Контрольная работа по дисциплине "Математика"

Задача 1.

10 вариантов  контрольной работы, написанные  каждый на отдельной карточке, перемешиваются и распределяются  случайным образом среди 8 студентов, сидящих в одном ряду, причем  каждый получает по одному  варианту. Найти вероятности следующих  событий:

A = {варианты с номерами 1 и 2 останутся неиспользованными}

B = {варианты 1 и 2 достанутся рядом сидящим студентам}

C = {будут распределены последовательные номера вариантов}

 

Решение:

P = , n = A108

1) событие A = {варианты с номерами 1 и 2 останутся неиспользоваными}

m = 8!   P(А) =

2) Событие B = {варианты с номерами 1 и 2 достанутся сидящим рядом студентам}

Один вариант можно выбрать единственным способом, 2 вариант - единственным способом, остальные 6 вариантов можно выбрать A86 способами.

m = 1∙1∙ A86         P(В) =

3) Событие C = { будут распределены последовательные номера вариантов}

m = 3∙8!

P(С) =

 

Ответ: P(А) = 0,022,  P(В) = 0,011,    P(С) = 0,1,    P(D) = 0,067

 

 

Задача 2.

На обувной фабрике в отдельных цехах производятся подметки, каблуки и верхи ботинок. Дефективными оказываются 0,5% каблуков, 2% подметок и 4% верхов. Произведенные каблуки, подметки и верхи случайно комбинируются в цехе, где шьются ботинки. Найти вероятность того, что изготовленная пара ботинок будет содержать дефекты? Не будет содержать дефекты? Будет хотя бы один дефект?

 

Решение:

р1 = 0,995 – вероятность изготовления качественного каблука = событие К

q1 = 0,005 – вероятность изготовления бракованного каблука = событие

 

р2 = 0,98 – вероятность изготовления качественной подметки = событие П

q2 = 0,02 – вероятность изготовления бракованной подметки = событие

 

р3 = 0,96 – вероятность изготовления качественного верха = событие В

q3 = 0,04 – вероятность изготовления бракованного верха = событие

 

1) Событие А = {изготовленный ботинок не содержит дефектов}, А = К∙П∙В

Так как события К, П, В независимы друг от друга, то вероятность совмещения этих событий

р(А) = р(К)∙р(П)∙р(В) = 0,995∙0,98∙0,96 = 0,936

Событие = {изготовленная пара ботинок не содержит дефектов} состоит из совмещений событий (АА): р = р(А)∙р(А) = (0,936)2 = 0,876

2) Вероятность противоположного события: {изготовленная пара ботинок содержит дефекты} равна: q = 1 – p = 1 – 0,876 = 0,124

3) Будет  хотя бы один дефект?

 р = 1 – р1∙р2∙р3 = 1 – 0,995∙0,98∙0,96 = 1 – 0,936 = 0,064

 

 

Задача 3.

Всхожесть семян некоторого растения в среднем составляет 70%. Посеяно 10 семян. Какова вероятность того, что взойдут: а) ровно 8 семян; б) по крайней мере 8 семян? Найти вероятность наивероятнейшего числа взошедших семян.

Решение:

Вероятность всхожести семян р = 0,7. q = 0,3,  n  = 10.

а) р10(8) = С108∙р8∙q2 = С102∙р8∙q2 = ∙0,78∙0,32 = 0,233

б) р10(k ≥ 8) = р10(k = 8) + р10(9) + р10(10) = 0,233 + С109∙р9∙q1 + С1010∙р10∙q0 = 0,233 + 10∙0,79∙0,3 + +1∙0,710 = 0,233 + 0,121 + 0,028 = 0,382

в) np – q ≤ k0 ≤ np + q

k0 - наивероятнейшее число (целое) взошедших семян, np = 10∙0,7 = 7.

6,7≤ k0 ≤ 7,7   k0 = 7

Pn(k0) = р10(7) = С107∙р7∙q3 =120∙0,77∙0,33 = 0,267

 

Ответ: р10(8) =0,233; р10(k ≥ 8) = 0,382;  р10(k = 7)= 0,267

 

Задача 4.

ОТК проверяет 475 изделий на брак. В среднем годные изделия составляют 95%. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключено число бракованных изделий среди проверенных.

 

Решение:

n = 475

Если А = {изделие годное}, то р(А) = 0,95,  q(А) = 0,05,   γ = 0,95

Согласно интегральной теореме Лапласа:

р(| – р |≤ ε) ≈ 2Ф , где m – число бракованных изделий в партии из n изделий.

