Замечательные кривые в математике

Вычерчивание эллипса  при помощи нити.

Положим лист бумаги на чертежную доску  и приколем к нему две кнопки (или  булавки, рис. 11). Набросив на них нитяное  кольцо (длина кольца должна быть больше удвоенного расстояния между кнопками), натянем нить острием карандаша, чтобы получился треугольник  если вести карандаш по бумаге так, чтобы нить оставалась натянутой, то треугольник будет деформироваться, но его периметр останется постоянным. Постоянной будет и длина стороны ; значит, и карандаш опишет эллипс. Этот способ вычерчивания эллипса используют садовники при изготовлении цветочных эллиптических клумб. Вместо кнопок в землю втыкаются два колышка, кольцо делается из толстой веревки, а эллипс вычерчивается на земле не карандашом, а палкой.

§3. Исторический очерк о замечательных кривых

                                  Циклоидальные кривые                         

Первым  из учёных обратил внимание на циклоиду Николай Кузанский в XV веке, но серьёзное исследование этой кривой началось только в XVII веке. Название циклоида придумал Галилей (во Франции эту кривую сначала называли рулеттой). Содержательное исследование циклоиды провёл современник Галилея Мерсенн. Среди трансцендентных кривых, то есть кривых, уравнение которых не может быть записано в виде многочлена от x,y, циклоида — первая из исследуемых.

Паскаль писал о циклоиде: Рулетта является линией столь обычной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линии; она так часто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удивляться тому, как не рассмотрели её древние… ибо это не что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздём колеса.

Новая кривая быстро завоевала популярность и  подверглась глубокому анализу, в котором участвовали Декарт, Ферма, Ньютон, Лейбниц, братья Бернулли и другие корифеи науки XVII—XVIII веков. На циклоиде активно оттачивались методы появившегося в те годы математического анализа.

Тот факт, что  аналитическое исследование циклоиды оказалось столь же успешным, как  и анализ алгебраических кривых, произвёл большое впечатление и стал важным аргументом в пользу «уравнения в  правах» алгебраических и трансцендентных  кривых.

Приложим к нижнему  краю классной доски линейку (L) и  будем катить по ней обруч или  круг (картонный или деревянный), прижимая его к линейке и к  доске. Если прикрепить к обручу или  кругу кусок мела (в точке соприкосновения  его с линейкой), то мел будет  вычерчивать кривую, называемую циклоидой (что по-гречески значит “кругообразная”). Одному обороту обруча соответствует  одна “арка” циклоиды MM'M''N', если обруч  будет катиться дальше, то будут  получаться еще и еще арки той  же циклоиды.(Отрезок MN равен длине  обруча.)

Если же точку М взять  внутри круга, то получим кривую называемую укороченная циклоида.(рис.а) А если точку М взять вне (снаружи) круга, то имеем кривую, называемую удлиненная циклоида.(рис.б)

                                     

Однако круг можно катить не только по прямой.   

Возьмем в качестве линии L окружность некоторого радиуса R и  будем рассматривать круг, катящийся  без скольжения по окружности L с  внутренней ее стороны. Отметим на окружности катящегося круга некоторую точку  А и проследим ее траекторию, т.е. линию, которую эта точка вычерчивает  при качении круга.

Циклоиды могут иметь  самый разнообразный вид. Представим некоторые из них.

Если по кругу радиуса R вне его без скольжения катится  круг с отмеченной точкой М радиусом r, то точка М описывает кривую, называемую эпициклоидой.

R = r                                  r = R/2  
          кардиоида                                        нефроида

Если по кругу радиуса R внутри него без скольжения катится  круг с отмеченной точкой М радиусом r, то точка М описывает кривую, называемую гипоциклоидой.

r = R/4                                       
астроида                                                                r = R/3    кривая Штейнера 
 
Количество заострений графика равно R/r.

Кривая кратчайшего  спуска

Среди многих замечательных  свойств циклоиды отметим одно, из-за которого она заслужила громко звучащее мудреное название: «брахистохрона». Это  название составлено из двух греческих  слов, означающих «кратчайший» и «время».

Рассмотрим такой вопрос: какую форму следует придать  хорошо отшлифованному металлическому желобу, соединяющему две заданные точки А и В (рис. 8.), чтобы полированный металлический шарик скатывался по этому желобу из точки А в  точку В в кратчайшее время? На первый взгляд кажется, что нужно  остановиться на прямолинейном желобе, так как только вдоль него шарик  пройдет кратчайший путь от А до В. Однако речь идет не о кратчайшем пути, а о кратчайшем времени; время  же зависит не только от длины пути, но и от скорости, с которой бежит  шарик. Если желоб прогнуть вниз, то его часть, начиная от точки А, будет круче опускаться вниз, чем  в случае прямолинейного желоба, и  шарик, падая по нему, приобретет скорость большую, чем на участке такой  же длины прямолинейного желоба. Но если сделать начальную часть  очень крутой и сравнительно длинной, то тогда часть, примыкающая к  точке В, будет очень пологой  и также сравнительно длинной; первую часть шарик пройдет быстро, вторую очень медленно и шарик может запоздать с приходом в точку В. Итак, желобу, по-видимому, нужно придавать вогнутую форму, но делать выгиб не слишком значительным.

