Комбинаторика в начально школе

Учитель вызывает трёх учеников Наташу, Серёжу, Борю. Они садятся у доски на стулья. По команде «День!» ребята встают и могут передвигаться. По команде « Ночь!» они садятся на стулья, но так, чтобы каждый раз порядок  расположения был другой. Все остальные дети записывают в тетради расположение вызванных учеников по первым буквам имён и следят за тем,

чтобы играющие выполняли поставленное условие. Игра продолжается до тех пор, пока не обнаружатся все возможные варианты. Их шесть:

1. Н.С.Б.

2. С.Н.Б.

3. Б.Н.С.

4. Н.Б.С.

5. С.Б.Н.

6. Б.С.Н.

В процессе игры возникают ситуации, когда играющие повторяют расположение или не могут найти новое. Тогда им помогают ребята класса. Возникают вопросы: « Можно ли играть без ошибок? Как нужно действоватьдля этого?»

В процессе осуществления игровой деятельности ученики осознают необходимость введения правила, которого надо придерживаться в игре.

Анализируя полученные расположения, они замечают, что нужно каждому садиться на первое место дважды, а двум остальным при этом меняться местами.

Итак, одно из направлений – это задачи – игры, другое – задачи,  показывающие некоторые доступные детям аспекты применения комбинаторики в повседневной деятельности человека.

Предлагаю следующую задачу комбинаторного характера: «Малярам нужно покрасить 6 дачных домиков для малышей детского сада (красят крышу, стены и дверь). У них есть синяя, голубая и белая краски. Могут ли маляры покрасить все дома по – разному, чтобы малыши по цвету узнавали свой дом?» Учащимся предлагается нарисовать 6 домиков, взять цветные карандаши и показать, как нужно выполнить работу малярам.

Младшие школьники решают комбинаторные задачи методом, используя приём перебора (хаотичного или системного). В процессе решения таких задач учащиеся приобретают опыт хаотичного перебора возможных вариантов. И на основе этого опыта в дальнейшем можно будет обучать детей организации систематического перебора. На следующем этапе формирования умения решать комбинаторные задачи происходит переход от предметных действий к использованию схематизации.

Накопленный на предыдущем этапе практический опыт дети обобщают, переходя к более рациональным средствам организации перебора: таблицам и графам. Это позволяет учащимся более чётко строить ход своих рассуждений, учитывать все возможные ситуации перебора. Таблицы и графы позволяют расчленить ход рассуждений, чётко провести перебор, не упустив каких – либо имеющихся возможностей.

Учащимся была предложена такая задача: «Встретились пятеро друзей. Здороваясь, они пожали друг другу руки. Сколько всего рукопожатий было сделано?» Сначала выясняется, как можно обозначить каждого человека.

Рассматривая разные предложения, дети приходят к выводу, что удобнее изображать людей точками. Учитель советует расположить точки по кругу. Дети придумывают, как показать, что два человека пожали друг другу руки.

От двух точек навстречу друг другу проводятся чёрточки – «руки», которые, встречаясь, образуют одну линию. Так происходит переход к символическому изображению рукопожатия. Сначала составляются все рукопожатия одного человека (точка соединяется со всеми остальными). Потом переходят к другому человеку. И так действуют до тех пор, пока все не «поздороваются» друг с другом. По получившемуся графу подсчитывается число рукопожатий (их всего 10).

Для решения комбинаторных задач дети знакомятся граф – деревом. Граф – дерево можно использовать в процессе решения такой задачи:

« Сколько трёхзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 7, 4? Запишите все такие числа».

При выполнении этого задания учащиеся осуществляли хаотичный перебор возможных вариантов и, запутавшись, не смогли найти все возможные варианты решения задачи. Тогда детям был предложен следующий вид интерпретации – граф.

Данная работа очень увлекает учащихся, и они составляют задачи самостоятельно и выполняют в группах аналогичные задания.

С целью формирования умения изображать схематическую модель к задаче, было предложено задание следующего содержания: каждом столбце ( а их 3), в каждой строке (их тоже 3), по каждой диагонали (их2)? (47 делится на 3 только с остатком: 47 : 3 = 15 (ост.2), т.е. нельзя получить в трёх столбцах одинаковые суммы, если общая сумма чисел в трёх столбцах равна 47).

