Замечательные кривые в математике

Точка называется центром гиперболы — происхождение этого названия выяснится дальше.

Через каждую точку  , с координатами и пройдет одна (но только одна!) гипербола - именно та, для которой постоянная , входящая в определение гиперболы, равна . На рисунке 2 для жирной гиперболы =2,4, =3,5, =8,4. Если мысленно изобразить на общем чертеже все гиперболы (т.е. гиперболы при всевозможных ), то они заполнят всю «внутренность» угла . На рисунке 2, кроме жирной гиперболы, изображено еще несколько: при = 1, 2, 3, 4, 5 и 16. Таким образом, гипербол - бесконечное множество, каждая из них определяется значением параметра .¹

Форма гиперболы, ее вершина и асимптоты.

Гиперболы с различными значениями параметра  похожи друг на друга, но они не равны - их нельзя совместить наложением. Однако легко доказать, что все они подобны, даже подобно расположены с центром подобия . Читателю предлагается доказать это, пользуясь рисунком 3.

Опишем форму гиперболы (точнее - одной ветви равносторонней гиперболы), т.е. перечислим ее свойства, прежде всего  бросающиеся в глаза.

 

Гипербола имеет бесконечное протяжение - она не может вся поместиться на ограниченном куске плоскости. Какое бы большое число ни было задано, можно указать на гиперболе точку, удаленную от точки на расстояние, большее чем (докажите).

Гипербола симметрична относительно биссектрисы  угла (рис.4), т.е. для любой точки гиперболы симметричная точка также принадлежит этой гиперболе (докажите).

Точка пересечения гиперболы с ее осью симметрии называется вершиной гиперболы. Каждая координата вершины гиперболы с параметром равна . Расстояние вершины от центра гиперболы (его будем обозначать ) равно . Вершина - ближайшая точка гиперболы от центра (докажите).

В отличие от окружности, которая  одинаково искривлена во всех своих  частях, гипербола сильнее всего  искривлена в окрестности своей  вершины, а по мере удаления от нее  в любую сторону «распрямляется». Мы не даем доказательства этого очевидного свойства гиперболы; не будем доказывать и другого важного свойства гиперболы  – гладкости во всех ее точках (кривая называется гладкой или плавной в данной ее точке, если в этой точке существует касательная к кривой). Доказательства обоих свойств требуют знания основ дифференциального исчисления.

Каноническое  уравнение гиперболы.

Уравнение гиперболы общего вида, отнесенное к ее осям симметрии, зависит  от того, лежат ее вершины на оси  или на оси . Получить уравнения обеих гипербол (толстой и тонкой) можно из уравнений (4) равносторонних гипербол совершенно таким же способом, как было получено уравнение эллипса из уравнений окружности. Приводим эти уравнения:

(толстая), (тонкая);                                    (5)

здесь и - полуоси сопряженных гипербол

Уравнения (5) отличаются от уравнения  эллипса  , вписанного в тот же фундаментальный прямоугольник, тем, что в левой части у обоих членов разные знаки. Замечательное сходство эллипса и гиперболы! Фокальное свойство гиперболы

Известно, что эллипс обладает замечательным  «фокальным» свойством: в его  плоскости существуют такие точки  и (фокусы), что сумма расстояний каждой точки эллипса до его фокусов одна и та же - она равна длине большой оси эллипса:

.                                                                 (6)

Похожее свойство имеется и у  гиперболы. В ее плоскости существуют две точки (фокусы гиперболы), такие  что разность расстояний каждой точки гиперболы для этих точек одна и та же - она равна расстоянию между вершинами гиперболы:

                                                                (7а)

Здесь - фокус, более удаленный от , чем (рис.12). Оба фокуса лежат на оси симметрии гиперболы, проходящей через ее вершины и ; расстояние каждого фокуса от центра гиперболы равно        ,

где и - длины полуосей данной гиперболы и ее сопряженной. Важная связь между тремя «элементами гиперболы» :                                                         (8)

аналогична связи  для эллипса.

На рисунке 12 точка  лежит на правой ветви гиперболы; для любой точки на левой ее ветви формула (7а) будет иметь вид

.                                                               (7б)

Для сопряженной ей гиперболы (тонкой) фокусами будут  и . Все 4 фокуса взаимно сопряженных гипербол лежат на окружности, центр которой - в центре гиперболы, а радиус равен половине диагонали прямоугольника , фундаментального для обеих гипербол.