 

               Рис. 8.

            Итальянский физик и астроном Галилей (1564 - 1642) думал, что желоб кратчайшего времени нужно выгибать по дуге окружности. Но швейцарские математики братья Бернулли около трехсот лет тому назад доказали точным расчетом, что это не так и что желоб нужно выгибать по дуге циклоиды (опрокинутой вниз, рис. 9.). С тех пор циклоида и заслужила прозвище брахистохроны, а   доказательства Бернулли послужили, началом новой отрасли математики - вариационного исчисления. Последнее занимается отысканием вида кривых, для которых та или иная интересующая нас величина достигает своего наименьшего (а в некоторых вопросах - наибольшего) значения.

                         Рис. 9.                                                           

Конхоида

Данную кривую открыл древнегреческий  ученый Никомед (хотя свое название она  получила от Прокла: конхоида - похожая  на раковину).

Никомед (3-2 в.до н.э.), помимо кривой, изобрел и прибор для ее механического черчения. С помощью  конхоиды Никомед решал задачи об удвоении куба и трисекции угла. В 17 и 18 вв. конхоиду исследовали другие ученые. Исаак Ньютон применял ее для  геометрического решения уравнения  третьей степени.

Улитка Паскаля (или Лимакон Паскаля)

Была открыта  Этьеном  Паскалем  ( отцом Блеза Паскаля) и названа другим французом Gilles-Personne Roberval в 1650 году, когда он использовал  ее как пример его методов проведения касательных, то есть дифференцирования. Ее название произошло от латинского limax, что значит - улитка.

В 1625 Этьен Паскаль в  своей переписке с Мерсенном описал метод построения новой кривой, обладающей интересными свойствами (  которую впоследствии назвали Улиткой) и опубликовал свои изыскания в "Underweysung der Messungpublished".  

                             

Декартов лист

«Цветок Жасмина»

Впервые уравнение  кривой исследовал Р. Декарт в 1638 году, однако он построил только петлю в первом координатном угле, где x и y принимают положительные значения. Декарт полагал, что петля симметрично повторяется во всех четырёх координатных четвертях, в виде четырёх лепестков цветка. В то время эта кривая называлась цветком жасмина (англ. jasmine flower, фр. fleur de jasmin).

В современном  виде эту кривую впервые представил Х. Гюйгенс в 1692 году.

 

 

Спираль Архимеда

Вообразим бесконечно длинную  секундную стрелку, по которой, начиная  от центра циферблата, неутомимо бежит  маленький жучок с постоянной скоростью v см/с. Через минуту жучок  будет на расстоянии 60v см от центра, через две - 120v и т.д. Вообще, через t секунд после начала пробега расстояние жучка от центра будет равно vt см. За это время стрелка повернется на угол, содержащий 6 t° (ведь за одну секунду она успевает повернуться на угол 360°:60 = 6°). Поэтому положение жучка на плоскости циферблата через любое число t секунд после начала движения находится так. Нужно отложить от начального положения стрелки в направлении ее вращения угол а, содержащий 6t°, и отмерить от центра вдоль нового положения стрелки расстояние r = vt см. Тут мы и настигнем жучка (рис. 10.).

                  Рис. 10.

Очевидно, что соотношение  между углом поворота a стрелки (в  градусах) и пройденным расстоянием r (в сантиметрах) будет такое: r = (va)/6

Иными словами, r прямо пропорционально a, причем коэффициент пропорциональности k = v/6.

Приладим к нашему бегуну маленькую, но неистощимую баночку  с черной краской и допустим, что  краска, вытекая через крошечное  отверстие, оставляет на бумаге след от уносимого вместе со стрелкой жучка. Тогда на бумаге будет постепенно вырисовываться кривая, впервые изученная  Архимедом (287 - 212 до н.э.). В его честь  она называется спиралью Архимеда. Нужно только сказать, что у Архимеда не было речи ни о секундной стрелке (тогда и часов с пружиной не было: их изобрели только в XVII в.), ни о  жучке. Мы ввели их здесь для наглядности.

                               

                   Рис. 11.                                      Рис. 12.

  Спираль Архимеда состоит из бесконечно многих витков. Она начинается в центре циферблата, и все более и более удаляется от него по мере того, как растет число оборотов. На рис. 12  изображены первый виток и часть второго.

