикула 150 на машине Кокетт (т);

х₄ – планируемый выпуск трикотажного полотна артикула 90 на машине Кокетт (т);

Составляем  целевую функцию, выражающую прибыль, получаемую от выпуска всей продукции:

L_(x) = 13,4х₁+7,06х₂+13,46х₃+7,17х₄  à max

Составляем ограничения  на фонд машинного времени имеющегося оборудования:

• Для машины Текстима   

 

• Для машины Кокетт   .

Так как неизвестные выражают выпуск продукции, то х₁,х₂,х₃,х₄  ≥ 0

Преобразуем ограничения- неравенства в равенства путем  введения дополнительных неизвестных х₅ и х₆, выполнив соответствующие арифметические операции.

L_(x)= 13,4х₁+7,06х₂+13,46х₃+7,17х₄ +0х₅ + 0х₆ à max

ограничения:

413,223х₁ + 245,098х₂ + х₅ = 7850

265,957х₃ + 130,548х₄ + х₆ = 5500  (1)

х₁, х₂, х₃, х₄, х₅, х₆ ≥ 0

В результате получаем математическую модель (1), представляющую общую задачу линейного программирования.

Решим задачу симплекс-методом. Этапы решения задачи оформлены  в виде симплекс-таблиц 8-11.

Таблица 8

Базисн. неизв.	x1	x2	x3	x4	x5	x6	Свободный  член
х5	413,223	245,098	0	0	1	0	7850
х6	0	0	265,957	130,548	0	1	5500
-L	13,4	7,06	13,46	7,17	0	0	0

 

Таблица 9

Базисн. неизв.	x1	x2	x3	x4	x5	x6	Свободный  член
x5	413,223	245,098	0	0	1	0	7850
x3	0	0	1	0,491	0	0,004	20,68
-L	13,4	7,06	0	0,561	0	-0,054	278,353