Фокальное свойство часто принимается  за определение гиперболы.

Вычерчивание  гиперболы непрерывным движением.

На фокальном свойстве основано вычерчивание гиперболы при помощи двух нитей, аналогичное известному вычерчиванию эллипса. Положим лист бумаги на чертежную доску и наколем  на лист бумаги две канцелярские кнопки и (рис.13). Возьмем две нити, разность длин которых ( ) меньше расстояния между кнопками ( ), конец каждой нити привяжем к ножкам кнопок, а оставшиеся концы свяжем узлом (точка ). Держа теперь узел в левой руке, защепим обе нити острием карандаша и будем двигать карандаш по бумаге так, чтобы обе нити и были все время в натянутом положении. Тогда острие карандаша все время находится на одной ветви гиперболы с фокусами и и длиной оси (при ), так как

.

Для вычерчивания второй ветви следует  поменять местами кнопки с привязанными к ним нитями. Вычерченные дуги гиперболы будут тем длиннее, чем длиннее нити.

Приложение  гиперболы в военном деле.

Требуется определить на карте, как  нужно направить орудие, чтобы  поразить неподвижную звучащую цель, например, стреляющее орудие противника (рис.14).

По обе стороны орудия располагают симметрично относительно два пункта и , в которых фиксируется время дошедшего до них звука выстрела вражеского орудия . Пусть этот звук слышен в пункте в момент , а в пункте - в момент . Если , то очевидно, и орудие следует направить по перпендикуляру к . Если же , то есть – , где — скорость звука в воздухе, а — разность расстояний от пунктов и . Значит, орудие находится на одной ветви гиперболы с фокусным расстоянием и расстоянием между вершинами , именно — на той ветви, которая ближе к пункту, где звук выстрела услышан раньше. Асимптоты этой гиперболы легко построить на карте: угол между асимптотой и прямой таков, что .

Так как далекая точка  близка к асимптоте, мы можем практически принять и направить орудие под углом к .

Мы не объяснили названия гиперболы (по-древнегречески hyperbole значит «избыток», «преувеличение»), не рассказали о других важных свойствах этой кривой, общих для всех конических сечений - эллипса, гиперболы и параболы

 

 

 

Эллипс

Рассмотрим кривую, описываемую  точкой М так, что сумма расстояний этой точки до двух неподвижных точек F₁ и F₂ остается неизменной. Возьмем нить, концы ее привяжем к двум булавкам и воткнем эти булавки в лист бумаги, оставляя сначала нить ненатянутой. Если оттянуть теперь нить с помощью вертикально поставленного карандаша и затем передвигать карандаш, слегка придавливая его к бумаге и следя за тем, чтобы нить была натянутой, то острие М карандаша опишет кривую овальной формы (похожую на сплющенный круг); она называется эллипсом.

Чтобы получить полный эллипс, придется перекинуть нить на другую сторону  от булавок, после того как будет  описана одна половина эллипса. Очевидно, что сумма расстояний от острия М  карандаша до булавочных проколов F₁ и F₂ остаётся неизменной во все время движения; эта сумма равна длине нити.

Определение эллипса. Элементы эллипса.

Эллипсом называется фигура, полученная в результате РС окружности. Пусть - радиус окружности (рис. 3, ось РС будем считать проходящей через центр окружности). Тогда диаметр , лежащий на оси, перейдет в себя ( ), а перпендикулярный к нему диаметр – в отрезок ( ). Обозначим через , тогда .

Отрезки и называются осями эллипса, а их половины (а также числа и ) – его полуосями. Если (растяжение), то (рис. 3), если же (сжатие), то . При окружность перейдет в окружность. Больший из отрезков называется большой осью эллипса, а меньший – малой осью. Значит, если , то – малая полуось, а – большая, а если , то наоборот. В обоих случаях .

Точка о – центр окружности – при РС переходит сама в себя, эта точка называется центром эллипса, точки – его вершинами. Квадрат , описанный вокруг окружности так, что а , преобразуются в прямоугольник со сторонами и , описанный вокруг эллипса; его называют фундаментальным прямоугольником для нашего эллипса. Стороны этого прямоугольника касаются эллипса в его вершинах.

