Автор работы: Пользователь скрыл имя, 13 Мая 2012 в 16:58, курсовая работа
Данную работу я также посвятила кривым, так как считаю эту тему очень занимательной и интересной. Столкнувшись с данной темой, я была поражена многообразием кривых. В школе изучаются лишь плоские кривые второго порядка, такие как окружность, гипербола, парабола и одна из кривых третьего порядка – кубическая парабола, даже эллипсу не уделено должного внимания, хотя у него имеются очень интересные свойства, и окружность мы получаем как раз как предельный случай эллипса, если сближать его фокусы. Изучая данную тему я впервые столкнулась с изображением таких замечательных кривых как астроида (что в переводе с греческого означает «звездообразная»), дельтоида (свое название она получила из-за сходства с прописной греческой буквой ) или еще её называют кривой Штейнера, кардиоида (сердцевидная кривая), улитка Паскаля, нефроида (что означает – напоминающая очертаниями почку), лемниската Бернулли, овалы Кассини, локон Аньези, конхоида Никомеда, Декартов лист, трех– и четырехлепестковая розы, спирали: Архимеда и Галилея, гиперболическая и логарифмическая
ВВЕДЕНИЕ. 3
РАЗДЕЛ I. 4
§1.НЕМНОГО ИСТОРИИ. —
§2. ПРОСТЕЙШИЕ КРИВЫЕ. 7
§3. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК О ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ КРИВЫХ……………………………………………..18
§4. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ И ИХ СВОЙСТВА……………………………………………………….....27
4.1.ЦИКЛОИДА………………………………………………………………………………………………….…-
4.2. ЭПИЦИКЛОИДА……………………………………………………………………………………..……….28
4.3. ГИПОЦИКЛОИДА……………………………………………………………………………………..……..29
4.4. ДЕЛЬТОИДА…………………………………………………………………………………………………..30
4.5. АСТРОИДА………………………………………………………………………………………….………...31
4.6. ОВАЛ КАССИНИ………………………………………………………………………………………….….32
4.7. ЛЕМНИСКАТА…………………………………………………………………………………………..…...34
4.7.1. ЛЕМНИСКАТА БУТА……………………………………………………………………………..………..35
4.7.2. ЛЕМНИСКАТА БЕРНУЛИ……………………………………………………………………..……..…...36
4.8. ЛОКОН АНЬЕЗИ…………………………………………………………………………………………. .…38
4.9. УЛИТКА ПАСКАЛЯ…………………………………………………………………………………….…....39
4.10. ДЕКАРТОВ ЛИСТ………………………………………………………………………………..………….40
4.11. АРХИМЕДОВА СПИРАЛЬ………………………………………………………………………….….…..42
4.12. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ………………………………………………………………………..42
4.13. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ………………………………………………………………………....44
4.14. КОНХОИДА НИКОМЕДА………………………………………………………………………...……….44
4.15. КАРДИОИДА…………………………………………………………………………………..……………45
СЛОВАРЬ………………………………………………………………………………………………..47
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. .49
4.2.Эпициклоида
Эпицикло́ида (от греч. ὲπί — на, над, при и κυκλος — круг, окружность) — плоская кривая, образуемая фиксированной точкой окружности, катящейся по другой окружности.
Уравнения
Если центр неподвижной окружности находится в начале координат, её радиус равен R, радиус катящейся по ней окружности равен r, то эпициклоида описывается параметрическими уравнениями относительно :
где α — угол поворота эпициклоиды относительно центра неподвижной окружности, — параметр, но фактически это угол наклона отрезка между центрами к оси OX.
Можно ввести величину , тогда уравнения предстанут в виде
Величина k определяет форму эпициклоиды. При k = 1 эпициклоида образует кардиоиду, а при k = 2 — нефроиду.
Эпициклоиды при разных значениях параметра k: | |||
k = 1 (кардиоида) |
k = 2 (нефроида) |
k = 3 |
k = 4 |
|
|
|
|
Красная кривая — гипоциклоида: r = 1,0, R = 3,0. Для этой гипоциклоиды k = R / r = 3.
