Контрольная работа по "Высшей математике"

 

Положительных оценок нет.

 

 – план оптимален.

 

Минимальное значение функции  равно 

3. Построим к исходной задаче – двойственную:

 

Прямая задача содержит три  ограничения, поэтому в двойственной задаче должно быть три переменных - .

Поскольку в прямой задаче все ограничения имеют вид  уравнения, то на переменные двойственной задачи условия неотрицательности не налагаются   (правило 3). Из этих переменных составим вектор  .

Умножим скалярно вектор   на вектор ограничений прямой задачи, получим функцию

, так как целевая функция  прямой задачи минимизируется (правило 1).

Построим ограничения двойственной задачи. Поскольку в прямой задаче все переменные неотрицательны, то в двойственной задаче все ограничения должны быть неравенствами (см. правило 4).

Умножая скалярно вектор   на соответствующие векторы условий прямой задачи, получим пять неравенств.

 

Получим окончательную задачу:

Найдем ее оптимальное  решение, используя первую теорему  двойственности.

i	AБ	CБ	B	-29	-14	3	11	8	M	M	M
				A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8
1	A6	M	5	4	1	0	1	3	1	0	0
2	A7	M	18	18	1	7	-4	9	0	1	0
3	A8	M	7	20	8	-4	2	6	0	0	1
m+1			0	29	14	-3	-11	-8	0	0	0
m+2			30	42	10	3	-1	18	0	0	0

 

	AБ	CБ	B	-29	-14	3	11	8	M	M	M
				A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8
1	A4	11	179/62	14/31	0	0	1	51/31	30/31	-2/31	-14/124
2	A3	3	486/124	72/31	0	1	0	63/31	17/31	3/31	-10/124
3	A2	8	131/62	110/31	1	0	0	42/31	1/31	2/31	7/62
m+1			432/31	-271/31	0	0	0	-86/31	367/31	-41/31	-95/31
m+2			0	0	0	0	0	0	-1	-1	-1

 

Приведем оптимальное  решение прямой задачи:

 

Окончательный базис, соответствующий  оптимальному решению прямой задачи, состоит из векторов A₄, A₃, A₂ .

Базисная матрица имеет вид

 

То есть  ,  максимальное значение функции составляет

4.  Необходимо проверить, являются ли оптимальными планами векторы  

 

 

  и  

 

Сначала проверим допустимость вектора  .

Подставим его координаты в ограничения прямой задачи

 

 

Вектор  удовлетворяет условиям неотрицательности и всем ограничениям, следовательно, он допустимый.

Проверим выполнение условий.

     

 Для этого подставим  координаты вектора  в ограничения двойственной задачи

 

 

 

Указанные векторы являются оптимальными планами прямой и двойственной задач.

Задача №465

Ниже приведены комплексные  задачи линейного программирования. Необходимо выполнить в заданном порядке следующие задания.

1. Найти оптимальный план  прямой задачи графическим методом. 

2. Построить двойственную  задачу.

3. Найти оптимальный план  двойственной задачи из графического  решения прямой, используя условия дополняющей нежесткости.

4. Найти оптимальный план  прямой задачи симплекс-методом  (для построения исходного опорного плана рекомендуется использовать метод искусственного базиса).

5. Найти оптимальный план  двойственной задачи по первой  теореме двойственности, используя  окончательную симплекс-таблицу,  полученную при решении прямой  задачи (см. п. 4). Проверить утверждение «значения целевых функций пары двойственных задач на своих оптимальных решениях совпадают».

6. Двойственную задачу  решить симплекс-методом, затем,  используя окончательную симплекс-таблицу  двойственной задачи найти оптимальный  план прямой задачи по первой  теореме двойственности. Сравнить результат с результатом, полученный графическим методом (см. п.1).

1. Найдем оптимальный план прямой задачи графическим методом.

Строим область допустимых решений  (рисунок).

 

Любая точка области ABC  удовлетворяет системе неравенств.

 

Вершина B  является точкой входа семейства прямых   в область решений, следовательно, в этой точке она принимает минимальное значение.

 

_{Необходимо  решить систему уравнений:}

_{Решив систему получим:}

2. _{Построим  к исходной задаче – двойственную:}

Умножим четвертое уравнение  системы на (-1), получим правильную постановку задачи:

Двойственная задача:

3. Найдем оптимальный план двойственной задачи из графического решения прямой, используя условия дополняющей нежесткости.

Отсюда следует:

Задача 565

Ниже приведены числовые данные транспортных задач. Стоимость  перевозки единицы продукции записаны в клетках таблицы. Запасы указаны справа от таблиц, а потребности – снизу. Требуется построить начальный план методами: «се