Методика обучения решению комбинаторных задач строится с учётом психологических особенностей детей младшего школьного возраста и направлена на развитие мышления. Способы действия не даются «в готовом виде», а дети сами приходят к их «открытию», накапливая опыт. Рассмотрение разнообразных комбинаторных задач и различных возможностей их решения (разный ход рассуждений, средства организации перебора, способы обозначения объектов) обеспечивает ученику выбор путей и средств решения в соответствии с его индивидуальными особенностей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Методы  решения комбинаторных задач.

Комбинаторные задачи можно использовать как средство усвоения программного содержания, не перегружая учащихся дополнительной информацией, а включение комбинаторных задач в процесс усвоения программного содержания способствует повышению качества знаний учащихся и формированию у них умения решать комбинаторные задачи неформальными методами.

Существуют следующие методы решения комбинаторных задач:

Метод перебора (подбираются задачи на развитие мышления)

Табличный метод (здесь все условия вносятся в таблицу, возникает решение)

Дерево вариантов (дети получают начальные знания о графах)

Методы решения комбинаторных задач вводятся по нарастающей траектории от простого к сложному. В 1–2 классе решаются задачи с помощью перебора и таблиц, а в 3–4 с помощью построения дерева вариантов и графов, тем самым позволяя в основной школе при изучении некоторых тем теории вероятности использовать знакомые понятия и способы решения.

Комбинаторные задачи являются средством:

1. Реализации методической  концепции, выражающей необходимость  целенаправленного и систематического  формирования приемов умственной  деятельности в процессе усвоения  программного содержания.

2. Овладения способом моделирования  на доступном для младших школьников  уровне.

3. Расширения у учащихся  представлений о различных видах  математических задач и способах  их решения (перебор, таблицы, дерево  вариантов)

4. Развития таких свойств  мышления как гибкость, вариативность, креативность.

В конце изучения курса математики в начальной школе учащиеся владеют способами решения комбинаторных задач, умеют составлять математически

Комбинаторные задачи, составленные на жизненном материале, помогают младшим школьникам лучше ориентироваться в окружающем мире, учат рассматривать все имеющиеся возможности и делать оптимальный выбор.

Рассмотрим одну из них.

Учащимся предлагается следующая проблема: « У тебя 60 рублей. Родители отпустили ебя в парк покататься на каруселях.

Предлагаются следующие расценки.

Вход в парк – 5 рублей «Колесо обозрения” – 10 рублей  , «Сюрприз – 35 рублей. «Американские горки” – 45 рублей «Комната смеха” – 25 рублей. Какой выбор ты сделаешь, если ни один из аттракционов нельзя посетить дважды?

Ребенок, анализируя задачу, приходит к построению такой математической модели: Реальность – постановка условий – составление возможных вариантов – выбор варианта. Тем самым ребенок ставит следующие условия:

1. Ребенок должен войти в парк, потратить 5 рублей.
2. Стоимость всех посещенных аттракционов должна быть меньше, либо равна 55.
3. Ни один из аттракционов не должен быть посещен дважды.

Затем у ребят возникают следующие варианты.

Делая свой выбор, ребенок останется на конкретном варианте и воплощает его в реальности.

Кроме очевидной связи комбинаторных задач с практикой или с реальностью наблюдаются положительные эмоции у детей, интерес, волнение, радость, удивление. Все это облегчает для ребенка волевое усилие, необходимое для решения стоящей перед ним задачи, стимулирует его деятельность.

Таким образом, решение комбинаторных задач положительно влияет на формирование приемов умственной деятельности, расширяются представления о задаче.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Методика обучения младших школьников решению комбинаторных задач.

Методика обучения любому комбинаторному содержанию должна базироваться на определенных исходных положениях, в которых находит определение взаимосвязь основных компонентов процесса обучения: целей, содержания, деятельности учителя и деятельности учащихся.

Эти положения могут носить общий или частный характер. В качестве общих положений выступают психологические закономерности, дидактические принципы, психолого-педагогические и методические концепции.