Гипоцикло́ида (от греческих слов ὑπό — под, внизу и κύκλος — круг, окружность) — плоская кривая, образуемая точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности без скольжения.
Уравнения
Описывается параметрическими уравнениями
где , где R — радиус неподвижной окружности, r — радиус катящейся окружности.
Модуль величины k определяет форму гипоциклоиды. При k = 2 гипоциклоида представляет собой диаметр неподвижной окружности, при k = 4 является астроидой.
k=3 — Дельтоида |
k=4 — Астроида |
k=5 |
k=6 |
k=2,1 |
k=3,8 |
k=5,5 |
k=7,2 |
Дельтоида (кривая Штейнера) — плоская кривая, описываемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности, радиус которой втрое больше радиуса первой.
Название кривая получила за сходство с греческой буквой Δ. Её свойства впервые изучались Л. Эйлером в XVIII веке, а затем Я. Штейнером в XIX.
Дельтоида является частным случаем гипоциклоиды при k = 3.
, где — треть полярного угла.
4.5. Астроида
Астроида — плоская кривая, описываемая точкой M окружности радиуса r, катящейся по внутренней стороне окружности радиуса R = 4r. Иначе говоря, астроида — это гипоциклоида с модулем m = 4.
Уравнения
Уравнение в декартовых прямоугольных координатах:
| x | 2 / 3 + | y | 2 / 3 = R2 / 3
параметрическое уравнение:
x = Rcos3t y = Rsin3t
Свойства
4.6. Овал Кассини
Овал Кассини — геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату некоторого числа a.
Частным случаем овала Кассини при фокусном расстоянии равном 2a является Лемниската Бернулли. Сам овал является лемнискатой с двумя фокусами.
Кривая была придумана астрономом и инженером Кассини. Он ошибочно считал, что она точнее определяет орбиту Земли, чем эллипс[1].
Уравнения
Расстояние между фокусами 2c.
Свойства
Чёрная окружность — множество максимумов и минимумов; синяя лемниската — множество точек перегиба
Геометрическое место точек абсолютных максимумов и минимумов — окружность радиуса c с центром в середине отрезка между фокусами.
Геометрическое место точек перегиба — лемниската с вершинами .
4.7. Лемниската
Лемнискаты с тремя фиксированными фокусами.
Лемниската (от лат. lemniscatus — украшенный лентами) — плоская алгебраическая кривая порядка 2n, у которой произведение расстояний от каждой точки до n заданных точек (фокусов) постоянно.
Примеры
Свойства
Лемниската Бута — плоская алгебраическая кривая четвёртого порядка, частный случай кривой Персея. Названа в честь Джеймса Бута.
Уравнение в прямоугольных декартовых координатах:
(x2 + y2)2 − (2m2 + c)x2 + (2m2 − c)y2 = 0.
Виды
Форма кривой зависит от
соотношения между параметрами
(x2 + y2)2 = a2x2 + b2y2, где a2 = 2m2 + c и b2 = c − 2m2.
В этом случае лемниската Бута является подерой эллипса относительно его центра и называется эллиптической. Её уравнение в полярных координатах имеет вид
ρ2 = a2cos2φ + b2sin2φ.
Если c < 2m2, то уравнение лемнискаты принимает вид
(x2 + y2)2 = a2x2 − b2y2, где a2 = 2m2 + c и b2 = 2m2 − c.
В этом случае лемниската Бута является подерой гиперболы относительно её центра и называется гиперболической. Её уравнение в полярных координатах имеет вид
ρ2 = a2cos2φ − b2sin2φ.
Частные случаи
Свойства
Лемниска́та Берну́лли — геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.
Лемниската по форме напоминает восьмёрку. Её название восходит к античному Риму, где «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Эту лемнискату называют в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.
Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами 2c, расположены они на оси OX, и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:
Вывод [показать]
Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:
Вывод [показать]
Вывод [показать]
, где
Чтобы задать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнение заново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный) фокусный отрезок переходит в новый, и воздействовать на представленные уравнения этим преобразованием.