Контрольная работа по дисциплине "Математика"

 

= 0,298 = 0,3;    ( )2 = 0,09;     = 1,96;     = 1,66;     = 10,52

Выборочная средняя: 0,3∙5 + 27,5 = 29

Выборочная дисперсия: (1,96 – 0,09)∙25 = 46,75

Стандартное отклонение: 6,8

Коэффициент вариации: 23,4%

Коэффициент асимметрии:

Коэффициет эксцесса:

=

5) По виду гистограммы и полигона относительных частот, по величине выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса делаем предположение о нормальном законе распределения СВ х – потребляемой мощности.

6) Точечной  оценкой для параметра «а» нормального распределения служит выборочная средняя а = = 29,5. Точечной оценкой параметра σ нормального распределения служит «исправленное» стандартное отклонение σ = = 6,8.

 

Задача 2.

Предполагая, что случайная величина Х из задачи 1 распределена по нормальному закону, записать функцию распределения и функцию плотности Х. Найти интервальные оценки параметров распределения Х, приняв за доверительную вероятность 0,95.

 

Решение:

Для нормального распределения:

1) Функция плотности Х:

;

2) Функция распределения: F(x) = 0,06

3) Интервальными  оценками являются доверительные интервалы, которые с вероятностью 0,95 содержат истинное значение параметра.

Доверительный интервал для а:

- ≤ а ≤ + ,  

Параметр t0,95;988 определим по таблице:

t = 1,96

= 1,96∙ = 0,4

28,6 ≤ а ≤ 29,4

 

Доверительный интервал для σ:

σ(х)(1 – qγ,n) ≤ σ ≤ σ(х)(1 + qγ,n)

Параметр q0,95;988 находим по таблице: q0,95;988 = 0,089

6,2 ≤ σ ≤ 7,4

 

 

Задача 3.

Выборочным путем проверено качество 100 деталей из партии 5000 шт. Среди них 3% оказалось нестандартных. Определить границы, в которых заключена доля нестандартных деталей во всей партии, если результат необходимо гарантировать с вероятностью, равной 0,9545. Решить задачу при условии: а) выборка повторная; б) выборка бесповторная.

 

Решение:

Имеем: n = 1000, N = 5000, n/N = 0,2;   рв = р  = 0,03 – вероятность того, что деталь нестандартна.

γ = 0,9545, Ф(t) = 0,9545:2 = 0,4773, t = 2,0

а) Выборка повторная. Предельная ошибка выборочной доли нестандартных изделий:

Δ =

0,02 ≤ рг ≤ 0,04

При повторной выборке доля нестандартных деталей в партии из 5000 штук с вероятностью 0,9545 находится в границах от 20% до 40%.

б) Выборка бесповторная.

0,02 ≤ рг ≤ 0,04

При бесповторной выборке доля нестандартных деталей в партии из 5000 штук с вероятностью 0,9545 находится в границах от 2% до 4%.

 

Задача 4.

 Проверить, используя критерий χ2 гипотезу о согласии наблюдений, представленных в задаче 1, с законом нормального распределения, приняв за уровень значимости 0,05.

 

Решение:

Критерий согласия χ2набл. = , где fi – теоретическая частота попадания СВ Х в каждый интервал.

Если СВ Х распределена по нормальному закону, то fi = pi∙n = 988∙pi, где pi, - вероятность попадания СВ Х в тот или иной интервал.

pi, = Ф(zi+1) – Ф(zi), где zi =

Рабочая таблица для вычислений: = 29; = 6,8

Границы групп по х		ni	Границы групп по z		Ф(z) по границам		p	fi	Ci2
-∞;	15	16	-∞;	-2,06	-0,5;	-0,4803	0,020	19,0	0,62
15;	20	70	-2,06;	-1,32	-0,4803;	-0,4066	0,074	73,0	0,12
20;	25	190	-1,32;	-0,59	-0,4066;	-0,2224	0,184	182	0,35
25;	30	290	-0,59;	0,15	-0,2224;	0,0596	0,282	279	0,43
30;	35	230	0,15;	0,88	0,0596;	0,3106	0,251	248	1,31
35;	40	130	0,88;	1,62	0,3106;	0,4474	0,137	135	0,18
40;	+∞	62	1,62;	+∞	0,4474;	0,5	0,053	52	1,92
		∑988					∑1,0	∑988	∑4,93

 

Группы с n < 5 объединяем с соседними.