Логарифмическая спираль

Кривую эту можно было бы назвать по имени Декарта, так  как впервые о ней говорится  в одном из его писем (1638 г.). Однако подробное изучение ее свойств было проведено только полвека спустя Якобом Бернулли. На современных ему  математиков эти свойства произвели  сильное впечатление. На каменной плите, водруженной на могиле этого знаменитого  математика, изображены витки логарифмической спирали.

Архимедову спираль описывает  точка, движущаяся вдоль луча («бесконечной стрелки») так, что расстояние от начала луча возрастает пропорционально углу его поворота: r=ka. Логарифмическая спираль получится, если потребовать, чтобы не само расстояние, а его логарифм возрастал прямо пропорционально углу поворота.

Конечно, угол поворота а  можно измерять по-прежнему в градусах. Но математики предпочитают измерять его в радианах. Из многих свойств логарифмической спирали, отметим одно: любой луч, выходящий из начала, пересекает любой виток спирали под одним и тем же углом. Величина этого угла зависит только от числа k в уравнении спирали. При этом под углом между лучом и спиралью понимается угол между этим лучом и касательной к спирали, проведенной в точке пересечения.

Лемниската Бернулли

Обратимся к кривой, описываемой  точкой М на плоскости так, что  остается неизменным произведение р  расстояний этой точки до двух определенных точек F₁ и F₂ той же плоскости. Такая кривая называется лемнискатой (лемниската по-гречески значит «ленточная»). Если длина отрезка F₁F₂ есть с, то расстояния от середины О отрезка F₁F₂ до F1 и F2 равны с/2 и произведение этих расстояний равно – с²/4. Потребуем сначала, чтобы величина р неизменного произведения равнялась как раз с²/4; тогда точка О будет лежать на лемнискате, а сама лемниската будет иметь вид «лежащей восьмерки» (рис. 21). Если продолжить отрезок F₁F₂ в обе стороны до пересечения с лемнискатой, то получим две точки А₁ и А₂. Выразим расстояние между А₁А₂= х через известное расстояние с:  (х/2+с/2)(х/2-с/2)=х²/4-с²/4.

Рис. 21

Если величину неизменного  произведения р взять не равной с²/4, то лемниската изменит свой вид. И при р меньше с²/4, лемниската состоит из двух овалов, каждый из которых содержит точки F₁ и F₂, соответственно (рис.22).

Рис. 22

 

Т.о. задавая различные  условия для р и с²/4 будем получать лемнискаты различного вида (рис. 23).

                                    Рис. 23

 

Возьмем теперь на плоскости  любое количеств точек. F₁,F₂, ..., F_n и заставим точку М двигаться так, чтобы для нее оставалось неизменным произведение расстояний до каждой из взятых точек. Получим Кривую, форма которой будет зависеть от того, как расположены точки F₁,F₂, ..., F_n друг относительно друга и какова величина неизменного произведения. Кривая эта называется лемнискатой с n фокусами. 

 

Выше мы рассматривали  лемнискаты с двумя фокусами. Беря разное число фокусов, располагая их по-разному и назначая ту или иную величину для произведения расстояний, можно получать лемнискаты самых  причудливых очертаний. Будем вести  острие карандаша из некоторой точки  А, не отрывая от бумаги, так, чтобы  оно в конце вернулось в  исходную точку А. Тогда оно опишет некоторую кривую; мы потребуем только, чтобы эта кривая нигде не пересекала саму себя.

 Рис. 24

          Очевидно, что таким путем могут получиться кривые, имеющие, например, очертания человеческой головы или птицы (рис. 24). Оказывается, что, имея такую произвольную кривую, можно так подобрать число п и расположение фокусов F₁,F₂, ..., F_n и назначить такую величину для неизменного произведения расстояний МF₁ МF₂… МF_n = p, что соответствующая лемниската на глаз не будет отличаться от этой кривой. Иными словами, возможные отклонения точки М, описывающей лемнискату, от нарисованной кривой - не будут превосходить ширину карандашного штриха (карандаш можно заранее отточить как угодно хорошо так, что штрих будет очень узким). Этот замечательный факт, говорящий о необычайном разнообразии н богатстве форм лемнискат с многими фокусами

 

 

 

 

 

 

§4. Замечательные  кривые и их свойства

4.1.Циклоида

Цикло́ида (от греч. κυκλοειδής — круглый) — плоская трансцендентная кривая. Циклоида определяется кинематически как траектория фиксированной точки производящей окружности радиуса r, катящейся без скольжения по прямой.

Уравнения

Примем горизонтальную ось координат в качестве прямой, по которой катится производящая окружность радиуса r.