Краевые задачи для уравнения Лапласа

Вещественнозначная функция класса называется гармонической в области , если она удовлетворяет уравнению Лапласа в этой области.

При гармонические функции сводятся к линейным функциям и потому их теория интереса не представляет. Поэтому в дальнейшем будем считать .

Рассмотрим некоторую  замкнутую поверхность , не обязательно связную, и пусть ограничивает область , конечную  или бесконечную. В обоих случаях предполагается, что сама поверхность конечна. Будем изучать поведение решений однородного уравнения Лапласа в подобных областях.

 

Функция называется гармонической в конечной области , если она в обладает непрерывными частными производными до второго порядка включительно (т.е. дважды непрерывно дифференцируема) и удовлетворяет однородному уравнению Лапласа.

Будем говорить, что функция гармоническая в бесконечной области, если в каждой точке этой области, находящейся на конечном расстоянии от начала, дважды

непрерывно  дифференцируема, удовлетворяет однородному  уравнению Лапласа и на бесконечности имеет порядок, такой что для достаточно больших имеет место неравенство ,

где размерность пространства, а некоторая постоянная. В случае двумерной области ( = 2) условие означает, что гармоническая в бесконечной области функция

ограничена  на бесконечности.

Определение гармонической функции относится только к случаю открытой области

(т. е. открытого связного множества); если говорят о функции, гармонической в замкнутой области, то под этим понимают, что данная функция гармонична в более широкой открытой области.

Говорят, что  функция является гармонической (или гармонична) в замкнутой области , если она

1) непрерывна  в этой области, 

2) гармонична  во всех внутренних точках  области, 

3) когда область  бесконечна, стремится к нулю при стремлении точки к бесконечно удаленной точке вдоль любого луча, принадлежащего области.

Определение гармонической функции не накладывает никаких ограничений на поведение функции на границе области.

Пример.

Функция двух переменных не является гармонической ни в какой области, так как она не удовлетворяет однородному уравнению Лапласа

Функция гармонична в любой конечной области. 

В каждой задаче, связанной с уравнением Лапласа, искомое решение выделяется из множества всех гармонических функций определенным дополнительным условием, которое чаще всего является краевым. Таким образом, возникает следующая краевая задача: найти регулярное в области решение уравнения, удовлетворяющее на границе краевому условию:

где производная по некоторому направлению (n— направление внешней нормали к ); заданные непрерывные на функции; причем всюду на .

Краевые задачи могут ставиться не только для  уравнения Лапласа, но и для любых  уравнений эллиптического типа.

В зависимости  от вида граничного условия различают  три основных вида граничной (краевой) задачи:

1. , когда ( - граница) — первая краевая задача или задача

Дирихле,

2. , когда — вторая краевая задача или задача Неймана,

3. , когда — третья или смешанная краевая задача.

Здесь — непрерывные функции, определенные на граничной поверхности , а

означает  производную, взятую в точке поверхности по направлению внешней нормали

к ней.

К этим видам краевой задачи приводит изучение широкого круга стационарных физических процессов и явлений.

Если  область, в которой ищется решение уравнения, ограничена, то краевая задача называется внутренней. Если же эта область является частью пространства, лежащей вне некоторой ограниченной области, то краевая задача называется внешней.

Характерной чертой уравнений эллиптического типа, существенно отличающей их от уравнений  других типов, является то, что их решения полностью определяются заданием одного краевого условия. Простейшим из таких заданий является задание на контуре значения самой функции или ее нормальной производной, что и составляет содержание классических краевых задач, называемых обыкновенно, так же как и для уравнения Лапласа, первой и второй краевыми задачами или задачей Дирихле и задачей Неймана.

Задачу математической физики называют поставленной корректно, если ее решение существует, единственно и непрерывно зависит от данных задачи.

Условия, обеспечивающие корректность постановки той или иной краевой задачи, несколько различаются для разного типа задач. Но существует основная группа условий, входящих во все эти формулировки. Она сводится к следующему.

Функция, дающая решение краевой задачи (поставленной для уравнения в частных производных второго порядка) должна:

1) быть  непрерывна в области, в которой  ставится задача, вплоть до границы  области; 

2) внутри  области иметь непрерывные вторые  производные и удовлетворять заданному уравнению (например, уравнению Лапласа);

3) на  границе области удовлетворять заданному краевому условию;

4) если  область трехмерна и бесконечна, то при перемещении к бесконечно  удаленной точке вдоль любого луча, принадлежащего области, стремиться к нулю.