р = q(А) – вероятность появления бракованного изделия.

Тогда – ε ≤ – р ≤ ε; – ε∙n ≤ m –n р ≤ ε∙n;  nр – ε∙n ≤ m ≤ nр+ ε∙n;

n∙(p – ε) ≤ m ≤ n∙(р+ ε)

Найдем ε. Известно, что р(| – р |≤ ε) = 0,95. Значит 2Ф = 0,95, Ф = 0,475.

= 1,96,  ε = 1,96∙0,01 = 0,0196

475∙(0,05 – 0,0196) ≤ m ≤ 475∙(0,05 + 0,0196)

14,44 ≤ m ≤ 33,06

 

Ответ: с вероятностью 0,95 можно утверждать, что число бракованных изделий в партии из 475 изделий находится в границах от 14 до 33 шт.

 

Задача 5.

Партия, насчитывающая 50 изделий, содержит 6 бракованных. Из всей партии случайным образом выбрано 5 изделий. Составить закон распределения случайной величины Х – числа бракованных изделий в выборке. Составить функцию распределения Х и вычертить ее график. Рассчитать Мо(х) и D(x).

 

Решение:

Из пяти, выбранных случайным образом изделий, может быть бракованных или 0, или 1, или 2, или 3, или 4, или 5, т.е. СВ Х – число бракованных изделий в выборке, может принимать значения от 0 до 5.  х1 = 0, х2 = 1, х3 = 2, х4 = 3, х5 = 4, х6 = 5. Из 50 изделий – 44 стандартные и 6 бракованных.

р1(х1 = 0) =

 р2(х2 = 1) =

р3(х3 = 2) =

р4(х4 = 3) =  р5(х5 =4) =

р6(х6 =5) =

Закон распределения случайной величины Х:

хi	0	1	2	3	4	5	∑pi
pi	0,513	0,384	0,094	0,0087	0,0003	0	1,0

 

Функция распределения Х: F(x) = p(X < x).

 

 

  0,  если         x ≤ 0

 0,513  если  0 < x ≤ 1

 0,897 если  1 < x ≤ 2

F(x)=  0,991  если  2 < x ≤ 3

 0,9997если  3 < x ≤ 4

1,0  если        x> 4

 

 

Математическое ожидание СВ Х:

MO(x) = ∑xipi = 0∙0,513 + 1∙0,384 +2∙0,094 + 3∙0,0087 +4∙0,0003 = 0,384 +0,188 +0,0261 +0,0012= 0,5993 ≈ 0,6

MO(x) =0,6

Дисперсия СВ Х:

D(x) = ∑xi2∙ pi – [MO(x)]2=1∙0,384 +4∙0,094 + 9∙0,0087 +16∙0,0003 – (0,5993)2 = 0,384 +0,376 + +0,0783 +0,0048 – 0,3592 = 0,484

 

Ответ: MO(x) =0,6;   D(x) = 0,484.

 

Задача 6.

Плотность вероятности случайной величины Х задана следующим образом:

a cos2x при | x | ≤ π/2

f(x) =

0, при |x | > π/2

 

Найти вероятность того, что в двух независимых испытаниях случайная величина Х примет значения больше, чем π/4. Предварительно следует найти постоянную а.

 

Решение:

1) Постоянную а находим из условия:

    =>    

=

=1        a = 2/π

Вероятность того, что в одном испытании СВ Х примет значение x > π/4 равна:

р1(х> π/4)= 1 - р1(х< π/4)= 1 -

Искомая вероятность: р = р12 = 0,092 = 0,0081

 

Задача 7.

Стрельба из орудия ведется вдоль определенного направления. Средняя дальность полета снаряда 10000 м.  Предполагая, что дальность полета d распределена по нормальному закону с дисперсией 1600 м2, найдите, какой процент выпускаемых снарядов дает перелет от 100 до 200 м.

 

Решение:

a = 10000 см,  σ = м2

k1 = a +100;     k2 = a + 200;

р(α < x < β) = p(a + 100 < x < a + 200) = Ф - Ф = Ф(200/40) – Ф(100/40) = Ф(5) – Ф(2,5) = 0,5 – 0,4938 = 0,0062

Ответ: 0,6% снарядов дадут перелет от 100 до 200 метров.

 

Задача 8.

