Комбинаторика в начально школе

Введение.

Современное развитие российского общества поставило перед школой задачу воспитания личности, которая могла бы самостоятельно и критически мыслить, сопоставлять и анализировать факты, находить различные варианты решения возникающих проблем, выбирать из них оптимальные, учитывая различные условия и конкретные ситуации. 

В связи с этим модернизация общеобразовательной школы на современном этапе ее развития предполагает ориентацию образования не только на усвоение обучающимися определенной суммы знаний, но и на развитие его личности, его познавательных и созидательных возможностей. В свете этих тенденций изменяется приоритет математического образования, которое на современном этапе рассматривается как процесс становления личности человека посредством овладения им основами математических знаний.

Развивающее обучение математике предполагает органическое слияние обучения и развития, при котором обучение выступает не самоцелью, а условием развития детей. При подобном обучении дети самостоятельно добывают знания и способы действия, перестраивают ранее полученные способы решения задач, открывают новые способы.

К сожалению, в большинстве случаев педагогу приходится сталкиваться со скованностью детского мышления, стремлением мыслить по готовым стереотипам. Дети воспроизводят только однозначный способ решения мыслительной задачи, не видят возможности нескольких вариантов решения, не умеют изменять неэффективные способы. Психологи связывают такие особенности интеллектуальной деятельности с результатами использования готовых шаблонов для решения различных типов задач. Развивающий эффект подобного обучения оказывается ничтожным.

Актуальность темы исследования определяется важностью комбинаторных способов рассуждения в общей структуре научного мышления в рамках школьного обучения. Между тем в современном обществе требования к уровню комбинаторно-вероятностного мышления учащихся существенно повышаются. Таким образом, проблема встает с особой остротой применительно к усвоению детьми такого сложного класса понятий, как понятия математической комбинаторики.

Таким образом, явно недостаточная изученность комбинаторного мышления, знание которого необходимо для организации эффективного обучения математике, диктуют как теоретическую, так и практическую актуальность данной проблематики.

Объектом исследования стало интеллектуальное развитие учащихся начального звена школы.

В качестве предмета исследования выступило становление комбинаторного мышления у детей младшего школьного возраста и подростков.

Целью данного исследования стало определение, формирования понятий комбинаторного мышления программы обучения учащихся начального звена.

Для этого мы поставим себе такие задачи:

1. Познакомиться  с комбинаторикой.
2. Выяснить какие формирования нужны для решения задач.
3. Какие методы используют для решения комбинаторных задач.
4. Познакомиться с методикой обучения решения комбинаторных задач.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Что такое комбинаторика?

Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов называется комбинаторикой. 
Комбинаторика возникла в XVI веке. Вопросы, касающиеся азартных игр, явились движущей силой в ее развитии.  Комбинаторика является разделом дискретной математики, ориентированным на решение задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами и ограничениями. Каждое такое правило определяет способ построения некоторой комбинаторной конфигурации, поэтому комбинаторный анализ (комбинаторика) занимается изучением свойств комбинаторных конфигураций, условиями их существования, алгоритмами построения и оптимизацией этих алгоритмов. Этот раздел математики тесно связан с рядом других разделов дискретной математики: теорией вероятностей, теорией графов, теорией чисел, теорией групп и т. д.Комбинаторика, пройдя многовековой путь развития, обретя собственные методы исследования, с одной стороны, широко используется при решении задач алгебры, геометрии, анализа, с другой стороны, сама использует геометрические, аналитические и алгебраические методы исследования. 
 
Сейчас комбинаторные методы применяются как в самой математике, так и вне её – теория кодирования, планирование эксперимента, топология, конечная алгебра, математическая логика, теория игр, кристаллография, биология, статистическая физика, экономика и т.д.  
В школьном курсе комбинаторика преподается в совокупности с теорией вероятностей и статистикой. В течение последних десятилетий элементы теории вероятностей и комбинаторики то вводились разделом в курс математики общеобразовательной школы, то исключались вообще. Внимание, которое уделяется этому учебному предмету во всем мире, позволяет предположить, что концепция его введения является актуальной. 
В настоящее время никто не подвергает сомнению необходимость включения вероятностно-статистической линии в школьный курс математики. О необходимости изучения в школе элементов комбинаторики, теории вероятностей и статистики речь идет очень давно. Ведь именно изучение и осмысление комбинаторики, теории вероятностей и статистических проблем особенно нужно в нашем перенасыщенном информацией мире. 
 