Решения краевых задач, поставленных в трехмерных областях, удовлетворяющие перечисленным условиям, будем называть регулярными.

Решения корректно поставленных краевых задач для любого уравнения эллиптического типа всегда оказываются не менее гладкими (в смысле существования у них определенного числа непрерывных производных), чем определяющие их функции (коэффициенты уравнения и данные задачи).

Обычно  во всех внутренних точках изучаемой  области они даже дифференцируемы  неограниченное число раз. Это свойство решений граничных задач тесно связано с тем, что к граничным задачам приводит изучение установившихся (стационарных) физических процессов.

 

Первая  и вторая краевые  задачи для уравнения  Лапласа.

Краевая задача для уравнения  (1) состоит в нахождении функции

класса удовлетворяющей в области этому уравнению и граничному (краевому)

условию на вида:

  , где — заданные непрерывные функции на , причем , ,

Выделяют следующие типы краевых условий :

Краевое условие I рода ,

, когда ищется гармоническая  функция, принимающая на границе  области

заданные  непрерывные значения;

Краевое условие II рода

, когда ищется гармоническая функция такая, что ее нормальная производная принимает на заданные непрерывные значения;

Краевое условие III рода

, когда ищется гармоническая функция , удовлетворяющая на границе линейному соотношению , . Данное условие называют смешанной краевой задачей, когда на различных частях границы заданы условия разного рода. 

Соответствующие краевые задачи называются краевыми задачами I, II и III рода.  

Для уравнения Лапласа  краевая задача I рода называется задачей Дирихле;

краевая задача II рода называется задачей Неймана.

Аналогично  ставятся краевые задачи для уравнения  (1) и во внешности ограниченной области G (внешние краевые задачи). Отличие состоит в том, что, помимо граничного условия на S, задаются еще условия на бесконечности.

Задача  Дирихле в пространстве формулируется так:

Найти функцию  , удовлетворяющую внутри замкнутой поверхности уравнению Лапласа и принимающую на границе заданные значения:

То, что задача Дирихле всегда имеет решение (при  некоторых весьма общих предположениях относительно  и ), можно считать очевидным по физическим соображениям. Действительно, если каждая точка границы тела постоянно поддерживается при определенной температуре (которая может быть разной в разных точках границы), то в каждой точке тела установится в конце концов своя температура, которая и дает решение задачи Дирихле при данных граничных значениях. Кроме того, очевидно, что по тем же соображениям это решение будет единственным.

Задача  Дирихле может быть поставлена и в двух измерениях. Если зависит только от двух пространственных координат, например и , то уравнение Лапласа (1)

принимает более простой вид:

 
 

Задача  Дирихле на плоскости формулируется так:

Найти функцию  , удовлетворяющую внутри замкнутой кривой уравнению Лапласа  и принимающую на границе заданные значения:

Эта задача тоже имеет единственное решение. Она может возникнуть в физических задачах двух типов, которые можно пояснить на примере тела, распределение температуры в котором стационарно.

Первый  тип задачи относится к стационарному  распределению температуры в тонкой однородной пластинке, параллельной плоскости с теплоизолированными нижней и верхней поверхностями. Край пластинки поддерживается при определенной температуре .

Пластинка должна быть настолько тонкой, чтобы  можно было пренебречь изменением температуры по ее толщине. Тогда температура и будет функцией только и .

Второй  тип задачи возникает при рассмотрении стационарного распределения температуры в бесконечном однородном цилиндре, у которого образующие параллельны оси , направляющая лежит в плоскости , а боковая поверхность поддерживается при определенной температуре .

Здесь тоже остается постоянной на любой прямой, параллельной оси , проходящей в цилиндре, так что .

Заметим, что задача Дирихле решается очень  просто в одномерном случае, т. е. когда в соответствующей системе координат неизвестная функция зависит только от одной из координат. В случае декартовых координат одномерное уравнение Лапласа принимает вид и его решениями являются линейные функции (стационарное распределение температуры в тонком стержне с теплоизолированной боковой поверхностью всегда линейно). Задача Дирихле имеет в этом случае решение , где , , .

Задача  Неймана состоит в следующем:

Найти функцию  , удовлетворяющую внутри замкнутой поверхности (или кривой) уравнению Лапласа и на границе условию:

,

где производная по направлению внешней нормали к , а функция, заданная