Оценить вероятность того, что число лиц, имеющих высшее образование, в группе из 800 человек отличается от своего математического ожидания меньше, чем на 30.

 

Решение:

Имеем: n = 800; ε = 30, ε2 = 900

р(|x – M(x)| < 30) ≥ 1-

M(x)= np; D(x) = npq

Так как p и q неизвестно, учитываем, что p∙q ≤ 0,25

D(x) ≤ 800∙0,25  D(x) ≤ 200

р(|x – M(x)| < 30) ≥ 1-

р(|x – M(x)| < 30) ≥ 0,078

 

Задача 9.

Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 мин равна 0,002.  Найти вероятность того, что в течение 1 мин обрыв произойдет более, чем на трех веретенах.

 

Решение:

N = 1000,   p = 0,002,    np = 2 < 10

P1000(k > 3) = 1 – p1000(k ≤ 3) = 1 – p1000(0) – p1000(1) – p1000(2) – p1000(3);

pn(k) = 1 - - - - = 1 – 0,1353(1 +2 +2 +4/3) =

= 1-0,857 = 0,143    

Ответ: вероятность того, что в течение 1 мин обрыв нити произойдет более, чем на трех веретенах, равна 0,143.

 

Задача 10.

Телефонный номер состоит из шести цифр. Найти вероятность того, что все цифры различны.

 

Решение:

 

Ответ: р = 0,1512

 

 

Типовой расчет №2

Задача 1.

Дано распределение абонентов по потребляемой мощности электроэнергии (квт.ч):

Интервалы мощности	5-10	10-15	15-20	20-25	25-30	30-35	35-40	40-45
Число абонентов	3	13	70	190	290	230	130	62

Требуется:

1. построить гистограмму и полигон относительных частот;
2. найти эмпирическую функцию распределения и вычертить ее график;
3. рассчитать моду и медиану;
4. пользуясь упрощенным методом (методом «условных вариант»), вычислить выборочную среднюю дисперсию, стандартное отклонение, коэффициент вариации, коэффициенты асимметрии и эксцесса.
5. по виду гистограммы и полигона относительных частот, по величине выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса сделать выбор закона распределения случайной величины Х – потребляемой мощности электроэнергии;
6. найти точечные оценки параметров выбранного закона распределения.

Решение:

1) относительной  частотой события называется величина  где n = ∑ni = 3 +13+

+70 +190 +290 +230 +130 +62 = 988

Интервальное распределение в относительных частотах:

Интервалы мощности	5-10	10-15	15-20	20-25	25-30	30-35	35-40	40-45	∑ ωi
ωi	0,003	0,013	0,071	0,192	0,204	0,233	0,132	0,062	1,0

 

Дискретное распределение в относительных частотах (по середине каждого интервала):

xi	7,5	12,5	17,5	22,5	27,5	32,5	37,5	42,5	∑ ωi
ωi	0,003	0,013	0,071	0,192	0,204	0,233	0,132	0,062	1,0

 

Графиком интервального распределения будет гистограмма относительных частот.

h = 5 – ширина интервала.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для дискретного распределения строят полигон относительных частот:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Эмпирическая  функция распределения равна относительной частоте события Х < х:

F*(x) = ωi , где  ωi – относительная частота события

Х ≤ хi.

	0,	если х ≤	5
	0,003	если х ≤	10
	0,016	если х ≤	15
	0,087	если х ≤	20
	0,279	если х ≤	25
F*(x)=	0,573	если х ≤	30
	0,806	если х ≤	35
	0,938	если х ≤	40
	1,0	если х ≤	45
	1,0	если х >	45

 

 

 

3)

Мо = 28

Ме = 29

 

4) Переходим к «условным» вариантам для упрощения вычислений характеристик распределения:

ui = (xi – c):h, где c = 27,5; h = 5.

Распределение СВ  х в «условных» вариантах:

ui	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	∑
ωi	0,003	0,013	0,071	0,192	0,294	0,233	0,132	0,062	1,0
ui∙ ωi	-0,012	-0,039	-0,142	-0,192	0	0,233	0,264	0,186	0,298
ui2∙ ωi	0,048	0,117	0,284	0,192	0	0,233	0,528	0,558	1,96
ui3∙ ωi	-0,192	-0,351	-0,568	-0,192	0	0,233	1,056	1,674	1,66
ui4∙ ωi	0,768	1,053	1,136	0,192	0	0,233	2,112	5,022	10,516