Но внедрение вероятностно-статистической линии в школьный курс столкнулось с некоторыми трудностями, в первую очередь, это методическая неподготовленность учителей и отсутствие единой методики и школьных учебников.  
 
Современная концепция школьного математического образования ориентирована, прежде всего, на учет индивидуальности ребенка, его интересов и склонностей. Этим определяются критерии отбора содержания, разработка и внедрение новых, интерактивных методик преподавания, изменения в требованиях к математической подготовке ученика. И с этой точки зрения, когда речь идет не только об обучении математике, но и формировании личности с помощью математики, необходимость развития у всех школьников вероятностной интуиции и статистического мышления становится насущной задачей. Причем речь сегодня идет об изучении вероятностно-статистического материала в обязательном основном школьном курсе «математике для всех» в рамках самостоятельной содержательно-методической линии на протяжении всех лет обучения.

Согласно данным ученых-физиологов и психологов в среднем звене школы заметно падение интереса к процессу обучения в целом и к математике в частности. На уроке математики в основной школе, в пятых-девятых классах, проводимых по привычной схеме и на традиционном материале, у ученика зачастую создается ощущение непроницаемой стены между изучаемыми объектами и окружающим миром. Именно вероятностно-статистическая линия, изучение которой невозможно без опоры на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт ребенка, способна содействовать возвращению интереса к самому предмету «математика», пропаганде его значимости и универсальности. 
Знакомство школьников с очень своеобразной областью математики, где  между однозначными «да» и «нет» существует  еще и «быть может» (причем это «может быть» поддается строгой количественной оценке), способствует устранению укоренившегося ощущения, что происходящее на уроке математики никак не связано с окружающим миром, с повседневной жизнью. Учащиеся видят непосредственную связь математики  с окружающей действительностью, реальной жизнью. 
 
В большинстве учебников комбинаторные формулы рассматривается лишь как средство для подсчета вероятности, это сказывается на содержании этого материала в учебниках, и места его изучения. Но комбинаторика ставит и другие цели: в первую очередь – это развитие мышления, и использование комбинаторных знаний для решения задач прикладного характера. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формирование у младших школьников умения решать

задачи комбинаторного характера.

Математику любят в основном те ученики, которые умеют решать задачи. Научив детей владеть умением решать задачи, мы окажем существенное влияние на их интерес к предмету, на развитие мышления и речи.

В последнее время всё настойчивее звучит требование усилить развивающие  возможности начального курса математики. В традиционной системе эту проблему пытались решить включением от случая к случаю заданий нестандартного характера. В качестве такого материала выступает использование элементов комбинаторики. Задачи комбинаторного характера по - прежнему классифицируются, как задачи повышенной трудности, они не связаны с усвоением основных вопросов курса и не согласованы с логикой построения его содержания. В связи с этим комбинаторные задачи включаются в учебный процесс эпизодически, бессистемно, что в значительной мере снижает их развивающие и дидактические возможности.

Теория вероятности» включен в содержание основного и среднего (полного) общего образования. С 2011 года задания из данной темы включены в экзамен по математике ГИА (новая форма) в 9 классе, в 2012 году в КИМ ЕГЭ по математике в 11 классе добавлено в часть 1 одно задание по вероятности, статистике и анализу данных. Комбинаторные задачи входят в задания математических олимпиад и оцениваются наибольшим количеством баллов.   

Возникает необходимость включение задач комбинаторного характера в процесс обучения в определённой системе и с постепенным нарастанием  сложности, предоставление учащимся максимальной самостоятельности в поиске способов решения задачи.

Таким образом, комбинаторные задачи в развивающем курсе начальной математики возможно и целесообразно использовать как средство усвоения программного содержания, не перегружая учащихся дополнительной информацией, связанной с введением в содержание курса основных понятий.

В начальной школе задания комбинаторного характера представлены в виде элементов комбинаторики, теории графов, элементов теории вероятностей и наглядной и описательной статистики. Те или иные материалы по этой тематике давно уже присутствуют в учебниках математики. Так, в УМК «Школа России» автор учебника Математики М.И.Моро встречаются задания комбинаторного характера:

1) Сколько раз  среди чисел от 1 до 100 встречается  цифра 0? Цифра 1?