Cнабл2 = 4,93.

Для α = 0,05 и числа степеней свободы k = 5 (7 интервалов минус два параметра, определенных по выборке) находим из таблицы критических точек C2 распределения:

C2крит. = 11,1    

Так как Cнабл2 < C2крит, то гипотеза о согласии наблюдений задачи №1 с законом нормального распределения - принимаем.

 

Задача 5.

 Дано распределение предприятий кондитерской промышленности по основным фондам (хi в тыс. ден.ед.) и выпуску продукции (уi в млн. ден.ед.):

 

Х            У	0-20	20-40	40-60	60-80	80-100
10-30	2	4	2
30-50	4	8	4
50-70		2	4	2
70-90			2	3	2
90-110			1	2	1

 

Требуется:

1. установить форму корреляционной зависимости между Х и У;
2. вычислить тесноту связи между Х и У и сделать вывод о степени тесноты и направлении связи;
3. проверить значимость тесноты;
4. составить уравнения линий регрессии;
5. сделать прогноз о выпуске продукции, если основные фонды будут находиться в пределах от 110 до 120 тыс.ден.ед.

 

Решение:

1) Построим  график зависимости условных средних от у (по середине интервалов):

	33,3	37,1	53,8	80,0	87
у	10	30	50	70	90

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнения линий регрессии будем искать в виде уравнений прямых линий.

 

2) Дополним корреляционную таблицу новыми строками и столбцами для дальнейших расчетов:

 

Х      У	10	30	50	70	90	nх	х∙nх	х2∙nх	nxy∙y∙x
20	2	4	2			8	160	3200	4800
40	4	8	4			16	640	25600	19200
60		2	4	2		8	480	28800	24000
80			2	3	2	7	560	44800	39200
100			1	2	1	4	400	40000	28000
nу	6	14	13	7	3	∑43	∑2240	∑142400	∑115200
у∙nу	60	420	650	490	270	∑1890
у2∙nу	600	12600	32500	34300	24300	∑104300

 

= 43,95  = 2425,6  = 2609,3 ( )2 = 1931,6

= 52,1  = 3311,6 ( )2 = 2714,4

 

= = 24,4

= = 22,2

Тесноту связи между х и у характеризует выборочный коэффициент корреляции:

 

= 0,6

Связь между х и у тесная (r → 1,0) и прямая: чем больше х, тем больше у.

 

3) Значимость  или случайность выборочного коэффициента корреляции проверяем при помощи критерия Стьюдента:

Тнабл. = 4,8

По таблицам критических точек распределения Стьюдента найдем Ткрит. для 41 степени свободы: при любом уровне значимости:  Ткрит. < Тнабл., т.е. гипотезу о независимости случайных величин х и у отбрасываем. СВ Х и СВ У коррелированны, выборочный коэффициент корреляции значим.

 

4) Уравнения линий регрессии:

У на Х: 

- 43,95 = 0,6∙22,2/24,4∙(х -52,1)  

= 0,54х + 15,5

 

Х на У:

 

-52,1 = 0,6∙24,4/22,2∙(у – 43,95)

= 0,66у + 23

5)

110 тыс. ден.ед. ≤ х ≤ 120 тыс. ден.ед.

110∙0,54 + 15,5 ≤  ≤ 120∙0,54 + 15,5

(75 ≤  ≤ 80,3) млн. ден.ед.

 

 

 

Литература:

 

В.Е. Гмурман

«Теория вероятностей и математическая статистика». М.1999 г.