Как начертить эллипс.

Если заданы оси эллипса, то проще  всего начертить эллипс от руки, построив сначала фундаментальный  прямоугольник, а затем вписав в  него овальную кривую. Но этот метод  не точен, существует много овальных кривых с одними и теми же осями  симметрии (несколько таких кривых изображено на рисунке 4), но только одна из них ( на рисунке 4 – жирная) является эллипсом. Можно точно построить сколько угодно точек эллипса. Наиболее простой способ изображен на рисунке 5.

Начертить эллипс непрерывным движением, не отрывая  карандаша от бумаги, подобно тому, как мы вычерчиваем окружность циркулем, можно специальным прибором –  эллипсографом.

Уравнение линии. Уравнение  эллипса.

Одним из самых замечательных открытий XVII века является метод координат, позволяющий переводить геометрические понятия на алгебраический язык. Этот метод дает возможность устанавливать соответствие между линиями, лежащими на плоскости, на которой введена система координат, и уравнениями, содержащими две буквы и . Уравнением линии называется такое уравнение относительно и , которое обращается в тождество при подстановке вместо и значений в том и только в том случае, когда точка с координатами лежит на этой линии. Например, уравнение есть уравнение биссектрисы I и III координатных углов, а уравнение окружности радиуса с центром в начале координат имеет вид .

Пусть данный эллипс с полуосями  и получен как РС окружности радиуса с коэффициентом (рис. 7). Введем на плоскости, содержащей обе эти линии, систему координат следующим образом: ось направим по оси РС, а ось – через центр окружности , который является и центром эллипса, перпендикулярно к оси . Пусть – точка на окружности, а – та точка эллипса, в которую перейдет при РС.

Координаты  точки  обозначим через , а точки – через . По определению РС , откуда . Если подставить в уравнение окружности координаты любой точки , то будет верно равенство , и, значит на основании верным будет равенство . Если же точка не лежит на эллипсе, то точка , переведена в в результате РС, не лежала на окружности, и равенство неверно, значит, неверно и равенство . В соответствии с определением уравнения линии мы получили такое уравнение эллипса: . Поскольку , последнее уравнение приводится к виду .

Это и  есть уравнение эллипса в наиболее удобной (так называемой канонической) форме.

Фокальное свойство эллипса.

Мы переходим к наиболее важному  свойству эллипса – фокальному.

Будем рассматривать  эллипс как сечение кругового  цилиндра. Вкатим теперь в цилиндр  с обоих его концов по фару (того же радиуса, что и цилиндр) так, что бы оба шара стукнулись о плоскость его сечения (рис. 9), на геометрическом языке – впишем шары в цилиндр так, что бы они касались плоскости сечения.

Точки прикосновения  и и будут фокусами нашего эллипса.

Каждый  шар касается цилиндра по окружности. Возьмем любую точку  эллипса и отметим ту образующую цилиндра, на которой точка лежит ( и – точки этой образующей, лежащие на окружности касания). Ясно, что , так как это длины двух касательных к правому шару, проведенных из до точек прикосновения и (эти отрезки равны как образующие конуса с вершиной , описанного около правого шара). Рассуждая так же для левого шара, получаем: . Сложив оба равенства, имеем: .

Но длина  одна и та же для всех образующих цилиндра, это – расстояние между плоскостями окружностей касания. Значит, какую бы точку на эллипсе ни взять, будет удовлетворяться равенство

Таким образом, сумма расстояний от любой точки эллипса до двух его фокусов – величина постоянная. В этом и состоит фокальное свойство эллипса. Часто эллипс и определяется как множество точек, лежащих в одной плоскости, для которых сумма расстояний до двух точек (фокусов) – величина постоянная.

Расстояние от каждого фокуса до конца малой оси равно половине длины большой оси эллипса (рис. 10) или, иначе, .

В этой формуле  – большая полуось, – малая, – половина расстояния между фокусами. Для доказательства этой формулы рассмотрим конец большой оси эллипса (точка на рисунке 10). По фокальному свойству ; вследствие симметрии ; значит, постоянная const равна , т.е. большой оси . С другой стороны, для конца малой оси, например, , , а так как, в силу симметрии, , то каждый из этих отрезков равен . Это дает способ построения фокусов эллипса по его осям (рис. 10).