В соответствии с ними формулируются частные положения, учитывающие непосредственно специфику содержания, которое подлежит усвоению.

Методика обучения решению комбинаторных задач разрабатывалась в рамках методической системы развивающего обучения младших школьников математике (Н.Б. Истомина), которая выражает необходимость целенаправленного и систематического формирования приемов умственной деятельности в процессе усвоения математического содержания.

Нацеленность начального курса математики на формирование приемов умственной деятельности позволяет установить внутреннюю связь между развивающими условиями обучения и способами их достижения, так как в процессе усвоения знаний, умений и навыков приемы умственной деятельности выполняют различные функции и их можно рассматривать:

1) как способ организации  учебной деятельности школьников;

2) как способы познания, которые становятся достоянием  ребенка, характеризуя его интеллектуальный  потенциал и способности к  усвоению знаний;

3) как способы включения  в процесс познания различных  психических функций: эмоций, воли, чувств, внимания; в результате интеллектуальная  деятельность ребенка входит  в различные соотношения с  другими сторонами его личности, прежде всего с ее направленностью, мотивацией, интересами, уровнем притязаний  т.е. характеризуется возрастающей  активностью личности .Обучение решению комбинаторных задач проводится в три этапа:

1) подготовительный этап, цель которого формирование мыслительных операций в процессе решения комбинаторных задач с помощью хаотического перебора;

2) основной этап, цель  – ознакомление учащихся с  методом организованного перебора;

3) этап отработки умений  выполнять организованный перебор, цель – отработать у учащихся умения решать комбинаторные задачи.

Рассмотрим подробно методику решения комбинаторных задач на каждом этапе.

На подготовительном этапе предлагаются задачи на развитие познавательных способностей, на активизацию таких мыслительных процессов как анализ, синтез, обобщение и классификация. На данном этапе решаются задачи двух видов: 

v задачи-игры;

v «жизненные» задачи (задачи, решаемые в повседневной деятельности человека).Для обеспечения мотивации решения таких задач можно предложить детям задачи в виде игр. В качестве примера мы предлагаем игры «День-ночь» и «Башенки».

В процессе игры могут возникать ситуации, когда играющие повторяют расположение или не могут найти новое. Тогда им могут помочь ребята класса.  К концу игры необходимо, чтобы ученики осознали важность введения правила, которого надо придерживаться в игре. Анализируя полученные расположения, нужно, чтобы они заметили, что каждому игроку нужно садиться на первое место дважды, а двум другим при этом меняться местами.

Игру можно предложить в качестве физкультминутки на уроке математики.

Игру можно предложить в конце урока математики в качестве дополнительного материала. Далее мы предлагаем задачи, показывающие возможность применения  комбинаторики в повседневной деятельности человека («жизненные» задачи). Данные задачи можно предлагать учащимся в конце уроков математики. Если ученики нашли варианты в том порядке, в котором они представлены , то можно открывать в процессе нахождения. Если порядок вариантов не совпадает, следует только проверить по готовому варианту.

Таким образом, на подготовительном этапе создается положительная мотивация и эмоциональная подготовка учащихся к дальнейшему решению комбинаторных задач.   На основном этапе учащиеся знакомятся с разными способами решения комбинаторных задач.

На данном этапе решаются задачи четырех видов:

v задачи, решаемые методом организованного перебора;

v задачи, решаемые с помощью таблиц;

v задачи, решаемые с помощью графов;

v задачи, решаемые с помощью дерева возможных вариантов.

Для начала мы предлагаем ознакомить учащихся с методом  организованного перебора. При решении данных задач важно обучить детей выполнять перебор не хаотически, а соблюдая определенную последовательность перебора всех вариантов решений.

Далее мы предлагаем ознакомить учащихся с другим способом решения комбинаторных задач – с помощью таблиц.

Перед тем, как знакомить учащихся с новым способом решения комбинаторных задач, необходимо актуализировать знания детей о таблицах, выделить существенные признаки таблиц и сформулировать определение понятия «таблица», например такое: таблица – это перечень сведений, числовых данных, приведенных в определенную систему и разнесенных по графам (строкам и столбцам).