2) Записали подряд  все трёхзначные числа. Сколько  всего цифр записано в

этом ряду?

3) Чтобы открыть  сейф, нужно отгадать код. Известно, что код – трёхзначное число, записанное тремя из цифр 1, 2, 3, 4, и это число больше, чем 400. Сколько чисел нужно проверить, чтобы определить код?

4) В соревнованиях  участвуют 8 футбольных команд. По  правилам после каждой игры проигравшая команда выбывает. На который по счёту день определиться чемпион?

5) Саша выше Коли, но ниже Пети, а Петя ниже  Толи. Кто выше всех? Учителя их идентифицировали как нестандартные задачи, поэтому могли по своему усмотрению включать либо не включать их в урок. Теперь ситуация изменилась. Так, в Федеральном государственном образовательном стандарте начального общего образования к предметным результатам освоения основной образовательной программы НОО по математике названо умение действовать в соответствии с алгоритмами, строить простейшие алгоритмы, исследовать, работать с таблицами, схемами, графиками, диаграммами, цепочками, совокупностями, представлять, анализировать и интерпретировать данные, т.е. решать простейшие комбинаторные задачи. Новое содержание, требование к уровню подготовки учащихся предполагают более тщательное осмысление методики преподавания этих разделов математики.

 Это обусловлено требованиями времени, наличием большого числа вероятностных ситуаций в жизни, проблем выбора, оценки степени шансов на успех, интересами учащихся.

Основная функция комбинаторных задач в начальных классах – создать условия для формирования у учащихся приёмов умственной деятельности (анализ и синтез, абстрагирование), для развития произвольного внимания и образного мышления и для усвоения тех вопросов, которые входят в содержание программы. Для реализации этих условий я провожу факультатив «Комбинаторные задачи».

На факультативных занятиях я знакомлю учащихся с наиболее часто встречающимися методами перебора, показываю, что перебор должен быть логически упорядочен по какому – либо признаку (условию) , пусть даже по самому простому: по возрастанию, по алфавиту, слева направо или справаналево, сверху вниз или снизу вверх и т.д.

Рассмотрим типы задач каждого раздела и их решение.

Вероятность. Формирование таких понятий, как «наверняка», «ни в коем случае», «возможно да, возможно нет». Качественная оценка шансов наступления того или иного события. В начальной школе в игровой ситуации целесообразно начинать учить детей различать такие понятия, как «возможно да» или « обязательно да» (наверняка), «не обязательно да» или «обязательно нет».

Шарики в мешочке.

Можно научить детей качественно оценивать шансы наступления случайного события. Фактически в примерах, используемых для формирования этих понятий, речь идёт о применении классической вероятности. Но прийти к сознательному применению формулы классической вероятности младшие школьники смогут после продолжительного экспериментирования с пуговицами, шарами, бусинками и т.п. Спустя некоторое время учащиеся начальной школы смогут решать подобные задачи, не прибегая к эксперименту. Фактически с проведения экспериментов начинается изучение статистики. Целью изучения элементов статистики в начальной школе является формирование умений проводить не сложные опросы, наблюдения с целью сбора (получения) количественной информации и её оформления в виде таблиц.

В качестве примера второклассникам предлагаю задание:«Узнай у своих одноклассников (у учащихся начальной школы), какой вид спорта им нравится больше всего, и заполни таблицу (каждый может назвать только один вид спорта). вид спорта футбол хоккей гимнастика другие виды число уч - ся 6 5 3 2

- Расскажи, какой  вид спорта нравится твоим  одноклассникам больше всего; меньше всего.

Целесообразно задать вопрос: «Можно ли по этой таблице судить, какой вид спорта самый популярный в школе?» Выясняется, что об этом по данной выборке бесспорного ответа дать нельзя. Полученных сведений для ответа на этот вопрос недостаточно. Таким образом, в сознании учащихся внедряется идея о том, что вывод, сделанный на основе опыта должен соответствовать выборке.

Комбинаторика.

В начальной школе комбинаторные задачи решаются перебором возможных вариантов, осуществляемых путём предметной деятельности с конкретными вещами. Первые комбинаторные задачи должны давать возможность выполнять практические действия, которые потом будут перенесены в план умственных действий. С этой целью я предлагала первоклассникам задания в виде игр.

Игра «День и ночь».